Том 18, № 1 (2014)
- Год: 2014
- Статей: 17
- URL: https://bakhtiniada.ru/1991-8615/issue/view/1243
Модели многопараметрических бифуркационных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка
Аннотация
На примере кинематических граничных условий (левый край жестко закреплен, правый край свободен) рассматривается задача о вычислении разветвляющихся решений нелинейной задачи на собственные значения для обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка, описывающего прогиб удлиненной пластины в сверхзвуковом потоке газа, сжимаемой (растягиваемой) внешними усилиями. Вычисления основываются на представлении бифуркационных параметров через корни характеристического уравнения соответствующего линеаризованного оператора. Такое представление позволяет исследовать задачу в точной постановке и найти критические бифуркационные поверхности и кривые, в окрестности точек которых строится асимптотика разветвляющихся решений в виде сходящихся по малым параметрам рядов. Наибольшие трудности возникают при исследовании линеаризованной спектральной задачи, фредгольмовость которой доказывается построением соответствующей функции Грина, которое для задач такого типа выполнено впервые.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2014;18(1):9-18
9-18
Обобщённое интегральное преобразование Лапласа и его применение к решению некоторых интегральных уравнений
Аннотация
Рассматриваются обобщённые интегральные преобразования Лапласа, которые в ядре содержат обобщённую конфлюэнтную гипергеометрическую функцию ${\mathstrut}_1\Phi{\mathstrut}_1^{\tau,\beta}(a;c;z)$. С использованием свойств этих преобразований для них получен аналог теоремы о свёртке. Методом интегральных преобразований решены интегральные уравнения Вольтерра первого рода, содержащие в ядре конфлюэнтную гипергеометрическую функцию. При решении интегральных уравнений использовались формулы обращения введённых интегральных преобразований, полученные автором ранее.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2014;18(1):19-24
19-24
Задача о собственных значениях дифференциального оператора Коши-Римана с нелокальными краевыми условиями
Аннотация
Рассматривается редуцированная спектральная задача для оператора Коши-Римана с нелокальными краевыми условиями к линейному интегральному уравнению Фредгольма второго рода с непрерывным ядром. Соответствующий детерминант Фредгольма определён при всех спектральных параметрах $\lambda$, кроме $\lambda = 2$, ${\rm Re} \lambda = 1$. Нахождение нулей определителя Фредгольма, записанного в такой форме, неэффективно, поскольку он не является целой функцией от спектрального параметра, а его главная часть не выделена. Исследована структура ядра оператора. Для приближённого решения интегрального уравнения применены результаты работ И. Акбергенова, где даны оценки абсолютной величины разности между точным и приближенным решениями интегрального уравнения. Охарактеризованы спектральные параметры, при которых неоднородная краевая задача со смещением для уравнений Коши-Римана всюду разрешима в классе непрерывных функций на единичном круге. Показана явная конструкция, аппроксимирующая решение неоднородной краевой задачи.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2014;18(1):25-36
25-36
Задача со смещением для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения
Аннотация
Для вырождающегося гиперболического уравнения в характеристической области (двуугольнике) исследована внутреннекраевая задача с операторами дробного интегро-дифференцирования (в смысле Римана-Лиувилля), в которой значения решения уравнения на характеристиках поточечно связаны со значением решения и производной от него на линии вырождения уравнения. Модифицированным методом Трикоми при ограничениях в виде неравенств на известные функции доказана теорема единственности. Вопрос существования решения задачи редуцирован к разрешимости сингулярного интегрального уравнения с ядром Коши нормального типа.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2014;18(1):37-47
37-47
Задачи с сопряжением на характеристической плоскости для одного гиперболического уравнения третьего порядка в трехмерном пространстве
Аннотация
Рассматривается полное уравнение гиперболического типа третьего порядка с переменными коэффициентами в области, представляющей бесконечную треугольную призму, ограниченную характеристическими плоскостями $z = 0$, $x = h$ данного уравнения и двумя нехарактеристическими плоскостями $y = x$, $y = -x$. Решены две краевые задачи с данными на гранях призмы, являющимися как характеристическими, так и нехарактеристическими плоскостями данного уравнения. В связи с трудностями склейки решений рассматриваемого типа гиперболических уравнений и заданием условий сопряжения на характеристике в условия сопряжения были введены интегралы и производные дробного порядка. На внутренней характеристической плоскости заданы условия сопряжения, содержащие производные дробного порядка искомой функции, различные для обеих задач. Для данного уравнения авторами получено решение задачи Дарбу методом Римана, взятое за основу решения обеих поставленных задач, которые сводятся к однозначно разрешимым уравнениям Вольтерры и Фредгольма соответственно, что позволило получить решения задач в явном виде.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2014;18(1):48-55
48-55
Обратная задача для одного интегро-дифференциального уравнения Фредгольма в частных производных третьего порядка
Аннотация
Интегро-дифференциальные уравнения имеют особенности в вопросе однозначной разрешимости. Вопросы разрешимости линейных обратных задач для дифференциальных уравнений в частных производных изучены многими авторами. В работе рассматривается нелинейная обратная задача, где функция восстановления в заданное интегрально-дифференциальное уравнение входит нелинейно и с запаздыванием. Относительно восстанавливаемой функции данное уравнение является неявным функционально-интегральным уравнением Фредгольма. Изучается однозначная разрешимость нелинейной обратной задачи для интегродифференциального уравнения Фредгольма в частных производных третьего порядка. Сначала модифицируется метод вырожденного ядра интегрального уравнения Фредгольма для случая интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма в частных производных третьего порядка. При решении нелинейной обратной задачи относительно восстанавливаемой функции получится нелинейное интегральное уравнение Вольтерры первого рода, которое с помощью специального неклассического интегрального преобразования сводится к нелинейному интегральному уравнению Вольтерры второго рода. Поскольку восстанавливаемая функция нелинейно входит в заданное интегро-дифференциальное уравнение и имеет запаздывание, задание начального условия по отношению к восстанавливаемой функции обеспечивает единственность решения нелинейного интегрального уравнения первого рода и определяет значение неизвестной восстанавливаемой функции на начальном отрезке. Далее используется метод последовательных приближений в сочетании с методом сжимающих отображений.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2014;18(1):56-65
56-65
О нелинейных тензорах и векторах экстрадеформации в теории и механике континуума
Аннотация
Рассматривается теоретико-полевая модель нелинейного термоупругого континуума с «тонкой» (в частности, микрополярной) микроструктурой. Построение модели осуществляется в терминах 4-ковариантного полевого лагранжева формализма. «Тонкая» микроструктура континуума задается микроструктурными d-векторами и d-тензорами произвольно высоких рангов. d-тензоры вводятся в теоретико-полевую схему как экстра-полевые переменные (d-переменные). Микроструктурные векторные и тензорные экстра-полевые переменные могут быть подчинены уравнениям связей (кинематическим ограничениям). Указывается «естественная» плотность вариационного интегрального функционала термоупругого действия и сформулирован соответствующий вариационный принцип наименьшего действия. При этом выполнен учет инерционности микроструктурной «составляющей» поля. Ковариантные уравнения термоупругого поля в континууме с микроструктурой получаются в канонической форме Эйлера-Лагранжа. Кинематические ограничения учтены с помощью правила множителей Лагранжа. Вариационные симметрии интегрального функционала термоупругого действия применяются для построения ковариантных канонических тензоров термомеханики и 4-токов. Даны канонические формы дивергентных законов сохранения термоупругого поля в плоском 4-пространстве-времени. Рассматриваются вопросы, касающиеся инвариантности интегрального функционала действия относительно сдвигов эйлеровых полевых переменных, времени и температурного смещения, а также трехмерных вращений эйлеровой координатной системы. Исследуется проблема ротационной инвариантности «естественной» плотности микрополярного термоупругого действия. Получены функциональные условия ротационной инвариантности действия и плотности действия, независимые ротационно инвариантные аргументы и удовлетворяющая принципу объективности форма свободной энергии Гельмгольца. Указанная форма содержит явные вхождения ротационноинвариантных векторов и тензоров экстра-деформации.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2014;18(1):66-85
66-85
Оценка надёжности стохастически неоднородной толстостенной трубы по критерию длительной прочности
Аннотация
Разработана методика вероятностной оценки надёжности микронеоднородной толстостенной трубы на основе решения стохастической краевой задачи ползучести. Реологические свойства материала при этом описывались при помощи случайной функции одной переменной (радиуса $r$). Для изучения процесса разрушения материала при ползучести введён параметр повреждённости $0 <\omega (t) < 1$ и принята степенная зависимость скорости изменения $\omega(t)$ от эквивалентного напряжения $\sigma_{\text э}$, которое определялось по критерию Сдобырева. Оценка надёжности производится по интегрально-среднему значению эквивалентного напряжения. Найдено случайное время до разрушения и его функция распределения, которая аппроксимировалась логарифмически нормальным законом. Приведён пример вычисления вероятности безотказной работы для толстостенной трубы из микронеоднородного материала. Полученные результаты позволяют оценивать надёжность стохастически неоднородных осесимметричных элементов конструкций при условии, что из эксперимента будут получены необходимые статистические данные.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2014;18(1):86-92
86-92
Кинетика напряжённо-деформированного состояния в поверхностно упрочнённом цилиндрическом образце при сложном напряжённом состоянии в условиях ползучести
Аннотация
Предложена методика решения краевой задачи оценки кинетики напряжённо-деформированного состояния поверхностно упрочнённого сплошного цилиндрического образца в условиях ползучести для трёх видов напряжённого состояния (растяжение, чистое кручение, совместное действие растягивающей нагрузки и крутящего момента). В качестве базовой реологической модели используется энергетический вариант теории ползучести и длительной прочности. Разработан алгоритм численного решения задачи, позволяющий оценить релаксацию остаточных напряжений в упрочнённом слое на фоне ползучести цилиндрического образца для всех трёх видов напряжённого состояния. Выполнено детальное исследование влияния касательных напряжений на релаксацию остаточных напряжений при растяжении образца. Показано, что приложение крутящего момента к растягиваемому осевой нагрузкой образцу интенсифицирует процесс релаксации всех компонент тензора остаточных напряжений. Наблюдается существенное перераспределение напряжённого состояния по радиусу в зависимости от времени. Приводятся результаты вариативных расчётов.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2014;18(1):93-108
93-108
Поле напряжений у вершины трещины при смешанном нагружении в условиях плоского напряженного состояния
Аннотация
Приводится асимптотическое решение задачи о смешанном (двухосном) нагружении образца с трещиной в условиях плоского напряженного состояния с нелинейными определяющими уравнениями материала, удовлетворяющими дробно-линейному закону теории установившейся ползучести. Определены поля напряжений и скоростей деформаций ползучести у вершины трещины в условиях смешанного нагружения. Вид смешанного нагружения задается параметром смешанности нагружения, который изменяется от 0, что отвечает чистому сдвигу, до 1, что соответствует чистому нормальному отрыву. Получены аналитические представления компонент тензора напряжений и скоростей деформаций ползучести в непосредственной окрестности вершины трещины в полном диапазоне смешанных форм деформирования: от нормального отрыва до поперечного сдвига.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2014;18(1):109-124
109-124
Анализ разностной схемы аналога волнового уравнения с оператором дробного дифференцирования
Аннотация
Проведён анализ разностной схемы краевой задачи для аналога волнового уравнения. Исследованы явные и неявные разностные схемы для численного решения первой краевой задачи аналога волнового уравнения с оператором дробного дифференцирования Капуто. Методом гармоник Фурье доказаны критерии устойчивости этих разностных схем. Получены оценки собственных значений оператора перехода с одного временного слоя на другой. На примере проведён вычислительный эксперимент по анализу предложенной разностной схемы. Построены графики численного решения краевой задачи для волнового уравнения с оператором дробного дифференцирования при различных значениях параметров дробного дифференцирования $\alpha$ и $\beta$. Установлено изменение периода колебаний при переходе к дробной производной. На примере показано, что параметры $\alpha$ и $\beta$ становятся управляющими.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2014;18(1):125-133
125-133
Разработка методов идентификации параметров дифференциальных уравнений с дробной производной Римана-Лиувилля
Аннотация
Предложены методы определения параметров дифференциальных уравнений c дробными производными Римана-Лиувилля порядка $\alpha \in (1, 2)$ по значениям ординат процесса на примере уравнения Баррета. В основе предложенных методов лежит построение для дифференциального уравнения дробного порядка линейно-параметрической дискретной модели, коэффициенты которой некоторым образом связаны с искомыми параметрами дифференциального уравнения с дробными производными. Рассмотрены различные подходы к определению соотношений между параметрами уравнения и коэффициентами дискретной модели. Получены формулы, связывающие коэффициенты линейно-параметрической дискретной модели и параметры задачи типа Коши для дробного дифференциального уравнения, подлежащие определению. Описан алгоритм метода, позволяющего свести решение исходной задачи параметрической идентификации к вычислению среднеквадратических оценок коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели. Численные исследования погрешности оценивания параметров дробного дифференциального уравнения при помощи предложенных методов позволяют судить о высокой точности полученных оценок.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2014;18(1):134-144
134-144
Дискретно-непрерывная модель в задаче анализа критического уровня эксплуатации биоресурсов
Аннотация
Рассматривается дискретно-непрерывная модель, разработанная для исследования формирования и эксплуатации биоресурсов. Выбранный подход позволил учесть особые факторы при описании убыли численности поколения системой обыкновенных дифференциальных уравнений на интервале времени. Метод реализации в вычислительной среде рассчитан на задачи моделирования разнообразных видов антропогенного влияния, и в том числе при интродукции новых видов в среду. В статье анализируются логически обусловленные модельные сценарии изменения состояния популяций при различных стратегиях организации промысла. Обсуждаются примеры нерациональной эксплуатации популяций рыб бассейна Волги. Отмечено, что неблагоприятные последствия могут резко проявляться после постоянного незначительного превышения допустимой квоты изъятия промыслом.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2014;18(1):145-155
145-155
О точности разностной схемы для уравнений Навье-Стокса
Аннотация
Проводится исследование разностных схем по времени, порядок точности которых может быть произвольно высоким. Представлены разностные схемы по времени для решения уравнений Навье-Стокса, где использована техника разложений в ряды для поиска особенностей решений уравнений Эйлера. Эти методы обобщены в данной статье на случай схем любого порядка и применения к решению уравнения Бюргерса и уравнений Навье-Стокса в случае несжимаемой жидкости. Исследуется влияние порядка схемы на точность вычислений. Сначала метод прилагается к контрольному примеру, связанному с уравнением Бюргерса, а затем рассматривается задача нахождения трехмерного течения несжимаемой жидкости посредством решения уравнений Навье-Стокса. Показано, что конечноразностная схема, используемая для вычисления производных по времени, является основным источником отклонений приближенного решения от точного решения.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2014;18(1):156-167
156-167
Асимптотический анализ решения нелинейной задачи нестационарной теплопроводности слоистых анизотропных неоднородных оболочек при граничных условиях первого рода на лицевых поверхностях
Аннотация
Сформулирована задача теплопроводности для слоистых оболочек, состоящих из термочувствительных анизотропных неоднородных слоёв, при граничных условиях общего вида. Термочувствительность материалов слоёв описывается линейной зависимостью их теплофизических характеристик от температуры. Проведено обезразмеривание уравнения теплопроводности, граничных условий и условий теплового сопряжения на границах контакта между слоями. Выделены два малых параметра в безразмерных соотношениях: теплофизический, характеризующий степень термочувствительности материалов слоёв, и геометрический, характеризующий относительную толщину оболочки. Проведена последовательная рекурсия безразмерных соотношений сначала по теплофизическому малому параметру, а затем по геометрическому. Первый тип рекурсии позволил линеаризовать задачу теплопроводности, а на основе второго типа рекурсии построено внешнее асимптотическое разложение решения задачи нестационарной теплопроводности слоистых анизотропных неоднородных оболочек при граничных условиях первого рода на лицевых поверхностях. Проанализированы получающиеся двумерные разрешающие уравнения и исследованы асимптотические свойства решений задачи теплопроводности.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2014;18(1):168-185
168-185
К алгоритмам динамического программирования при предположениях монотонности
Аннотация
Формулируется задача дискретного оптимального управления, не рассматривавшаяся ранее и возникающая при проектировании нефтегазосборных сетей. Для этой задачи устанавливаются четыре теоремы, чтобы можно было иметь процесс, оптимальный процесс и оптимальное значение. Необходимые и достаточные условия для этого даются в теореме 1. При этих условиях по теореме 1 получаются интервалы достижимости, которые не пусты. Для каждого интервала выбирается сетка - подмножество его точек, где по произвольной точке интервала находится ближайшая точка слева. При помощи таких приближений определяются на сетках функции Беллмана. С использованием функций Беллмана в теореме 2 даётся процесс и оценивается отклонение его от оптимального процесса. В теореме 2 гарантируется, что процесс, который даётся там, оптимален в случае, когда интервалы достижимости и их сетки совпадают. В других случаях для получения оптимального процесса используются теоремы 3 и теоремы 4. В теореме 3 устанавливается, что процесс, который даётся в теореме 2, минимален в лексикографическом порядке, который вводится с использованием функций Беллмана. В теореме 3 даётся процедура, которая строит, если возможно, в этом порядке следующий процесс, пропуская лишь процессы, которые неоптимальны. Оптимальный процесс и оптимальное значение находятся по теореме 4 исходя из процесса, который даётся в теореме 2, при помощи одного или нескольких вызовов процедуры, которая даётся в теореме 3.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2014;18(1):186-191
186-191
О построении совершенных шифров
Аннотация
К. Шеннон в 40-х годах XX века ввел понятие совершенного шифра, обеспечивающего наилучшую защиту открытых текстов. Такой шифр не дает криптоаналитику никакой дополнительной информации об открытом тексте на основе перехваченной криптограммы. В работе исследуется задача построения совершенных шифров по заданному множеству открытых текстов $X$, ключей $K$ и распределению вероятностей $P (K)$ на множестве ключей. Приводится критерий, позволяющий однозначно определить, существует ли для заданных $X$, $K$, $P (K)$ совершенный шифр. Показано, что данная задача сводится к построению набора разбиений множества $K$ с определёнными условиями. Так как одним из недостатков вероятностной модели шифра являются ограничения, накладываемые на мощности множеств открытых текстов, ключей и шифрованных текстов, в работе также рассматривается задача построения совершенного шифра замены с неограниченным ключом по заданному множеству шифрвеличин, ключей и распределению вероятностей на множестве ключей.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2014;18(1):192-199
192-199