Открытый доступ
Доступ предоставлен
Только для подписчиков
Том 86, № 1 (2022)
Статьи
Теоремы вложения, связанные с жесткостью кручения и основной частотой
Аннотация
Исследуются критерии конечных постоянных $C$ в серии интегральных неравенств, обобщающих неравенство Пуанкаре–Фридрихса и вариационное определение жесткости кручения области по Сен-Венану. Изопериметрическое неравенство Рэлея–Фабера–Крана и неравенство Сен-Венана–Пойа гарантируют существование конечных постоянных $C$ для областей конечного объема. Критерии существования конечной постоянной $C$ для неограниченных областей бесконечного объема известны лишь для плоских односвязных и пространственных выпуклых областей. Доказаны несколько обобщений и усилений известных результатов и получено их распространение на случай $1< p<2$. Приведем формулировку одного из результатов.
Пусть $1\leqslant p <2$ и пусть область $\Omega=\Omega^0\setminus K$, где $K\subset \Omega^0$ – компакт, а $\Omega^0$ является либо плоской областью с равномерно совершенной границей, либо пространственной областью, удовлетворяющей условию внешней сферы. При этих предположениях конечная постоянная $\Lambda_{p-1}(\Omega)$ существует тогда и только тогда, когда конечен интеграл $\int_\Omega\rho^{{2p}/{(2-p)}}(x,\Omega) dx$, где $\rho(x,\Omega)$ – расстояние от точки до границы области $\Omega$.
Библиография: 37 наименований.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2022;86(1):3-35
3-35
Асимптотики типа Планшереля–Ротаха для совместно ортогональных многочленов Эрмита и рекуррентные соотношения
Аннотация
Изучаются асимптотические свойства совместно ортогональных многочленов Эрмита, которые определяются соотношениями ортогональности относительно двух весов Эрмита (распределениями Гаусса) со сдвинутыми максимумами. Стартовой точкой асимптотического анализа являются четырехчленные рекуррентные соотношения, связывающие многочлены с соседними номерами. Получены асимптотические разложения при согласованном росте номера многочлена и его переменной (так называемые асимптотики типа Планшереля–Ротаха). Использованы две методики: построения разложений базисов однородных разностных уравнений и подход, основанный на сведении разностного уравнения к псевдодифференциальному с последующим использованием теории канонического оператора Маслова. Оба подхода демонстрируют согласованные результаты.Библиография: 37 наименований.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2022;86(1):36-97
36-97
Об улучшенных оценках и условиях сходимости для цепей Маркова
Аннотация
В настоящей работе продолжено исследование улучшенной скорости сходимости для эргодических однородных цепей Маркова. Постановка задачи расширена по сравнению с предыдущими работами на данную тему: удалось отказаться от предположения о единой доминирующей мере, рассмотрен случай неоднородных цепей Маркова; также рассмотрен случай более общего фазового пространства. Приведены примеры, когда новая оценка скорости сходимости такая же, и когда она оказывается лучше классической оценки Маркова–Добрушина.Библиография: 26 наименований.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2022;86(1):98-133
98-133
Минимальные добавления к максимальным торам в их нормализаторах для групп $F_4(q)$
Аннотация
Пусть $G$ – конечная группа лиева типа $F_4$ и $W$ – группа Вейля группы $G$. Для каждого максимального тора $T$ группы $G$ найден минимальный порядок добавления к тору $T$ в его алгебраическом нормализаторе $N(G,T)$. В частности, найдены все максимальные торы, имеющие дополнение в группе $N(G,T)$. Пусть тор $T$ соответствует элементу $w$ группы $W$. Найдены минимальные порядки поднятий элементов $w$ в группе $N(G,T)$.Библиография: 20 наименований.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2022;86(1):134-159
134-159
Безусловные базисы в радиальных гильбертовых пространствах
Аннотация
Доказаны необходимое и (отдельно) достаточное условия существования безусловных базисов из воспроизводящих ядер в абстрактных радиальных функциональных гильбертовых пространствах, устойчивых относительно деления, в терминах норм мономов.Библиография: 22 наименования.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2022;86(1):160-179
160-179
Квазиалгебраическое кольцо условий пространства $\mathbb C^n$
Аннотация
Экспоненциальная сумма – это линейная комбинация характеров аддитивной группы пространства $\mathbb C^n$. Мы рассматриваем $\mathbb{C}^n$, как аналог тора $(\mathbb{C}\setminus0)^n$, экспоненциальную сумму – как аналог полинома Лорана, а экспоненциальное аналитическое множество ($\mathrm{EA}$-множество), т. е. множество совместных нулей конечной системы экспоненциальных сумм, – как аналог алгебраического подмногообразия тора. Используя эти аналогии, мы определяем индекс пересечения $\mathrm{EA}$-множеств и, применяя алгоритм Де Кончини и Прочези, строим кольцо условий (ring of conditions) соответствующей теории пересечений. Построения индекса пересечения и кольца условий основаны на сопоставлении $\mathrm{EA}$-множеству алгебраического подмногообразия некоторого многомерного комплексного тора и на применении метода тропической геометрии. Вычисление индекса пересечений дивизоров произвольных экспоненциальных сумм $f_1,…,f_n$ приводит к формуле плотности $\mathrm{EA}$-множества совместных нулей возмущенной системы $f_i(z+w_i)$, верной для множества возмущений $\{w_1,…,w_n\}$ относительно полной меры в пространстве $\mathbb{C}^{n\times n}$. Эта формула аналогична формуле для количества совместных нулей полиномов Лорана.Библиография: 22 наименования.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2022;86(1):180-218
180-218
Экстремальная интерполяция с наименьшим значением нормы второй производной в пространстве $L_p(\mathbb R)$
Аннотация
В работе в терминах разделенных разностей формулируется общая задача экстремальной функциональной интерполяции действительных функций одного переменного (для конечных разностей это задача Яненко–Стечкина–Субботина). Требуется вычислить наименьшее значение $n$-й производной в пространстве $L_p(\mathbb R)$, $1\le p\le \infty$, на классе функций, интерполирующих любую заданную бесконечную последовательность действительных чисел на произвольной, бесконечной в обе стороны сетке узлов на числовой оси $\mathbb R$ для класса интерполируемых последовательностей, у которых последовательность разделенных разностей $n$-го порядка принадлежит пространству $l_p(\mathbb Z)$. В настоящей работе эта задача решается в случае $n=2$. Указанная величина оценивается сверху и снизу через наибольший и наименьший шаги сетки узлов.Библиография: 12 наименований.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2022;86(1):219-236
219-236