Оптимальные оценки количества звеньев базисных горизонтальных ломаных для 2-ступенчатых групп Карно с горизонтальным распределением коранга $1$

Введение

Рассмотрим связное гладкое многообразие $\mathcal{M}\mathrm{,}$ $\dim \mathcal{M}\mathrm{<mo>=</mo>}N$ и $C^{\infty }$ -гладкие векторные поля ${\mathcal{X}}_{\mathcal{M}}\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}{X}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{X}_m\mathrm{<mo>\}</mo>,}$ $m\mathrm{<mo><</mo>}N\mathrm{,}$ удовлетворяющие условию Хермандера на $\mathcal{M}$ (субриманово многообразие). Векторные поля $X_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{X}_m$ и подрасслоение $H_{\mathcal{M}}\subset T\mathcal{M}\mathrm{,}$ натянутое на $X_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{X}_m\mathrm{,}$ называются горизонтальными. Абсолютно непрерывная кривая $\gamma \mathrm{<mo>=</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,}{s}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\to \mathcal{M}$ называется горизонтальной, если $\dot{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in H_{\mathcal{M}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ почти всюду. Хорошо известна следующая

Теорема 0.1 [Рашевский-Чоу [1, 2]] Любые две точки $u\mathrm{,}v\in \mathcal{M}$ могут быть соединены некоторой горизонтальной кривой $\gamma \subset \mathcal{M}\mathrm{,}$ состоящей из конечного числа отрезков интегральных линий горизонтальных векторных полей $X_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{X}_m\mathrm{.}$ 

Отметим следующий более точный (по сравнению с теоремой 0.1) результат.

Теорема 0.2 [2] Любые две точки $u\mathrm{,}v\in \mathcal{M}$ могут быть соединены горизонтальной кривой в $\mathcal{M}\mathrm{,}$ состоящей не более чем из $2N$ отрезков интегральных линий горизонтальных векторных полей $X_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{X}_m\mathrm{.}$ 

Расстояние Карно-Каратеодори на $\mathcal{M}$ определяется как

$d_{cc}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}u\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\inf \mathrm{<mo>\{</mo>}{l}_{\mathcal{M}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}|\gamma ---\text{горизонтальнаякривая}\text{,соединяющая}u\mathrm{,}v\mathrm{<mo>\}</mo><mo>;</mo>}$

длина $l_{\mathcal{M}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ абсолютно непрерывной кривой $\gamma \mathrm{<mo>=</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ $s\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}{s}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ определяется при помощи скалярного Риманова произведения обычным способом. Пара $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{M}\mathrm{,}{d}_{cc}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ называется пространством Карно-Каратеодори [1-3]. Важнейшим частным случаем пространств Карно-Каратеодори являются группы Карно $G$ [3-5].

В контексте теорем 0.1, 0.2 кривую, состоящую из отрезков интегральных линий горизонтальных векторных полей $X_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{X}_m\mathrm{,}$ естественно называть (горизонтальной) ломаной. При этом, при выбранном базисе ${\mathcal{X}}_{\mathcal{M}}$ горизонтального подрасслоения $H_{\mathcal{M}}\mathrm{,}$ также естественно определять горизонтальную ломаную как кривую, состоящую из отрезков интегральных линий горизонтальных векторных полей вида ${\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^m}{a}_i{X}_i\mathrm{,}$ $a_i\mathrm{<mo>=</mo>}const\mathrm{.}$

Определение 0.1. Пусть $\mathcal{Y}\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}{Y}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{Y}_r\mathrm{<mo>\}</mo>}$ - гладкие векторные поля, определенные на некоторой области $U\subset R^N\mathrm{.}$ Положим

$a_{J}Y\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^r}{a}_j{Y}_j\mathrm{,}{a}_J\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{a}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{a}_r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in R^r\mathrm{,}{a}_i\mathrm{<mo>=</mo>}const\mathrm{.}$

Обозначим через $\exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{a}_{J}Y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ $u\in U\mathrm{,}$ точку интегральной линии $\exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s{a}_{J}Y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ $s\ge \mathrm{0,}$ горизонтального векторного поля $a_{J}Y\mathrm{,}$ соответствующую значению $s\mathrm{<mo>=</mo>1<mo>;</mo>}$ для простоты мы полагаем, что выражение $\exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{a}_{J}Y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ корректно определено для каждого вектора $a_J\mathrm{.}$ По индукции определим $k$ -ломаную $L_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_0\mathrm{,}{x}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ состоящую из $k$ сегментов $I_i\mathrm{,}$ $i\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}k\mathrm{,}$ $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}$ имеющую $k$ звеньев $\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $k+1$ вершин в точках $x_0\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_k$ с началом в точке $x_0$ и концом в точке $x_k\mathrm{<mo>:</mo>}$ 

$L_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_0\mathrm{,}{x}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}{\overset{k}{\cup }}}{I}_i\mathrm{,}{I}_i\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{s\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}}{\cup }}\exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s{a}_{J_i}Y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{i-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{a}_{J_i}Y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{i-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{x}_i\mathrm{,}\mathrm{<mo>|</mo>}{a}_{J_i}\mathrm{<mo>|</mo>}\ne 0.$                  (0.1)

Если в (0.1) мы рассматриваем только такие $a_J\mathrm{,}$ где всего лишь одна компонента не равна $\mathrm{0,}$ то такие ломаные мы будем называть $\mathcal{Y}$ -базисными и использовать в этом случае обозначение $L_k^{\mathcal{Y}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_0\mathrm{,}{x}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

В серии работ [6-9] была исследована задача о нахождении минимального числа $N_{\mathcal{M}}$ такого, что любые две точки $x\mathrm{,}y\in \mathcal{M}$ соединяются горизонтальной $k$ -ломаной, $k\le N_{\mathcal{M}}\mathrm{<mo>:</mo>}$ для серии групп Карно $G$ были найдены значения величины $N_G\mathrm{,}$ и полученные результаты показывают, что значение $2N$ из теоремы 0.2 здесь не оптимально. Но, с другой стороны, подходы работ [6-9] основаны на определении 0.1, тогда как теоремы 0.1, 0.2 доказываются для горизонтальных ломаных вида $L_k^{{\mathcal{X}}_{\mathcal{M}}}\mathrm{.}$

Пусть $N_{{\mathcal{X}}_{\mathcal{M}}}$ - минимальное натуральное число такое, что любые две точки $x\mathrm{,}y\in \mathcal{M}$ соединяются горизонтальной ломаной $L_k^{{\mathcal{X}}_{\mathcal{M}}}\mathrm{,}$ где $k\le N_{{\mathcal{X}}_{\mathcal{M}}}\mathrm{.}$ В настоящей работе для канонических 2-ступенчатых групп Карно $D_n$ с горизонтальным распределением коранга $1$ мы установили, что $N_{{\mathcal{X}}_{D_n}}\le n+\mathrm{2,}$ где ${\mathcal{X}}_{D_n}$ - базис горизонтальных левоинвариантных векторных полей (базис Якоби) группы $D_n$ (теорема 3.1, следствие 3.1); здесь $\dim D_n\mathrm{<mo>=</mo>}n+\mathrm{1,}$ $n\ge 2.$ Отметим, что из общих соображений следует, что $N_{{\mathcal{X}}_{D_n}}\ge n+1.$ При этом для групп Гейзенберга $H_{\alpha }^k\mathrm{,}$ $k\in N\mathrm{,}$ (частный случай групп $D_n$ ) мы получили, см. теоремы 2.1, 2.2, что

$N_{{\mathcal{X}}_{H_{\alpha }^k}}\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{4,}& k\mathrm{<mo>=</mo>1,}\\ 2k+\mathrm{1,}& k\mathrm{<mo>></mo>1.}\end{array}\right.$

Полученные результаты интересно сопоставить со следующим фактом: $N_{D_n}\mathrm{<mo>=</mo>3}$ для любого $n\ge 2$ [7].

Группы Карно $D_n$ являются предметом специального исследования в геометрическом анализе, см., например, 10]. В работе [11] были найдены точные значения константы $q_2$ в обобщенном неравенстве треугольника для Box-квазиметрик групп $D_n\mathrm{<mo>;</mo>}$ точные значения константы $q_2$ играют существенную роль в получении точных оценок в теоремах о точках совпадения липшицевых и накрывающих отображений в $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{q}_1\mathrm{,}{q}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ -квазиметрических пространствах [12-14].

Полученные в теоремах 2.1, 2.2, 3.1 результаты говорят о том, что универсальная оценка теоремы 0.2 в контексте настоящей работы не является оптимальной даже при том, что класс горизонтальных ломаных (определение 0.1) был сужен до класса «базисных» горизонтальных ломаных. Из доказательства теоремы 2.2 вытекает, что для любой выделенной точки $M_0\in D_n$ почти все точки $M\in D_n\mathrm{,}$ $M_0\ne M\mathrm{,}$ могут быть соединены с $M_0$ базисными горизонтальными $k$ -ломаными, $k\le n+1.$ Совершенно правдоподобно выглядит гипотеза о том, что для любой выделенной точки $M_0\in G$ почти все точки $M\in G\mathrm{,}$ $M_0\ne M\mathrm{,}$ могут быть соединены с $M_0$ базисными горизонтальными $k$ -ломаными, $k\le \dim G\mathrm{.}$

1. Предварительные замечания

В наших рассмотрениях мы будем определять группы Карно как канонические группы Ли. Канонической $N$ -мерной группой Ли [15, Глава IV] называется аналитическая группа Ли $G$ такая, что ее экспоненциальное отображение $Exp\mathrm{<mo>:</mo>}{R}^N\to G$ является тождественным; таким образом, любой элемент $x\in G$ однозначно определяется координатной записью $x\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ точка $O_G\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\dots \mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (начало координат $R^N$ ) является нейтральным элементом, $x^{-1}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}-x_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}-x_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ групповая операция $P_x^G{x}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}x\cdot x^{\prime }$ для любых $x\mathrm{,}{x}^{\prime }\in G$ (левый сдвиг элемента $x^{\prime }$ на элемент $x$ ) определяется посредством формулы Кэмпбелла-Хаусдорфа, а таблица коммутаторов определяется на базисных единичных векторах ${\mathrm{<mo>\{</mo>}{e}_i\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{i\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}N}$ of $R^N\mathrm{.}$ Значения базисных левоинвариантных векторных полей (поля Якоби [4, Section 1.2.2]) ${\mathrm{<mo>\{</mo>}{X}_i\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{i\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}N}$ алгебры Ли $V$ канонической группы Ли $G$ в произвольной точке $x\in G$ определяется как

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{X}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{X}_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{\partial P_x^G{x}^{\prime }}{\partial x^{\prime }}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{x^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>0}}\mathrm{,}{x}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x^{\prime }}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x^{\prime }}_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Мы имеем $\exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}{x^{\prime }}_i{X}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{P}_x^{G}s{x}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}x\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s{x}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ $s\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}{s}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$ Поэтому нам достаточно доказывать теоремы о соединимости горизонтальнми ломаными только пар точек $O_G$ и $M\mathrm{,}$ где $M$ - произвольная точка рассматриваемой группы Карно $G\mathrm{.}$

2. Горизонтальные ломаные на группах Гейзенберга $H_n^{\alpha }$

$n$ -группа Гейзенберга $H_{\alpha }^n$ определяется в стандартном евклидовом пространстве $R^{2n+1}$ с системой координат $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}{y}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_n\mathrm{,}{y}_n\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ индуцированной координатным репером

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{O}_{H_{\alpha }^n}\mathrm{,}{e}_1\mathrm{,}{e}_2\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{e}_{2n-1}\mathrm{,}{e}_{2n}\mathrm{,}{e}_{2n+1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

при помощи следующей таблицы коммутаторов

$\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{e}_{2j-1}\mathrm{,}{e}_{2j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}\alpha e_{2n+1}\mathrm{,}& j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}n\mathrm{,}\alpha \mathrm{<mo>></mo>0,}\\ \mathrm{<mo>=</mo>0,}& j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,2}n\mathrm{.}\end{array}\right.$  (2.1)

Используя формулу Кэмпбелла-Хаусдорфа [16, Лекция 6] и таблицу (2.1), мы получаем следующее аналитическое выражение левого сдвига $P_w^{H_{\alpha }^n}{w}^{\prime }$ произвольного элемента $w^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x^{\prime }}_1\mathrm{,}{y^{\prime }}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x^{\prime }}_n\mathrm{,}{y^{\prime }}_n\mathrm{,}{t}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in H_{\alpha }^n$ на произвольный элемент $w\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}{y}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_n\mathrm{,}{y}_n\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in H_{\alpha }^n$:

$P_w^{H_{\alpha }^n}{w}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}w\cdot w^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1+x{\mathrm{<mo>\text{'}</mo>}}_1\mathrm{,}{y}_1+y{\mathrm{<mo>\text{'}</mo>}}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_n+x{\mathrm{<mo>\text{'}</mo>}}_n\mathrm{,}{y}_n+y{\mathrm{<mo>\text{'}</mo>}}_n\mathrm{,}t+t^{\prime }+\frac{\alpha }{2}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i{y^{\prime }}_i-{x^{\prime }}_i{y}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>.}$  (2.2)

Используя (2.2), мы получаем выражения для базиса левоинвариантных векторных полей группы $H_{\alpha }^n$ в каждой точке $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}{y}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_n\mathrm{,}{y}_n\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$:

$X_i\mathrm{<mo>=</mo>}{e}_{2i-1}-\frac{\alpha }{2}{y}_i{e}_{2n+1}\mathrm{,}{Y}_i\mathrm{<mo>=</mo>}{e}_{2i}+\frac{\alpha }{2}{x}_i{e}_{2n+1}\mathrm{,}T\mathrm{<mo>=</mo>}{e}_{2n+1}\mathrm{,}$

где $i\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}n\mathrm{.}$ Левоинвариантные векторные поля $\mathrm{<mo>\{</mo>}{X}_1\mathrm{,}{Y}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{X}_n\mathrm{,}{Y}_n\mathrm{<mo>\}</mo>}$ - горизонтальные; полагаем ${\mathcal{X}}_{H_{\alpha }^n}\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}{X}_1\mathrm{,}{Y}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{X}_n\mathrm{,}{Y}_n\mathrm{<mo>\}</mo>.}$

Теорема 2. 1.

$1^0$ Любая точка $M\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_0\mathrm{,}{y}_0\mathrm{,}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in H_{\alpha }^1\mathrm{,}$ $x_0^2+y_0^2\ne \mathrm{0,}$ соединяется с началом координат $O_{H_{\alpha }^1}$ некоторой базисной горизонтальной $k$ -ломаной, где $k\le \mathrm{3<mo>;</mo>}$

$2^0$ любая точка $M\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>0,0,}{z}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in H_{\alpha }^1\mathrm{,}$ $t_0\ne \mathrm{0,}$ соединяется с началом координат $O_{H_{\alpha }^1}$ некоторой базисной горизонтальной $4$ -ломаной.

Доказательство. $1^0$ Мы имеем

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{,0,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>0,}b\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}c\mathrm{,0,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}a+c\mathrm{,}b\mathrm{,}\frac{\alpha }{2}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a-c\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Пусть

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a+c\mathrm{,}b\mathrm{,}\frac{\alpha }{2}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a-c\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_0\mathrm{,}{y}_0\mathrm{,}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (2.3)

тогда

$x_0\mathrm{<mo>=</mo>}a+c\mathrm{,}{y}_0\mathrm{<mo>=</mo>}b\mathrm{,}{z}_0\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\alpha }{2}{y}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-x_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (2.4)

Пусть $y_0\ne 0$ - фиксированное число. Тогда, произвольно меняя $a$ при фиксированном $x_0\mathrm{,}$ из (2.4) мы получаем, что $t_0$ может принимать любое значение. Таким образом, для любой точки $M\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_0\mathrm{,}{y}_0\mathrm{,}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in H_{\alpha }^1\mathrm{,}$ $y_0\ne \mathrm{0,}$ найдутся числа $a\mathrm{,}b\mathrm{,}c$ такие, что выполняется (2.3). Откуда вытекает, что найдется горизонтальная базисная $k$ -ломаная, $k\le \mathrm{3,}$ соединяющая $O_{H_{\alpha }^1}$ и $M\mathrm{.}$

Аналогично доказывается, что для любой точки $M^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_0\mathrm{,}{y}_0\mathrm{,}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in H_{\alpha }^1\mathrm{,}$ $x_0\ne \mathrm{0,}$ найдутся числа $a\mathrm{,}b\mathrm{,}c$ такие, что

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}a\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{,0,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>0,}c\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{,}a+c\mathrm{,}\frac{\alpha }{2}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}c-a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{M}^{\prime }\mathrm{.}$

Откуда вытекает, что найдется горизонтальная базисная $k$ -ломаная, $k\le \mathrm{3,}$ соединяющая $O_{H_{\alpha }^1}$ и $M^{\prime }\mathrm{.}$

П. $2^0$ вытекает из следующего очевидного тождества

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{,0,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>0,}b\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}-a\mathrm{,0,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>0,}-b\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>0,0,}\alpha ab\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

При этом несложно убедиться в том, что не существует базисной горизонтальной $k$ -ломаной, $k\mathrm{<mo><</mo>4,}$ соединяющей точки $O_{H_{\alpha }^1}$ и $M\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>0,0,}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in H_{\alpha }^1\mathrm{,}$ $t_0\ne 0.$

Теорема 2.2

$1^0$ Любая точка $M\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1^0\mathrm{,}{y}_1^0\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_n^0\mathrm{,}{y}_n^0\mathrm{,}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in H_{\alpha }^n\mathrm{,}$ ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2+{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{y}_1^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2+\dots +{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_0^2+{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{y}_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2\ne \mathrm{0,}$ соединяется с началом координат $O_{H_{\alpha }^n}$ некоторой базисной горизонтальной $k$ -ломаной, где $k\le 2n+\mathrm{1<mo>;</mo>}$

$2^0$ любая точка $M\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\dots \mathrm{,0,}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in H_{\alpha }^n\mathrm{,}$ $t_0\ne \mathrm{0,}$ соединяется с началом координат $O_{H_{\alpha }^n}$ некоторой базисной горизонтальной $4$ -ломаной.

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай $H_{\alpha }^2\mathrm{,}$ откуда с очевидностью вытекает и общий случай.

$1^0$ Мы имеем

$\exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{y}_1^0{Y}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\circ \exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1^0{X}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{O}_{H_{\alpha }^2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1^0\mathrm{,}{y}_1^0\mathrm{,0,0,}\frac{\alpha }{2}{x}_1^0{y}_1^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{M^{\prime }}_1\mathrm{.}$

Теперь пусть $y_2^0\ne 0.$ Тогда, используя рассуждения п. $1^0$ из теоремы 2, мы получаем, что для любых $x_2^0\mathrm{,}{t}_0$ найдутся числа $a\mathrm{,}b\mathrm{,}c$ такие, что

$\exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}c{X}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\circ \exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b{Y}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\circ \exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a{X}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{M^{\prime }}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1^0\mathrm{,}{y}_1^0\mathrm{,}{x}_2^0\mathrm{,}{y}_2^0\mathrm{,}\frac{\alpha }{2}{y}_2^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-x_2^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{\alpha }{2}{x}_1^0{y}_1^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1^0\mathrm{,}{y}_1^0\mathrm{,}{x}_2^0\mathrm{,}{y}_2^0\mathrm{,}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Аналогично проводятся рассуждения для $x_2^0\ne 0.$

Случай точки $M\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1^0\mathrm{,}{y}_1^0\mathrm{,0,0,}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ вытекает из теоремы 2.1.

П. $2^0$ доказывается так же, как и п. $2^0$ из теоремы 2.1.

3 Горизонтальные ломаные на 2-ступенчатых группах Карно $D_n$ с горизонтальным распределением коранга $1$

Каноническая 2-ступенчатая группа $D_n$ с горизонтальным распределением коранга $1$ в стандартном евклидовом пространстве $R^{n+1}$ с системой координат $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_n\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и координатным репером $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{O}_{D_n}\mathrm{,}{e}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{e}_n\mathrm{,}{e}_{n+1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ определяется при помощи следующей таблицы коммутаторов

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{e}_i\mathrm{,}{e}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}{\alpha }_{ij}{e}_{n+1}\mathrm{,}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}{\alpha }_{ij}^2\ne \mathrm{0,}$ (3.1)

все остальные возможные коммутаторы $e_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{e}_{n+1}$ равны $0.$ Пусть $x\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_n\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ $x\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x^{\prime }}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x^{\prime }}_n\mathrm{,}{t}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Используя формулу Кэмпбелла-Хаусдорфа [16, Лекция 6], при помощи (3.1) мы получаем

$P_x^{D_n}{x}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}x\cdot x^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1+{x^{\prime }}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_n+{x^{\prime }}_n\mathrm{,}t+t^{\prime }+{\displaystyle \sum _{i\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}n\mathrm{,}i\mathrm{<mo><</mo>}j}}\frac{{\alpha }_{ij}}{2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i{x^{\prime }}_j-x_j{x^{\prime }}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Значения базисных левоинвариантных векторных полей $X_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{X}_n\mathrm{,}T$ группы $D_n$ в каждой точке $u\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_n\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ определяются как

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{X}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{X}_n\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{\partial P_u^{D_n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x^{\prime }}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x^{\prime }}_n\mathrm{,}{t}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x^{\prime }}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x^{\prime }}_n\mathrm{,}{t}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x^{\prime }}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x^{\prime }}_n\mathrm{,}{t}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\dots \mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{.}$

Левоинвариантные векторные поля $\mathrm{<mo>\{</mo>}{X}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{X}_n\mathrm{<mo>\}</mo>}$ - горизонтальные; полагаем ${\mathcal{X}}_{D_n}\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}{X}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{X}_n\mathrm{<mo>\}</mo>.}$

Теорема 3.1.

$1^0$ Любая точка $M_{t_0}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\dots \mathrm{,0,}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in D_n\mathrm{,}$ $t_0\ne \mathrm{0,}$ соединяется с началом координат $O_{D_n}$ некоторой базисной горизонтальной $4$ -ломаной.

$2^0$ Любая точка $M\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1^0\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_n^0\mathrm{,}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in D_n\mathrm{,}$ ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2+\dots +{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2\ne \mathrm{0,}$ соединяется с началом координат $O_{D_n}$ некоторой базисной горизонтальной $k$ -ломаной, где $k\le n+2.$

Доказательство. $1^0$ Пусть, например, ${\alpha }_{12}\ne 0.$ Тогда п. $1^0$ вытекает из следующего тождества

$\exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-s{X}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\circ \exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-s{X}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\circ \exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s{X}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\circ \exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s{X}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{O}_{D_n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}^{2}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{O}_{D_n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

$2^0$ Обозначим $\alpha \mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\alpha }_{11}\mathrm{,}{\alpha }_{12}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\alpha }_{n-\mathrm{1,}n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\widehat{x}}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\tau }\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1^0\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Мы имеем

$\exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b{X}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\circ \exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_n^0{X}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\circ \dots \circ \exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_2^0{X}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\circ \exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a{X}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{O}_{D_n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}b+a\mathrm{,}{x}_2^0\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_n^0\mathrm{,}{f}_1+\frac{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a-b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{2}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>2}}^n}{\alpha }_{1i}{x}_i^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}b+a\mathrm{,}{x}_2^0\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_n^0\mathrm{,}{f}_1+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a-b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{P}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{,}{\widehat{x}}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (3.2)

где выражение $f_1$ не зависит от $a\mathrm{,}b\mathrm{.}$ Приравнивая правую часть (3.2) к $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1^0\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_n^0\mathrm{,}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ мы получаем

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1^0\mathrm{<mo>=</mo>}a+b\mathrm{,}\\ t_0\mathrm{<mo>=</mo>}{f}_1+\frac{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1^0-2b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{2}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>2}}^n}{\alpha }_{1i}{x}_i^0\mathrm{.}\end{array}\right.$

Если ${\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>2}}^n}{\alpha }_{1i}{x}_i^0\ne \mathrm{0,}$ то, меняя $b$ произвольным образом, мы получаем, что $t_0$ принимает произвольные значения из $R\mathrm{.}$

Теперь предположим, что ${\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>2}}^n}{\alpha }_{1i}{x}_i^0\mathrm{<mo>=</mo>0.}$ Мы имеем

$\exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b{X}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\circ \exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_n^0{X}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\circ \dots \exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_3^0{X}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\circ \exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1^0{X}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\circ \exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a{X}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{O}_{D_n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1^0\mathrm{,}b+a\mathrm{,}{x}_3^0\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_n^0\mathrm{,}{f}_2+\frac{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a-b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\alpha }_{12}{x}_1^0+{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>3}}^n}{\alpha }_{2i}{x}_i^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1^0\mathrm{,}b+a\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_n^0\mathrm{,}{f}_1+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a-b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{P}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{,}{\widehat{x}}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (3.3)

где $f_2$ не зависит от $a\mathrm{,}b\mathrm{.}$ Приравнивая правую часть (3.3) к $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1^0\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_n^0\mathrm{,}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ мы получаем

$\left\{\begin{array}{c}{x}_2^0\mathrm{<mo>=</mo>}a+b\mathrm{,}\\ t_0\mathrm{<mo>=</mo>}{f}_2+\frac{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_2^0-2b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\alpha }_{12}{x}_1^0+{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>3}}^n}{\alpha }_{2i}{x}_i^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>.}\end{array}\right.$

Если $-{\alpha }_{12}{x}_1^0+{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>3}}^n}{\alpha }_{2i}{x}_i^0\ne \mathrm{0,}$ то, меняя $b$ произвольным образом, мы получаем, что $t_0$ принимает произвольные значения из $R\mathrm{.}$

Далее по аналогии будем рассматривать композиции

$\exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b{X}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\circ \dots \circ \exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{i+1}^0{X}_{i+1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\circ \exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{i-1}^0{X}_{i-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\circ \dots \circ \exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1^0{X}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\circ \exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a{X}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{O}_{D_n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где $i\mathrm{<mo>=</mo>3,}\dots \mathrm{,}n\mathrm{.}$

В результате мы получаем, что любая точка $M\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1^0\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_n^0\mathrm{,}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in D_n\mathrm{,}$ ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2+\dots +{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2\ne \mathrm{0,}$ для которой выполняется

$P_1^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{,}{x}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\dots +P_n^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{,}{x}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne \mathrm{0,}$

может быть соединена с $O_{D_n}$ некоторой горизонтальной $k$ -ломаной, где $k\le n+1.$

Теперь предположим, что вектор ${\widehat{x}}^0$ таков, что

$P_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{,}{\widehat{x}}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}i\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}n\mathrm{.}$ (3.4)

Условия (3.4) можно записать в следующем виде

$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{ccccc}0& {\alpha }_{12}& {\alpha }_{13}& \dots & {\alpha }_{1n}\\ -{\alpha }_{12}& 0& {\alpha }_{23}& \dots & {\alpha }_{2n}\\ ⋮& \ddots & \ddots & \dots & ⋮\\ -{\alpha }_{1n}& -{\alpha }_{2n}& \dots & \dots & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1^0\\ x_2^0\\ ⋮\\ x_n^0\end{array}\right)\iff \overrightarrow{0}\mathrm{<mo>=</mo>}A{\widehat{x}}^0\mathrm{.}$

Заметим, что матрица $A$ кососимметрическая, и хорошо известно, что $\dim KerA\le n-2.$ Таким образом, в рассматриваемой ситуации мы имеем ${\widehat{x}}^0\in KerA\mathrm{.}$ Но тогда найдется базисный вектор $e_i\in R^n$ и число $s_0\mathrm{<mo>></mo>0}$ такие, что

${\widehat{x}}^0+s_0{e}_i\notin KerA\mathrm{.}$

Действительно, если, например, ${\alpha }_{12}\ne \mathrm{0,}$ то подойдет вектор $e_2\mathrm{.}$ Тогда рассмотрим точку $M_1\mathrm{<mo>=</mo>}\exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_0{X}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}M\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ $M\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\widehat{x}}^0\mathrm{,}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Так как первые $n$ координат совпадают с ${\widehat{x}}^0+s_0{e}_i\mathrm{,}$ то из предыдущих рассуждений мы получаем, что точка $M_1$ соединяется с $O_{D_n}$ базисной горизонтальной $k$ -ломаной, где $k\le n+1.$ Поэтому точка $M$ соединяется с $O_{D_n}$ горизонтальной $k$ -ломаной, где $k\le n+2.$

Теперь посмотрим на конструкцию подходящих базисных горизонтальных ломаных немного по-другому. Пусть, например, ${\alpha }_{12}\ne 0.$ И пусть $x_2^0\ne 0.$ Тогда

$\exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b{X}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\circ \exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_2^0{X}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\circ \exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a{X}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\circ \exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_n^0{X}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\circ \dots \circ \exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_3^0{X}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{O}_{D_n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}a+c\mathrm{,}{x}_2^0\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_n^0\mathrm{,}{f}^{\prime }+\frac{{\alpha }_{12}}{2}{x}_0^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a-b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1^0\mathrm{,}{x}_2^0\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_n^0\mathrm{,}{f}^{\prime }+\frac{{\alpha }_{12}}{2}{x}_0^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1^0-2b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где $f^{\prime }$ зависит от $x_1^0\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_n^0\mathrm{,}$ и не зависит от $b\mathrm{.}$ Тогда, меняя $b$ произвольно, $x_1^0\mathrm{<mo>=</mo>}a+b$ мы получаем, что для любой точки $M_{x_2^0}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1^0\mathrm{,}{x}_2^0\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_n\mathrm{,}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in D_n\mathrm{,}$ $x_2^0\ne \mathrm{0,}$ ${\alpha }_{12}\ne \mathrm{0,}$ найдется базисная горизонтальная $k$ -ломаная, $k\le n+\mathrm{1,}$ соединяющая точки $O_{D_n}$ и $M_{x_2^0}\mathrm{.}$ Точно так же доказывается, см. теорему 2.1, что для любой точки $M_{x_1^0}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1^0\mathrm{,}{x}_2^0\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_n\mathrm{,}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in D_n\mathrm{,}$ $x_1^0\ne \mathrm{0,}$ ${\alpha }_{12}\ne \mathrm{0,}$ найдется базисная горизонтальная $k$ -ломаная, $k\le n+\mathrm{1,}$ соединяющая точки $O_{D_n}$ и $M_{x_2^0}\mathrm{.}$ Теперь рассмотрим случай, когда $x_1^0\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_2^0\mathrm{<mo>=</mo>0,}$ $t_0\ne \mathrm{0,}$ ${\alpha }_{ij}\mathrm{<mo>=</mo>0}$ для всех $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}ij\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>12<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ ${\alpha }_{12}\ne 0.$ В этом случае горизонтальная $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n+\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ -ломаная строится следующим образом: сначала мы соединяем точки $O_{D_n}$ и $\exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_{0}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{O}_{D_n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ при помощи горизонтальной $4$ -ломаной из п. $1^0\mathrm{,}$ далее строим горизонтальную $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ -ломаную, соединяющую точки с координатами $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\dots \mathrm{,0,}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,0,}{x}_3^0\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_n^0\mathrm{,}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ используя тот факт, что в рассматриваемой ситуации мы имеем

$\exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\circ \dots \circ \exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_3^0{X}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\circ \exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_{0}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{O}_{D_n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>0,0,}{x}_3^0\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_n^0\mathrm{,}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Теорема 3.1 доказана.

Следствие 3.1. Если группа $D_n$ такова, что ${\alpha }_{12}\ne 0$ и ${\alpha }_{ij}\mathrm{<mo>=</mo>0}$ для всех $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}ij\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>12<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}$ к таким группам относится, в частности, группа $H_{\alpha }^1$ $\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ то $N_{{\mathcal{X}}_{D_n}}\mathrm{<mo>=</mo>}n+2.$

Следствие 3.2. Почти все точки группы $D_n$ соединяются с началом координат $O_{D_n}$ базисными горизонтальными $k$ -ломаными, где $k\le n+1.$

Доказательство. В доказательстве теоремы 3.1 мы получили, что все точки $M\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1^0\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_n^0\mathrm{,}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in D_n\mathrm{,}$ ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2+\dots +{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2\ne \mathrm{0,}$ $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1^0\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\notin KerA\mathrm{,}$ соединяются с $O_{D_n}$ некоторой базисной горизонтальной $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ -ломаной.