Том 26, № 135 (2021)
Статьи
О теореме Чаплыгина для неявного дифференциального уравнения n-го порядка
Аннотация
Рассматривается задача Коши для неявного дифференциального уравнения -го порядка g t, x, x, …, x (n) =0, t ∈ 0; T , x 0 = A. Предполагается, что A= A 0 ,…, A n-1 ∈ R n , функция g:[0, T] × R n+1 → R измерима по первому аргументу t∈[0, T] , а при фиксированном t функция g t, ∙ × R n+1 → R непрерывна справа и монотонна по каждому из первых n аргументов, а по последнему n+1 -му аргументу непрерывна. Также предполагается, что для некоторых достаточно гладких функций η, ν справедливы неравенства ν i 0 ≥ A i ≥ η i 0 , i= 0, n-1, ν n t ≥ η n t , t∈[0; T]; g t; νt , ν t , ..., ν n t ≥ 0, g t, ηt , η t ,…, η (n) (t) ≤ 0, t∈0; T . Получены достаточные условия разрешимости и оценки решений рассматриваемой задачи Коши, кроме того, при выполнении этих условий множество решений, удовлетворяющих неравенствам η n t ≤ x n t ≤ ν n t , не пусто, и в этом множестве содержатся решения с наибольшей и наименьшей -й производной. Это утверждение аналогично классической теореме Чаплыгина о дифференциальном неравенстве. Метод доказательства использует результаты о разрешимости уравнений в частично упорядоченных пространствах. Приведены примеры применения полученных результатов к исследованию неявных дифференциальных уравнений второго порядка.
Вестник российских университетов. Математика. 2021;26(135):225-233
225-233
Вариационные принципы Экланда и Бишопа-Фелпса в частично упорядоченных пространствах
Аннотация
В работе получено утверждение о минимуме графика отображения, действующего в частично упорядоченных пространствах. В доказательстве этого утверждения используется теорема о минимуме отображения в частично упорядоченном пространстве из статьи [A.V. Arutyunov, E.S. Zhukovskiy, S.E. Zhukovskiy. Caristi-like condition and the existence of minima of mappings in partially ordered spaces // Journal of Optimization Theory and Applications. 2018. V. 180. Iss. 1, 48-61]. Также в данной работе показано, что это утверждение является аналогом вариационных принципов Экланда и Бишора-Фелпса - эффективных инструментов исследования экстремальных задач для функционалов, заданных на метрических пространствах. А именно, полученное в данной работе утверждение, примененное к частично упорядоченному пространству, созданному из метрического пространства введением в нем аналогов отношения порядка Бишопа-Фелпса, равносильно классическим вариационным принципам Экланда и Бишора-Фелпса.
Вестник российских университетов. Математика. 2021;26(135):234-240
234-240
Возмущение задачи о неподвижных точках непрерывных отображений
Аннотация
Рассматривается задача о двойной неподвижной точке пары непрерывных отображений, определенных на выпуклом замкнутом ограниченном подмножестве банахового пространства. Показано, что если одно из отображений вполне непрерывно, а второе - непрерывно, то свойство существования неподвижных точек устойчиво к сжимающим возмущениям рассматриваемых отображений. Получены оценки расстояния от заданной пары точек до двойных неподвижных точек возмущенных отображений. Рассмотрена задача о неподвижной точке вполне непрерывного отображения на выпуклом замкнутом ограниченном подмножестве банахового пространства. Показано, что свойство существования неподвижной точки вполне непрерывного отображения устойчиво к сжимающим возмущениям. Получены оценки расстояния от заданной точки до неподвижной точки возмущенного отображения. В качестве приложения полученных результатов доказана разрешимость разностного уравнения специального вида.
Вестник российских университетов. Математика. 2021;26(135):241-249
241-249
О существовании решения периодической краевой задачи для полулинейных дифференциальных включений дробного порядка в банаховых пространствах
Аннотация
В настоящей работе исследуется периодическая краевая задача для класса полулинейных дифференциальных включений дробного порядка в банаховом пространстве, для которых многозначная нелинейность удовлетворяет условию регулярности, выраженному в терминах мер некомпактности. Для доказательства существования решений задачи мы сначала конструируем соответствующую функцию Грина. Затем вводим в рассмотрение многозначный разрешающий оператор в пространстве непрерывных функций и сводим поставленную задачу к существованию неподвижных точек разрешающего мультиоператора. Для доказательства существования неподвижной точки используется обобщенная теорема типа Б. Н. Садовского для уплотняющих многозначных отображений.
Вестник российских университетов. Математика. 2021;26(135):250-270
250-270
Существование и устойчивость периодических решений уравнения нейронного поля
Аннотация
В статье изучаются существование и устойчивость стационарных периодических решений модели нейронного поля, а именно интегрально-дифференциального уравнения типа Гаммерштейна. Полагая, что функция активации - ступенчатая функция, а ядро оператора - быстроубывающая функция, мы формулируем необходимые и достаточные условия существования особого класса решений - 1-бамповые (выпуклые) периодические решения. Далее мы изучаем устойчивость этих решений с помощью спектра производной Фреше соответствующего оператора Гаммерштейна. Мы доказываем, что этот спектр согласуется с точностью до нуля со спектром блочного оператора Лорана. Также показываем, что ненулевой спектр состоит только из собственных значений, и получаем аналитические выражения, как для собственных значений, так и для собственных функций. Кроме того в статье рассмотрены примеры.
Вестник российских университетов. Математика. 2021;26(135):271-295
271-295
Символы в квантовании Березина для операторов представления
Аннотация
В основе квантования по Березину на многообразии M лежит сопоставление, которое оператору A из некоторого класса соотносит пару функций F и F ♮ , определенных на M . Эти функции называются ковариантным и контравариатным символами оператора A . Мы интересуемся однородным пространством M=G/H и классами операторов, связанными с теорией представлений. Самая алгебраическая версия квантования - мы называем ее полиномиальным квантованием - получается, когда операторы принадлежат алгебре операторов, отвечающих в данном представлении T группы G элементам X универсальной обертывающей алгебры Env g алгебры Ли g группы G . В этом случае символы оказываются многочленами на алгебре Ли g . В настоящей статье мы предлагаем новую тему в квантовании Березина на G/H : в качестве исходного класса операторов мы берем операторы, отвечающие элементам самой группы G в представлении T этой группы. В статье мы рассматриваем два примера, в них однородные пространства - это параэрмитовы пространства ранга 1 и 2: a) G=SL(2;R) , H - подгруппа диагональных матриц, G/H - однополостный гиперболоид в R 3 ; b) G - псевдоортогональная группа SO0 (p; q) , подгруппа H накрывает с конечной кратностью группу SO0 (p-1, q -1)× SO0 (1;1) ; пространство G/H (псевдо-грассманово многообразие) есть орбита в алгебре Ли g группы G .
Вестник российских университетов. Математика. 2021;26(135):296-304
296-304
Суперпозиционная измеримость многозначной функции при обобщенных условиях Каратеодори
Аннотация
Для многозначного отображения F:[a; b] × R m → comp( R m ) рассматривается задача о суперпозиционной измеримости и суперпозиционной селектируемости. Как известно, для суперпозиционной измеримости достаточно, чтобы отображение F удовлетворяло условиям Каратеодори, для суперпозиционной селектируемости - чтобы F(·, x) обладало измеримым сечением, а F(t, ·) было полунепрерывным сверху. В работе предлагаются обобщения этих условий, основанные на замене в определении свойств непрерывности и полунепрерывности предела последовательности координат точек образов многозначных отображений на односторонний предел. В работе показано, что при таких ослабленных условиях многозначное отображение F обладает требуемыми свойствами суперпозиционной измеримости / суперпозиционной селектируемости. Приведены иллюстративные примеры, а также примеры существенности предлагаемых условий. Для однозначных отображений предлагаемые условия совпадают с обобщенными условиями Каратеодори, предложенными И. В. Шрагиным (см. [Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 2014, 19:2, 476-478]).
Вестник российских университетов. Математика. 2021;26(135):305-314
305-314
Однородные пространства, порождающие решения иерархии k[S] и ее строгой версии
Аннотация
Иерархия k[S] и ее строгая версия представляют собой две деформации коммутативной алгебры k[S] , с k=R или k=C , в пространстве N×N матриц, где S - матрица оператора сдвига. В работе показано, что обе деформации соответствуют сопряжению k[S] элементами подходящей группы. При этом одевающая матрица деформации единственна в случае иерархии k[S] и определяется с точностью до умножения на единичную в случае строгой иерархии k[S] . Эта единственность позволяет непосредственно доказать, что форма Лакса иерархии k[S] равносильна семейству уравнений Сато-Вильсона. Аналог уравнений Сато-Вильсона для строгой иерархии k[S] всегда приводит к уравнениям Лакса этой иерархии. Эти системы эквивалентны, если окружение, в котором рассматривается иерархия, разрешимо по Коши в одномерном пространстве. В работе также представлена банахова группа Ли G( S 2 ) и две ее подгруппы P+( H) и U + H , где U + ( H)⊂ P + ( H) , такие, что однородные пространства G S 2 / P + ( H) и G( S 2 )/ U + ( H) дают решения иерархии k[S] и ее строгой версии, соответственно.
Вестник российских университетов. Математика. 2021;26(135):315-336
315-336