Том 89, № 2 (2025)

Рассматриваются алгебры конечных подмножеств, когда исходная алгебра является бесконечным группоидом. Доказывается, что для линейных пространств над полями конечной характеристики теория построенной алгебры алгоритмически эквивалентна элементарной арифметике. Далее этот результат обобщается на произвольные бесконечные абелевы группы. В качестве следствия получается, что общая теория классов всех алгебр конечных подмножеств имеет степень неразрешимости, не меньшую чем элементарная арифметика, для широкого круга исходных алгебр: абелевых групп, произвольных групп, моноидов, полугрупп, группоидов. Это также доказывает невозможность рекурсивной аксиоматизации теорий таких классов. Другим следствием является неразрешимость и невозможность рекурсивной аксиоматизации теории решетки подалгебр для абелевых групп конечной экспоненты, а также теорий классов таких решеток для групп, моноидов и полугрупп. Библиография: 17 наименований.

Мы доказываем, что безусловное множество в $\mathbb{R}^N$, инвариантное относительно циклических сдвигов координат, является жестким в $\ell_q^N$, $1\leqslant q\leqslant 2$, т. е. не может быть хорошо приближено линейными подпространствами размерности, существенно меньшей $N$. Мы применяем подход, предложенный Е. Д. Глускиным, для усредненных колмогоровских поперечников безусловных векторов “или же векторов, компонентами которых являются независимые, с нулевым средним случайные величины”, и доказываем их жесткость. Эти результаты получаются из общей оценки снизу усредненного колмогоровского поперечника через слабый момент биортогонального случайного вектора. Работа продолжает исследования жесткости, начатые первым автором.Мы приводим несколько следствий, включая новые оценки поперечников по Колмогорову шаров в смешанных нормах. Библиография: 22 наименования.

Let $R$ be an unramified regular local ring of mixed characteristic, $D$ an Azumaya $R$-algebra, $K$ the fraction field of $R$, $\operatorname{Nrd}\colon D^{\times} \to R^{\times}$ the reduced norm homomorphism. Let $a \in R^{\times}$ be a unit. Suppose the equation $\operatorname{Nrd}=a$ has a solution over $K$, then it has a solution over $R$.Particularly, we prove the following. Let $R$ be as above and $a$, $b$, $c$ be units in $R$. Consider the equation $T^2_1-aT^2_2-bT^2_3+abT^2_4=c$. If it has a solution over $K$, then it has a solution over $R$.Similar results are proved for regular local rings, which are geometrically regular over a discrete valuation ring. These results extend result proven in [23] to the mixed characteristic case. Bibliography: 29 titles.

This study focuses on a specific type of non-linear second-order integral equations defined over a considerable interval. We propose a new numerical method, the TLD, in three phases: transformation of the equation, linearizationvia the Newton–Kantorovich method, and discretization withthe Nyström technique. We theoretically define the convergence conditions and illustrate the accuracy of our method on several practical examples.

Рассматриваются глобальные тензорные инварианты уравнений движения твердого тела в интегрируемых случаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. Эти тензорные инварианты получаются путем подстановки в уравнение инвариантности тензорных полей с кубическими по переменным компонентами и решения полученных систем переопределенных алгебраических уравнений с помощью систем компьютерной алгебры. Библиография: 65 наименований.