Универсальный метод Монте–Карло для процессов Леви и его экстремумов

Полный текст

Введение

Процессы Леви, допускающие скачки и обобщающие модель Блэка-Шоулза, последние несколько декад активно используются при моделировании финансовых активов (см., например, [1]). Напомним, что процесс Леви имеет независимые однородные по времени приращения и траектории, непрерывные справа с левосторонними пределами (подробнее, см., например, [2]). Простейшим примером процесса Леви является винеровский процесс.

В задачах вычисления цен опционов метод Монте-Карло является наиболее простым с точки зрения практической реализации. Методы симуляции специальных классов процессов Леви на основе особенностей их построения можно найти в [1]. В рамках общего подхода к построению классических методов Монте-Карло моделирование приращений процесса Леви осуществляется на основе обращения соответствующей функции распределения, которую можно вычислить через характеристическую функцию процесса с помощью интеграла Фурье (см., например, [3]). Вместе с тем, в случае опционов, выплаты по которым зависят от траектории базового актива, в моделях со скачками необходимо осуществлять симуляцию положения процесса через достаточно короткие промежутки времени, чтобы фиксировать возможные изменения процессов супремума и инфимума. Этот факт делает стандартные методы Монте-Карло для процессов Леви слишком затратным с вычислительной точки зрения. На основе факторизационного тождества ( факторизация Винера-Хопфа), связывающего исходный процесс Леви с его супремумом и инфимумом, в [4-6] были построены плотности распределений экстремумов процесса Леви в рандомизированный момент времени, позволяющие разработать более передовые методы Монте-Карло для экзотических опционов. Однако реализация этих методов требовала знания явных формул факторизации, которые известны только для ограниченного числа моделей Леви. Более того, как доказано в [7], в этом случае остается и проблема большого количества шагов по времени. В статье [8] был предложен метод Монте-Карло вычисления вероятности выхода из полосы гауссового процесса, для которого также известна факторизация Винера-Хопфа в явном виде.

В [7] был разработан более универсальный подход к построению методов Монте-Карло для общих моделей Леви, предполагающий непосредственное моделирование процессов экстремума на основе приближенной факторизации Винера-Хопфа. Приближенная факторизация Винера-Хопфа применялась при вычислении цен барьерных опционов в моделях Леви с непрерывным и дискретным мониторингом барьеров (см., например, [9, 10]). Разработанный в [7] метод Монте-Карло с факторизацией Винера-Хопфа для процессов Леви, как показали численные эксперименты в [3], эффективен для симуляции процесса экстремума. Однако для совместного распределения положений экстремума и самого процесса метод нуждается в дальнейшем развитии. В работах [3, 11] предложены подходы по встраиванию искусственных нейросетей в методы Монте-Карло при моделировании случайных величин на основе приближения их функций распределения.

Цель данной статьи - предложить универсальный подход построения методов Монте-Карло для вычисления цен опционов с выплатами, зависящими от совместного распределения конечного положения процесса Леви и его экстремума. В рамках данной работы мы выводим приближенные формулы для условных функций распределения процесса Леви относительно его экстремума, которые выражаются через соответствующую частную производную функции совместного распределения и плотности инфимума (или супремума) в конечный момент времени.

Преобразование Лапласа функции совместного распределения процесса Леви и его экстремума позволяет нам использовать факторизацию Винера-Хопфа для представления образа ее частной производной. Обращая преобразование Лапласа с помощью алгоритма Гавера-Стехфеста, мы находим искомую условную функции распределения. С помощью функций распределения процесса экстремума и условной функции распределения процесса Леви относительно его экстремума мы сначала симулируем положение процесса экстремума, а затем положение самого процесса при известном экстремуме. В результате мы получаем совместное положение процесса Леви и его экстремума в заданный момент времени. Наиболее затратный по времени вычислительный блок по симуляции случайной величины на основе известной функции распределения может быть эффективно реализован с помощью нейросетей. Таким образом, с одной стороны, предлагаемый нами подход подходит для широкого класса моделей Леви, с другой - допускает комбинирование с методами машинного обучения.

Остальная часть статьи организована следующим образом. В разделе 1 мы дадим основные понятия теории процессов Леви, включающие в себя факторизации Винера-Хопфа. Во втором разделе мы выведем приближенные формулы для функций условного распределения процесса Леви относительно его экстремума в фиксированный момент времени. В третьем разделе мы сформулируем алгоритм универсального метода Монте-Карло для общих процессов Леви.

1. Основные понятия теории процессов Леви

Пусть $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Omega \mathrm{,}\mathcal{F}\mathrm{,}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ - вероятностное пространство, на котором определен одномерный процесс Леви $\mathrm{<mo>\{</mo>}{X}_t\mathrm{,}t\ge \mathrm{0<mo>\}</mo>.}$ Напомним, что характеристическая экспонента $\psi \mathrm{,}$ которая находится из соотношения $E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{e}^{i\xi X_t}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}{e}^{-t\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}$ полностью определяет $X_t\mathrm{.}$ Согласно хорошо известной формуле Леви-Хинчина (см. [?]), $\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ допускают следующее представление

$\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{{\sigma }^2}{2}{\xi }^2-i\gamma \xi +{\displaystyle {\int }_R}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-e^{i\xi x}+i\xi x{1}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-\mathrm{1,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\Pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}dx\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$   (1.1)

где $\sigma \ge 0$ и $\gamma \in R$ - константы, а $\Pi$ - мера на $R\backslash \mathrm{<mo>\{</mo>0<mo>\}</mo>,}$ удовлетворяющая свойству

${\displaystyle {\int }_R}\min \mathrm{<mo>\{</mo>1,}{x}^2\mathrm{<mo>\}</mo>}\Pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}dx\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo><</mo>}+\infty \mathrm{.}$

Определение 1.1. [2, Definition 45.1] Определим

${\mathcal{S}}_t\mathrm{<mo>=</mo>}\underset{0\le s\le t}{{\displaystyle \sup }}{X}_sи{\mathcal{I}}_t\mathrm{<mo>=</mo>}\underset{0\le s\le t}{{\displaystyle \inf }}{X}_s\mathrm{.}$

Процессы $\mathrm{<mo>\{</mo>}{\mathcal{S}}_t\mathrm{<mo>\}</mo>}$ и $\mathrm{<mo>\{</mo>}{\mathcal{I}}_t\mathrm{<mo>\}</mo>}$ называются процессами супремума и инфимума, соответственно. Отметим, что для любого $t\mathrm{<mo>></mo>0}$ имеют место следующие полезные соотношения [2, Remark 45.9]

${\mathcal{S}}_t\stackrel{d}{\sim }{X}_t-{\mathcal{I}}_t\mathrm{,}{\mathcal{I}}_t\stackrel{d}{\sim }{X}_t-{\mathcal{S}}_t\mathrm{.}$

Введем случайное время $T_q\mathrm{,}$ имеющее показательное распределение с параметром интенсивности $q\mathrm{<mo>></mo>0,}$ и рассмотрим характеристическую функцию распределения $X_{T_q}$ 

$E\left[e^{i\xi X_{T_q}}\right]\mathrm{<mo>=</mo>}q{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}q+\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-1}\mathrm{.}$

Имеет место следующий результат (факторизация Винера-Хопфа).

Теорема 1. 1. (см. [2, Theorem 45.2]) Существует единственная пара характеристических функций ${\varphi }_q^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и ${\varphi }_q^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ бесконечно делимых распределений с носителями на $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}+\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\infty \mathrm{,0<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ соответственно, таких, что выполняется тождество

$q{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}q+\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-1}\mathrm{<mo>=</mo>}{\varphi }_q^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\varphi }_q^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\xi \in R\mathrm{.}$

Согласно [2, Theorem 45.7], функции ${\varphi }_q^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и ${\varphi }_q^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ - это характеристические функции распределений ${\mathcal{S}}_{T_q}$ и ${\mathcal{I}}_{T_q}\mathrm{,}$ соответственно:${\varphi }_q^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}E\left[{\displaystyle {\int }_0^{\infty }}q{e}^{-qt}{e}^{i\xi {\mathcal{S}}_t}dt\right]\mathrm{<mo>=</mo>}E\left[e^{i\xi {\mathcal{S}}_{T_q}}\right]\mathrm{,}$    (1.2)

${\varphi }_q^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}E\left[{\displaystyle {\int }_0^{\infty }}q{e}^{-qt}{e}^{i\xi {\mathcal{I}}_t}dt\right]\mathrm{<mo>=</mo>}E\left[e^{i\xi {\mathcal{I}}_{T_q}}\right]\mathrm{.}$     (1.3)

2. Факторизация Винера-Хопфа и условные функции распределения процесса Леви относительно его экстремума

Рассмотрим задачу аппроксимации функций совместного распределения процесса Леви и процесса экстремума. Обозначим через:

$F^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{S}}_T\mathrm{<mo><</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ функцию распределения положения процесса супремума ${\mathcal{S}}_T\mathrm{<mo>;</mo>}$

$F^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{I}}_T\mathrm{<mo><</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ функцию распределения положения процесса инфимума ${\mathcal{I}}_T\mathrm{<mo>;</mo>}$

$F_X^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\text{}\mathrm{<mo>=</mo>}\text{}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{X}_T\text{}\mathrm{<mo><</mo>}\text{}x\mathrm{,}{\mathcal{S}}_T\text{}\mathrm{<mo><</mo>}\text{}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ функцию совместного распределения величин $X_T$ и ${\mathcal{S}}_T\mathrm{<mo>;</mo>}$

$F_X^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\text{}\mathrm{<mo>=</mo>}\text{}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{X}_T\text{}\mathrm{<mo><</mo>}\text{}x\mathrm{,}{\mathcal{I}}_T\text{}\mathrm{<mo><</mo>}\text{}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ функцию совместного распределения величин $X_T$ и ${\mathcal{I}}_T\mathrm{<mo>;</mo>}$ 

$F_{X\mathrm{<mo>|</mo>}\mathcal{S}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\text{}\mathrm{<mo>=</mo>}\text{}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{X}_T\mathrm{<mo><</mo>}x\mathrm{<mo>|</mo>}{\mathcal{S}}_T\mathrm{<mo>=</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ условную функцию распределения величины $X_T$ относительно ${\mathcal{S}}_T\mathrm{<mo>;</mo>}$

$F_{X\mathrm{<mo>|</mo>}\mathcal{I}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\text{}\mathrm{<mo>=</mo>}\text{}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{X}_T\mathrm{<mo><</mo>}x\mathrm{<mo>|</mo>}{\mathcal{I}}_T\mathrm{<mo>=</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ условную функцию распределения величины $X_T$ относительно ${\mathcal{I}}_T\mathrm{.}$

Применяя преобразование Лапласа $\mathcal{L}$ к $F^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ по времени $T\mathrm{,}$ получаем

${\widehat{F}}^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_0^{+\infty }}{e}^{-qt}E\left[1_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\infty \mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{S}}_t-x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]dt\mathrm{<mo>=</mo>}{q}^{-1}E\left[1_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\infty \mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{S}}_{T_q}-x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]$

$\mathrm{<mo>=</mo>}{q}^{-1}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{S}}_{T_q}\mathrm{<mo><</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv q^{-1}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{X}_{T_q}-{\mathcal{I}}_{T_q}\mathrm{<mo><</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$        (2.1)

 Аналогично, применяя преобразование Лапласа к $F^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ получаем

${\widehat{F}}^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_0^{+\infty }}{e}^{-qt}E\left[1_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\infty \mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{I}}_t-x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]dt\mathrm{<mo>=</mo>}{q}^{-1}E\left[1_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\infty \mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{I}}_{T_q}-x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]$

$\mathrm{<mo>=</mo>}{q}^{-1}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{I}}_{T_q}\mathrm{<mo><</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv q^{-1}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{X}_{T_q}-{\mathcal{S}}_{T_q}\mathrm{<mo><</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$          (2.2)

Функции ${\widehat{F}}^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и ${\widehat{F}}^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ можно вычислить, например, с помощью [3, Теорема 2.1], см. также [7].

Теорема 2. 1. Определим ${\widehat{F}}^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ по формуле (2.1). Фиксируем четное натуральное число $N\mathrm{<mo>=</mo>2}n\mathrm{,}$ определим точки $q_k$ в соответствии с алгоритмом Гавера-Стехфеста

$q_k\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{k\ln \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{T}\mathrm{,}k\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}N\mathrm{,}$      (2.3)

 и весовые коэффициенты ${\omega }_k$ 

  ${\omega }_k\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}\frac{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{n+k}}{k\cdot n\mathrm{<mo>!</mo>}}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}k+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}}^{\min \mathrm{<mo>\{</mo>}k\mathrm{,}n\mathrm{<mo>\}</mo>}}}{j}^{n+1}{C}_n^j{C}_{2j}^j{C}_j^{k-j}\mathrm{,}$       (2.4)

 где через $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ обозначена целая часть $x\mathrm{,}$ а через $C_L^K\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{L\mathrm{<mo>!</mo>}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}L-K\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>!</mo>}K\mathrm{<mo>!</mo>}}$ - количество сочетаний из $L$ элементов по $K\mathrm{.}$ Тогда

$F_{X\mathrm{<mo>|</mo>}\mathcal{I}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}y\mathrm{<mo>></mo>0,}$    (2.5)

$F_{X\mathrm{<mo>|</mo>}\mathcal{I}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\approx \frac{{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}{\omega }_k\cdot {\widehat{F}}^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-y\mathrm{,}{q}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\widehat{p}}_{q_k}^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{p_T^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}y\le \mathrm{0,}x\ge y\mathrm{,}$    (2.6)

где $p_t^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и ${\widehat{p}}_q^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ - плотности вероятности ${\mathcal{I}}_t$ и ${\mathcal{I}}_{T_q}\mathrm{,}$ соответственно.

Доказательство. Учитывая, что ${\mathcal{I}}_{T_q}$ принимает неположительные значения, по определению условной функции распределения случайной величины $F_{X\mathrm{<mo>|</mo>}\mathcal{I}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ получаем, что при $y\mathrm{<mo>></mo>0}$ (2.5) выполняется автоматически.

При $y\le \mathrm{0,}$ $x\ge y$ имеем

$P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{X}_T\mathrm{<mo><</mo>}x\mathrm{,}{\mathcal{I}}_T\mathrm{<mo><</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^y}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{X}_T\mathrm{<mo><</mo>}x\mathrm{<mo>|</mo>}{\mathcal{I}}_T\mathrm{<mo>=</mo>}\tilde{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{p}_T^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\tilde{y}\mathrm{,}$    (2.7)

 где $p_T^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ - плотность распределения вероятностей случайной величины ${\mathcal{I}}_T\mathrm{.}$ Из (2.7), с учетом наших обозначений, получаем,   $P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{X}_T\mathrm{<mo><</mo>}x\mathrm{<mo>|</mo>}{\mathcal{I}}_T\mathrm{<mo>=</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\partial }_y{F}_X^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}{p}_T^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$      (2.8)

Применяя преобразование Лапласа к $F_X^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и учитывая соотношения в (2.1), получаем

${\widehat{F}}_X^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{,}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_0^{+\infty }}{e}^{-qt}E\left[1_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\infty \mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{X}_t-x{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>1}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\infty \mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{I}}_t-y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]dt$

$\mathrm{<mo>=</mo>}{q}^{-1}E\left[1_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\infty \mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{X}_{T_q}-x{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>1}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\infty \mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{I}}_{T_q}-y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]$

$\mathrm{<mo>=</mo>}{q}^{-1}E\left[1_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\infty \mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{X}_{T_q}-{\mathcal{I}}_{T_q}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{I}}_{T_q}-x{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>1}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\infty \mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{I}}_{T_q}-y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]$

$\mathrm{<mo>=</mo>}E\left[q^{-1}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{X}_{T_q}-{\mathcal{I}}_{T_q}\mathrm{<mo><</mo>}x-{\mathcal{I}}_{T_q}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>1}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\infty \mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{I}}_{T_q}-y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]$

$\mathrm{<mo>=</mo>}E\left[{\widehat{F}}^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-{\mathcal{I}}_{T_q}\mathrm{,}q{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>1}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\infty \mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{I}}_{T_q}-y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]$

$\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^0}{\widehat{F}}^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-z\mathrm{,}q{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>1}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\infty \mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z-y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{p}_q^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dz\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^y}{\widehat{F}}^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-z\mathrm{,}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{p}_q^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dz\mathrm{.}$                                                                                       (2.9)

Дифференцируя интеграл (2.9) по $y\mathrm{,}$ мы получаем

${\partial }_y{\widehat{F}}_X^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{,}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\widehat{F}}^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-y\mathrm{,}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{p}_q^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$   (2.10)

Обращая преобразование Лапласа в (2.10) с помощью алгоритма Гавера-Стехфеста и подставляя результат в (2.8), завершаем доказательство соотношения (2.6).

По аналогии можно доказать следующую теорему для условной функции распределения $F_{X\mathrm{<mo>|</mo>}\mathcal{S}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Теорема 2.2. Определим ${\widehat{F}}^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ по формуле (2.2). Фиксируем четное натуральное число $N\mathrm{<mo>=</mo>2}n\mathrm{,}$ определим точки $q_k$ в соответствии с алгоритмом Гавера-Стехфеста (см. (2.3), (2.4)). Тогда

$F_{X\mathrm{<mo>|</mo>}\mathcal{S}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}y\mathrm{<mo><</mo>0,}$

$F_{X\mathrm{<mo>|</mo>}\mathcal{S}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\approx \frac{{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}{\omega }_k\cdot {\widehat{F}}^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-y\mathrm{,}{q}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\widehat{p}}_{q_k}^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{p_T^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}y\ge \mathrm{0,}x\le y\mathrm{,}-2ex$

где $p_t^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и ${\widehat{p}}_q^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ - плотности вероятности ${\mathcal{S}}_t$ и ${\mathcal{S}}_{T_q}\mathrm{,}$ соответственно.

Плотности вероятности $p_T^{-}\text{}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $p_T^{+}\text{}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ можно вычислить с помощью следующей теоремы.

Теорема 2.3. Пусть существуют вещественные числа ${\omega }_{-}\mathrm{<mo><</mo>0<mo><</mo>}{\omega }_{+}$ такие, что при любых положительных $q$ характеристические функции ${\varphi }_q^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (1.2) и ${\varphi }_q^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (1.3) аналитичны при $\Im \xi \mathrm{<mo>></mo>}{\omega }_{-}$ и при $\Im \xi \mathrm{<mo><</mo>}{\omega }_{+}\mathrm{,}$ соответственно. Фиксируем четное натуральное число $N\mathrm{<mo>=</mo>2}n\mathrm{,}$ определим точки $q_k$ в соответствии с алгоритмом Гавера-Стехфеста см. (2.3), (2.4). Тогда

$p_T^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}x\mathrm{<mo>></mo>0,}$

$p_T^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{\pi }\Re {\displaystyle {\int }_0^{\infty }}{e}^{-ix\xi }{\Phi }^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\xi \mathrm{,}x\le \mathrm{0,}$  (2.11)

$p_T^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}x\mathrm{<mo><</mo>0,}$              (2.12)

$p_T^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{\pi }\Re {\displaystyle {\int }_0^{\infty }}{e}^{-ix\xi }{\Phi }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\xi \mathrm{,}x\ge \mathrm{0,}-2ex$  (2.13)

 где

${\Phi }^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}E\left[e^{i\xi {\mathcal{I}}_T}\right]\approx {\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}{\omega }_k\cdot q_k^{-1}\cdot {\varphi }_{q_k}^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$   (2.14)

${\Phi }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}E\left[e^{i\xi {\mathcal{S}}_T}\right]\approx {\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}{\omega }_k\cdot q_k^{-1}\cdot {\varphi }_{q_k}^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Доказательство. Выразим плотность вероятности $p_T^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ через характеристическую функцию ${\Phi }^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ применив обратное преобразование Фурье вероятностной меры (см., например, [12, с. 5]):

$p_T^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>2}\pi {\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-1}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }}{e}^{-iy\xi }{\Phi }^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\xi \mathrm{.}$

Учитывая, очевидное свойство ${\Phi }^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\xi \mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\overline{{\Phi }^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ подынтегральной функции, получаем (2.11).

Выразим $p_q^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ через функцию ${\varphi }_q^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ применив обратное преобразование Фурье вероятностной меры

$p_q^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>2}\pi {\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-1}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }}{e}^{-iy\xi }{\varphi }_q^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\xi \mathrm{.}$

Из формулы (1.3) следует, что преобразование Лапласа характеристической функции $E\left[e^{i\xi {\mathcal{I}}_T}\right]$ процесса инфимума ${\mathcal{I}}_T$ выражается через ${\varphi }_q^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ следующим образом

${\widehat{\Phi }}^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{q}^{-1}{\varphi }_q^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$   (2.15)

Обращая преобразование Лапласа в (2.15) с помощью алгоритма Гавера-Стехфеста, мы получаем формулу (2.14).

Формулы (2.12), (2.13) доказываются аналогично.

3. Универсальный метод Монте-Карло для вычисления цен опционов

Суммируя вышесказанное, мы получаем следующий алгоритм симуляции совместного распределения конечного положения процесса Леви и его инфимума:

• В точках $q_k\mathrm{,}$ определяемых алгоритмом Гавера-Стехфеста (см. (2.3)-( 2.4)), с помощью [3, Теорема 2.1] вычисляем значения функций ${\widehat{F}}^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{q}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ на плотной равномерной сетке $\mathrm{<mo>\{</mo>}{x}_j\mathrm{<mo>\}</mo>.}$ 
• Функцию распределения $F^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_j\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ вычисляем с помощью [3, Теорема 2.2] на плотной равномерной сетке $\mathrm{<mo>\{</mo>}{x}_j\mathrm{<mo>\}</mo>.}$ 
• Симулируем значения ${\mathcal{I}}_T\mathrm{<mo>=</mo>}y\mathrm{,}$ решая (с помощью интерполяции или обученной нейросети [11]) уравнение $F^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}U\mathrm{,}$ где $U$ - равномерное распределение на $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ 
•  Симулируем совместное распределение $X_T\mathrm{<mo>=</mo>}y+z$ и ${\mathcal{I}}_T\mathrm{<mo>=</mo>}y\mathrm{,}$ где положительное число $z$ находится путем решения (с помощью интерполяции или обученной нейросети [11, Теорема 3]) уравнения

$F_{X\mathrm{<mo>|</mo>}\mathcal{I}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y+z\mathrm{,}y\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}V\mathrm{,}$               (3.1)

где $V$ - равномерное распределение на $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ независимое от $U\mathrm{.}$ С помощью теоремы теоремы 2.1 решение (3.1) численно сводится к решению

$\frac{{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}{\omega }_k\cdot {\widehat{F}}^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{,}{q}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\widehat{p}}_{q_k}^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{p_T^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}V\mathrm{,}$

где $V$ - равномерное распределение на $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ независимое от $U\mathrm{.}$ 

Уравнение (3.1) можно также решить численно с помощью метода Ньютона. Положим $F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}{\omega }_k\cdot {\widehat{F}}^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{,}{q}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\widehat{p}}_{q_k}^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Идея состоит в том, чтобы выбрать начальное приближение $z_0$ к корню $z^{\ast }$ такое, чтобы $F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ было достаточно близко к $0.$ Например, $z_0$ можно выбрать таким, чтобы ${\widehat{F}}^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_0\mathrm{,}{q}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}V\mathrm{.}$ Тогда получим конкретную аппроксимацию решения как корня $z_1$ уравнения прямой, касательной к кривой $w\mathrm{<mo>=</mo>}F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в точке $z\mathrm{<mo>=</mo>}{z}_0$ 

$F^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}z-z_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где $F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ приближается к $0.$ Таким образом, новое уточненное предположение $z_1$ определяется по формуле

$z_1\mathrm{<mo>=</mo>}{z}_0-\frac{F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{F^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}{\omega }_k\cdot {\widehat{F}}^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_0\mathrm{,}{q}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\widehat{p}}_{q_k}^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}{\omega }_k\cdot {\widehat{p}}_{q_k}^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\widehat{p}}_{q_k}^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{.}$

Мы продолжаем уточнять наш приблизительный корень, пока не достигнем заданной точности. Алгоритм последовательных итераций в методе Ньютона следующий:

$z_{n+1}\mathrm{<mo>=</mo>}{z}_n-\frac{F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{F^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}{\omega }_k\cdot {\widehat{F}}^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_n\mathrm{,}{q}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\widehat{p}}_{q_k}^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}{\omega }_k\cdot {\widehat{p}}_{q_k}^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\widehat{p}}_{q_k}^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{.}$

Поскольку порядок сходимости метода Ньютона равен 2, метод сходится достаточно быстро.

Аналогично можно построить алгоритм симуляции совместного распределения конечного положения процесса Леви и его супремума:

• В точках $q_k\mathrm{,}$ определяемых алгоритмом Гавера-Стехфеста (см. (2.3)-(2.4)), с помощью [3, Теорема 2.1] вычисляем значения функций ${\widehat{F}}^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{q}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ на плотной равномерной сетке $\mathrm{<mo>\{</mo>}{x}_j\mathrm{<mo>\}</mo>.}$ 
•  Функцию распределения $F^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_j\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ вычисляем на плотной равномерной сетке $\mathrm{<mo>\{</mo>}{x}_j\mathrm{<mo>\}</mo>}$ с помощью [3, Теорема 2.2].
• Симулируем значения ${\mathcal{S}}_T\mathrm{<mo>=</mo>}y\mathrm{,}$ решая (с помощью интерполяции или обученной нейросети [11, Теорема 3]) уравнение $F^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}U\mathrm{,}$ где $U$ - равномерное распределение на $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ 
• Симулируем совместное распределение $X_T\mathrm{<mo>=</mo>}y+z$ и ${\mathcal{S}}_T\mathrm{<mo>=</mo>}y\mathrm{,}$ где отрицательное число $z$ находится путем решения (с помощью интерполяции или обученной нейросети [11, Теорема 3]) уравнения

$F_{X\mathrm{<mo>|</mo>}\mathcal{S}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y+z\mathrm{,}y\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}V\mathrm{,}$    (3.2)

 где $V$ - равномерное распределение на $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ независимое от $U\mathrm{.}$ С помощью теоремы 2.2 решение (3.2) численно сводится к решению

$\frac{{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}{\omega }_k\cdot {\widehat{F}}^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{,}{q}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\widehat{p}}_{q_k}^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{p_T^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}V\mathrm{.}$

Замечание 3.1. Для вычисления функций распределения в теоремах 2.1 и 2.2 нам будут нужны функции ${\varphi }_q^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и ${\varphi }_q^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Если явные формулы для характеристических функций ${\varphi }_q^{\pm }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ неизвестны, то их можно найти, используя метод приближенной факторизации (см., например [7, 10]).

Опишем, как предложенные алгоритмы могут быть использованы при построении методов Монте-Карло при вычислении цен экзотических опционов. Пусть $r\mathrm{<mo>></mo>0}$ - безрисковая процентная ставка, и цена базового актива $S_t\mathrm{<mo>=</mo>}S\exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{X}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ где $S\mathrm{<mo>></mo>0,}$ a $X_t$ - процесс Леви относительно выбранной матрингальной меры. Пусть цена экзотического опциона с моментом исполнения $T$ в момент времени $t\mathrm{<mo>=</mo>0}$ определяется по формуле

$V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{,}S\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{e}^{-rT}E\left[G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}S{e}^{{\mathcal{S}}_T}\mathrm{,}S{e}^{X_T}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]\mathrm{,}$

 где $G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}M\mathrm{,}S\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ - функция выплат по опциону.

Обозначим через

$\widehat{V}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{,}S\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}{e}^{-rT}S\frac{1}{N}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}S{e}^{{\widehat{\mathcal{S}}}_n}\mathrm{,}S{e}^{{\widehat{\mathcal{S}}}_n+{\widehat{Z}}_n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где $N$ - количество симуляций, ${\widehat{\mathcal{S}}}_n$ - решение уравнения $F^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{u}_n$ относительно $y\mathrm{<mo>;</mo>}$ ${\widehat{Z}}_n\mathrm{<mo>=</mo>}{\mathcal{S}}_n$ - решение $F_{X\mathrm{<mo>|</mo>}\mathcal{S}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}_n+z\mathrm{,}{u}_n\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{v}_n$ относительно $z\mathrm{<mo>;</mo>}$ $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}_n\mathrm{,}{v}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ - симуляция с номером $n$ пары независимых равномерно распределенных на $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ случайных величин $U$ и $V\mathrm{.}$ Тогда

$V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{,}S\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\widehat{V}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{,}S\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{N}^{-\frac{1}{2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Будем называть предложенный подход универсальным методом Монте-Карло для процессов Леви. Универсальность разработанного нами метода Монте-Карло заключается в реализации единообразного подхода для широкого класса процессов Леви, в отличие от классических подходов, когда симуляции существенным образом опираются на особенности вероятностного распределения, связанного с моделируемым случайным процессом или его экстремумами. В нашем подходе достаточно знать характеристическую экспоненту $\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (1.1) процесса Леви. Увеличивая количество членов в формуле Гавер-Стехфеста, мы можем добиться необходимой точности вычислений.

С точки зрения практического применения, данный метод легко распараллеливается на базе nVidia CUDA API для одновременного расчета цен различных экзотических опционов на один и тот же базовый актив. В частности, на основе одного набора вероятностей можно одновременно рассчитывать цены нескольких типов опционов для различных значений начальной цены и уровней предопределенного минимума (максимума). В указанном ключе метод может успешно конкурировать с детерминированными методами вычисления опционов. Разработанный в работе универсальный алгоритм состоит из двух ключевых этапов: симуляция положения экстремума процесса Леви на основе аппроксимации его функции распределения $F^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (или $F^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ ) и симуляция совместного положения исходного процесса при известном экстремуме на основе аппроксимации условной функции распределения конечного положения процесса Леви относительно его экстремума $F_{X\mathrm{<mo>|</mo>}\mathcal{S}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (или $F_{X\mathrm{<mo>|</mo>}\mathcal{I}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ ).

Основным повторяющимся вычислительным блоком в методе Монте-Карло будет решение уравнений вида $F^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}u$ (или $F^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}u$ ) и (3.1) (или (3.2)). В настоящее время нейронные сети и другие методы машинного обучения активно используют не как самостоятельные методы решения задач, а как структурные элементы алгоритма, которые позволяют эффективно выполнять часто повторяющиеся вычислительные блоки. Как показано в [11, Theorem 3], непрерывные случайную величину можно симулировать, не обращая функцию распределения, а аппроксимировав ее с помощью монотонной искусственной нейросети, которую можно интерпретировать как функцию распределения смеси логистических распределений. Таким образом, для реализации метода Монте-Карло нам понадобится симулировать только логистическое распределение как составной элемент нашей конструкции.

Об авторах

Александр Сергеевич Гречко

ООО НПФ «ИнВайз Системс»

Email: alex@itparadigma.ru
ORCID iD: 0009-0008-3655-4319

научный сотрудник

Россия, 344015, г. Ростов-на-Дону, ул. Еременко, 58/11

Олег Евгеньевич Кудрявцев

ООО НПФ «ИнВайз Системс»; ГКОУ ВО «Ростовский филиал Российской таможенной академии»

Автор, ответственный за переписку.
Email: koe@donrta.ru
ORCID iD: 0000-0003-4331-0204

заместитель генерального директора по научной работе, доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой информатики и информационных таможенных технологий

Россия, 344015, г. Ростов-на-Дону, ул. Еременко, 58/11; 344002, г. Ростов-на-Дону, пр. Буденновский, 20

Список литературы

Дополнительные файлы