Том 29, № 147 (2024)

Аннотация. В статье предложен универсальный подход построения методов Монте–Карло для вычисления цен опционов с выплатами, зависящими от совместного распределения конечного положения процесса Леви $X_T$ и его инфимума ${\mathcal{I}}_T$ (или супремума ${\mathcal{S}}_T\text{}$). Мы выводим приближенные формулы для условных функций распределения процесса Леви $P(X_T<x|{\mathcal{S}}_T=y)$ ($P(X_T<x|{\mathcal{I}}_T=y)$), которые выражаются через частную производную по $y$ функции совместного распределения $P(X_T<x,{\mathcal{S}}_T<y)$ ($P(X_T<x,{\mathcal{I}}_T<y)\text{}$) и плотности инфимума (или супремума) в конечный момент времени. Применив преобразование Лапласа к функции совместного распределения процесса Леви и его экстремума, мы используем приближенную факторизацию Винера–Хопфа для представления образа ее частной производной. Обращая преобразование Лапласа с помощью алгоритма Гавера–Стехфеста, мы находим искомую условную функцию распределения. Разработанный алгоритм симуляции совместного положение процесса Леви и его экстремума в заданный момент времени состоит из двух ключевых этапов. На первом этапе мы симулируем значение экстремума процесса Леви на основе аппроксимации его функции распределения $P({\mathcal{S}}_T<x)$ (или $P({\mathcal{I}}_T<x)$). На втором этапе мы симулируем конечное значение процесса Леви на основе аппроксимации условной функции распределения конечного положения процесса Леви относительно его экстремума. Универсальность разработанного нами метода Монте–Карло заключается в реализации единообразного подхода для широкого класса процессов Леви, в отличие от классических подходов, когда симуляции существенным образом опираются на особенности вероятностного распределения, связанного с моделируемым случайным процессом или его экстремумами. В нашем подходе достаточно знать характеристическую экспоненту процесса Леви. Наиболее затратный по времени вычислительный блок по симуляции случайной величины на основе известной функции распределения может быть эффективно реализован с помощью нейросетей и ускорен за счет параллельных вычислений. Таким образом, с одной стороны, предлагаемый нами подход подходит для широкого класса моделей Леви, с другой — допускает комбинирование с методами машинного обучения.

В статье рассматривается уравнение в частных производных вида

$\frac{\partial u}{\partial t}=f(t,x,y,u,\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2},\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2},\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}),(x,y)\in D\subset {ℝ}^2,t\ge \mathrm{0,}$

относительно неизвестной функции $u\mathrm{,}$ определенной в области $D$ пространственных переменных $x\mathrm{,}y$ и при $t\ge 0.$ Предлагается метод нахождения приближенного решения. Рассматриваемое уравнение заменяется приближенным за счет введения оператора сдвига $S:D\to D,$ позволяющего заменить на каждом шаге вычислений неизвестные значения функции $u(x,y,t)$ в правой части значениями $u\left(S\right(x,y),t),$ полученными на предыдущем шаге. Идея предлагаемого метода восходит к идее метода Тонелли, известного для дифференциальных уравнений относительно функций одной переменной (с обычными, а не частными производными). Достоинствами предлагаемого метода являются простота получаемого итерационного соотношения и возможности применений к широкому классу уравнений и краевых условий. В статье получены итерационные формулы решения краевой задачи с условием Дирихле по пространственным переменным и с начальным или с краевым условием по переменной $t\mathrm{.}$ На основании предложенного метода получено приближенное решение конкретной начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности в квадратной области.

Классическая задача Суслова о движении твердого тела с неподвижной точкой достаточно известна и подробно исследована. В данной работе предлагается омниколесная реализация задачи Суслова. Рассматривается управляемое движение твердого тела с неподвижной точкой в присутствии склерономных неголономных связей и реономной искусственной кинематической связи. Твердое тело вращается вокруг неподвижной точки, обкатывает изнутри сферическую оболочку и контактирует с ней посредством омниколес с дифференциальным приводом. Считаем, что омниколеса контактируют со сферической оболочкой только в одной точке. Чтобы подчинить движение твердого тела искусственной реономной связи, дифференциальный привод создает управляющие крутящие моменты на омниколесах. На основании принципа д’Aламбера–Лагранжа построены уравнения движения системы с неопределенными множителями, задающими реакции связей. Задача сводится к исследованию неавтономной двумерной динамической системы. С помощью преобразования Пуанкаре исследование двумерной динамической системы сводится к исследованию устойчивости однопараметрического семейства неподвижных точек для системы дифференциальных уравнений с вырожденной линейной частью. Определены числовые параметры системы, при которых фазовые траектории ограничены и при которых фазовые траектории неограничены. Результаты исследования проиллюстрированы графически. На основании численного интегрирования построены отображения за период (сечения Пуанкаре) и карта динамических режимов для подтверждения Фейгенбаумовского сценария перехода к хаотической динамике.

Рассмотрено семейство комплексных операторных функций, область определения и область значений которых включены в вещественную банахову алгебру ограниченных линейных комплексных операторов, действующих в банаховом пространстве комплексных векторов над полем вещественных чисел. Показано, что исследование данной функции из этого семейства сводится к изучению пары действительных операторных функций двух действительных операторных переменных. Рассмотрены основные элементарные функции данного семейства: степенная функция; экспонента; тригонометрические функции синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс; гиперболические синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс; доказано основное свойство экспоненты. Получена комплексная операторная формула Эйлера. Найдены соотношения, выражающие синус и косинус через экспоненту. Для тригонометрических функций синус, косинус обоснованы формулы сложения. Доказана периодичность экспоненты, тригонометрических функций синус, косинус, тангенс, котангенс; для этих функций указаны формулы приведения. Получено основное комплексное операторное тригонометрическое тождество. Найдены равенства, связывающие тригонометрические и гиперболические функции. Установлено основное комплексное операторное гиперболическое тождество. Для гиперболических функций синус, косинус указаны формулы сложения. В качестве примера элементарной функции из рассматриваемого семейства комплексных операторных функций приведена рациональная функция, частным случаем которой является характеристический операторный полином линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными ограниченными операторными коэффициентами в вещественном банаховом пространстве.