On tensor invariants for integrable cases of Euler, Lagrange and Kovalevskaya rigid body motion

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We discuss global tensor invariants of a rigid body motion in the cases of Euler, Lagrange and Kovalevskaya.These invariants are obtained by substituting tensor fields with componentscubic in the variables into the invariance equation and solving the resulting algebraic equations using computer algebra systems.

About the authors

Andrey Vladimirovich Tsiganov

Saint Petersburg State University

Author for correspondence.
Email: andrey.tsiganov@gmail.com
Doctor of physico-mathematical sciences, Associate professor

References

  1. В. В. Козлов, “Тензорные инварианты квазиоднородных систем дифференциальных уравнений и асимптотический метод Ковалевской–Ляпунова”, Матем. заметки, 51:2 (1992), 46–52
  2. V. V. Kozlov, “The Euler–Jakobi–Lie integrability theorem”, Regul. Chaotic Dyn., 18:4 (2013), 329–343
  3. V. V. Kozlov, “Remarks on integrable systems”, Regul. Chaotic Dyn., 19:2 (2014), 145–161
  4. В. В. Козлов, “Тензорные инварианты и интегрирование дифференциальных уравнений”, УМН, 74:1(445) (2019), 117–148
  5. Kai Jiang, T. S. Ratiu, Nguyen Tien Zung, “Simultaneous local normal forms of dynamical systems with singular underlying geometric structures”, Nonlinearity, 37:10 (2024), 105013, 38 pp.
  6. С. П. Новиков, И. А. Тайманов, Современные геометрические структуры и поля, МЦНМО, М., 2005, 584 с.
  7. C. G. J. Jacobi, Vorlesungen über Dynamik, Gehalten an der Universität zu Königsberg im Wintersemester 1842–1843, ed. A. Clebsch, G. Reimer, Berlin, 1866, viii+578 pp.
  8. P. Appell, Traite de mecanique rationelle, v. II, Dynamique des systèmes. Mecanique analytique, Gauthier-Villars et Fils., Paris, 1896, iv+538 pp.
  9. Э. Уиттекер, Аналитическая динамика, 2-е стер. изд., Удмуртский ун-т, Ижевск, 1999, 588 с.
  10. А. Пуанкаре, “Новые методы небесной механики. I”, Избранные труды, т. I, Наука, М., 1971, 9–328
  11. Э. Картан, Интегральные инварианты, Гостехиздат, М.–Л., 1940, 216 с.
  12. J. A. Schouten, “Ueber Differentialkomitanten zweier kontravarianter Grössen”, Nederl. Akad. Wetensch., Proc., 43 (1940), 449–452
  13. A. Nijenhuis, “Jacobi-type identities for bilinear differential concomitants of certain tensor fields. I”, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A, 58, Indag. Math., 17 (1955), 390–397
  14. В. Т. Филиппов, “$n$-Лиевы алгебры”, Сиб. матем. журн., 26:6 (1985), 126–140
  15. L. Takhtajan, “On foundation of the generalized Nambu mechanics”, Comm. Math. Phys., 160:2 (1994), 295–315
  16. А. Пуанкаре, Избранные труды, т. II, Новые методы небесной механики. Топология. Теория чисел, Наука, М., 1972, 999 с.
  17. J. Liouville, “Sur la theorie de la variation des constantes arbitraires”, J. Math. Pures Appl., 3 (1838), 342–349
  18. C. G. J. Jacobi, “De determinantibus functionalibus”, J. Reine Angew. Math., 1841:22 (1841), 319–359
  19. C. G. J. Jacobi, “Sul principio dell'ultimo moltiplicatore, e suo uso come nuovo principio generale di meccanica”, Giornale Arcadico di Scienze, Lettere ed Arti, 99 (1844), 129–146
  20. C. G. J. Jacobi, “Theoria novi multiplicatoris systemati aequationum differentialium vulgarium applicandi”, J. Reine Angew. Math., 1844:27 (1844), 199–268
  21. O. I. Bogoyavlenskij, “Theory of tensor invariants of integrable Hamiltonian systems. I. Incompatible Poisson structures”, Comm. Math. Phys., 180:3 (1996), 529–586
  22. А. В. Борисов, И. С. Мамаев, Динамика твердого тела. Гамильтоновы методы, интегрируемость, хаос, 2-е изд., Ин-т компьютерных исследований, М.–Ижевск, 2005, 576 с.
  23. В. И. Арнольд, Экспериментальная математика, МЦНМО, М., 2018, 184 с.
  24. T. Muir, The theory of determinants in the historical order of development, v. 1, 2, Macmillan and Co., London, 1906, 1911, xii+492 pp., xvi+475 pp.
  25. J. J. Sylvester, “On a theory of the syzygetic relations of two rational integral functions, comprising an application to the theory of Sturm's functions, and that of the greatest algebraical common measure”, Philos. Trans. Roy. Soc. London, 143 (1853), 407–548
  26. L. Euler, “De integratione aequationum differentialium ope multiplicatorium”, Institutionum calculi integralis, v. 1, Sect. 2, cap. 2, Acad. Imp. Sci., Petropoli, 1768, 282–309
  27. Ch. J. de la Vallee-Poussin, Cours d'analyse infinitesimale, v. II, Uystpruyst; Gauthier-Villars, Louvain, 1906, xvi+402 pp.
  28. Э. Гурса, Курс математического анализа, т. 2, Ч. 1: Курс аналитических функций, Ч. 2: Дифференциальные уравнения, ГТТИ, М.–Л., 1933, 269 с., 287 с.
  29. L. Bianchi, Lezioni sulla teoria dei gruppi continui finiti di trasformazioni, Enrico Spoerri, Pisa, 1903, ix+708 pp.
  30. M. C. Nucci, “Jacobi last multiplier and Lie symmetries: a novel application of an old relationship”, J. Nonlinear Math. Phys., 12:2 (2005), 284–304
  31. И. А. Бизяев, В. В. Козлов, “Однородные системы с квадратичными интегралами, квазискобки Ли–Пуассона и метод Ковалевской”, Матем. сб., 206:12 (2015), 29–54
  32. J. Hadamard, “Sur quelques applications de l'indice de Kronecker”: J. Tannery, Introduction à la theorie des fonctions d'une variable, v. 2, Hermann, Paris, 1910, 437–477
  33. E. Heinz, “An elementary analytic theory of the degree of mapping in $n$-dimensional space”, J. Math. Mech., 8:2 (1959), 231–247
  34. Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц, Линейные операторы. Общая теория, ИЛ, М., 1962, 895 с.
  35. C. B. Morrey, Jr., Multiple integrals in the calculus of variations, Grundlehren Math. Wiss., 130, Springer-Verlag, New York, 1966, ix+506 pp.
  36. Ю. Г. Решетняк, “Отображения с ограниченным искажением как экстремали интегралов типа Дирихле”, Сиб. матем. журн., 9:3 (1968), 652–666
  37. P. J. Olver, J. Sivaloganathan, “The structure of null Lagrangians”, Nonlinearity, 1:2 (1988), 389–398
  38. P. A. Damianou, F. Petalidou, “Poisson brackets with prescribed Casimirs”, Canad. J. Math., 64:5 (2012), 991–1018
  39. C. G. J. Jacobi, “Sur la rotation d'un corps”, J. Reine Angew. Math., 1850:39 (1850), 293–350
  40. C. G. J. Jacobi, “Problema trium corporum mutuis attractionibus cubis distantiarium inverse proportionalibus recta linea se moventium”, Gesammelte Werke, v. 4, G. Reimer, Berlin, 1886, 533–539
  41. V. Volterra, “Sur la theorie des variations des latitudes”, Acta Math., 22:1 (1899), 201–357
  42. V. Volterra, “Sopra una classe di equazioni dinamiche”, Atti Accad. Sci. Torino, 33 (1897–98), 451–475
  43. Е. Б. Гледзер, Ф. В. Должанский, А. М. Обухов, Системы гидродинамического типа и их применение, Наука, М., 1981, 367 с.
  44. Y. Nambu, “Generalized Hamiltonian dynamics”, Phys. Rev. D (3), 7:8 (1973), 2405–2412
  45. R. Chatterjee, “Dynamical symmetries and Nambu mechanics”, Lett. Math. Phys., 36:2 (1996), 117–126
  46. H. Gümral, Y. Nutku, “Poisson structure of dynamical systems with three degrees of freedom”, J. Math. Phys., 34:12 (1993), 5691–5723
  47. I. Vaisman, “A survey on Nambu–Poisson brackets”, Acta Math. Univ. Comenian. (N.S.), 68:2 (1999), 213–241
  48. J. Grabowski, G. Marmo, “On Filippov algebroids and multiplicative Nambu–Poisson structures”, Diff. Geom. Appl., 12:1 (2000), 35–50
  49. Z. Yoshida, “Nambu mechanics viewed as a Clebsch parameterized Poisson algebra: toward canonicalization and quantization”, PTEP. Prog. Theor. Exp. Phys., 2024:3 (2024), 03A103, 24 pp.
  50. N. W. Evans, “Superintegrability in classical mechanics”, Phys. Rev. A (3), 41:10 (1990), 5666–5676
  51. A. V. Tsiganov, “On maximally superintegrable systems”, Regul. Chaotic Dyn., 13:3 (2008), 178–190
  52. А. В. Цыганов, “О суперинтегрируемых системax c алгебраическими и рациональными интегралами движения”, ТМФ, 199:2 (2019), 218–234
  53. A. V. Tsiganov, “Superintegrable systems and Riemann–Roch theorem”, J. Math. Phys., 61:1 (2020), 012701, 14 pp.
  54. F. Cantrijn, M. de Leon, D. Martin de Diego, “On almost-Poisson structures in nonholonomic mechanics”, Nonlinearity, 12:3 (1999), 721–737
  55. A. V. Bolsinov, A. V. Borisov, I. S. Mamaev, “Hamiltonization of non-holonomic systems in the neighborhood of invariant manifolds”, Regul. Chaotic Dyn., 16:5 (2011), 443–464
  56. A. V. Tsiganov, “One invariant measure and different Poisson brackets for two non-holonomic systems”, Regul. Chaotic Dyn., 17:1 (2012), 72–96
  57. А. В. Борисов, И. С. Мамаев, А. В. Цыганов, “Неголономная динамика и пуассонова геометрия”, УМН, 69:3(417) (2014), 87–144
  58. I. A. Bizyaev, A. V. Borisov, I. S. Mamaev, “The Hojman construction and Hamiltonization of nonholonomic systems”, SIGMA, 12 (2016), 012, 19 pp.
  59. A. V. Tsiganov, “Hamiltonization and separation of variables for a Chaplygin ball on a rotating plane”, Regul. Chaotic Dyn., 24:2 (2019), 171–186
  60. В. В. Козлов, Общая теория вихрей, 2-е испр. и доп. изд., Ин-т компьютерных исследований, М.–Ижевск, 2013, 324 с.
  61. T. Ratiu, “Euler–Poisson equations on Lie algebras and the $N$-dimensional heavy rigid body”, Amer. J. Math., 104:2 (1982), 409–448
  62. C. Medan, “The bi-Hamiltonian structure of the Lagrange top”, Phys. Lett. A, 215:3-4 (1996), 176–180
  63. A. V. Tsiganov, “On bi-Hamiltonian geometry of the Lagrange top”, J. Phys. A, 41:31 (2008), 315212, 12 pp.
  64. I. D. Marshall, “The Kowalevski top: its $r$-matrix interpretation and bihamiltonian formulation”, Comm. Math. Phys., 191:3 (1998), 723–734
  65. А. В. Вершилов, Ю. А. Григорьев, А. В. Цыганов, “Об одной интегрируемой деформации волчка Ковалевской”, Нелинейная динам., 10:2 (2014), 223–236

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Tsiganov A.V.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».