Теоремы вложения, связанные с жесткостью кручения и основной частотой

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

Исследуются критерии конечных постоянных $C$ в серии интегральных неравенств, обобщающих неравенство Пуанкаре–Фридрихса и вариационное определение жесткости кручения области по Сен-Венану. Изопериметрическое неравенство Рэлея–Фабера–Крана и неравенство Сен-Венана–Пойа гарантируют существование конечных постоянных $C$ для областей конечного объема. Критерии существования конечной постоянной $C$ для неограниченных областей бесконечного объема известны лишь для плоских односвязных и пространственных выпуклых областей. Доказаны несколько обобщений и усилений известных результатов и получено их распространение на случай $1< p<2$. Приведем формулировку одного из результатов.
Пусть $1\leqslant p <2$ и пусть область $\Omega=\Omega^0\setminus K$, где $K\subset \Omega^0$ – компакт, а $\Omega^0$ является либо плоской областью с равномерно совершенной границей, либо пространственной областью, удовлетворяющей условию внешней сферы. При этих предположениях конечная постоянная $\Lambda_{p-1}(\Omega)$ существует тогда и только тогда, когда конечен интеграл $\int_\Omega\rho^{{2p}/{(2-p)}}(x,\Omega) dx$, где $\rho(x,\Omega)$ – расстояние от точки до границы области $\Omega$.
Библиография: 37 наименований.

Об авторах

Фарит Габидинович Авхадиев

Казанский (Приволжский) федеральный университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: avkhadiev47@mail.ru
доктор физико-математических наук, профессор

Список литературы

  1. E. Gagliardo, “Ulteriori proprieta di alcune classi di funzioni in piu variabili”, Ricerche Mat., 8 (1959), 24–51
  2. L. Nirenberg, “On elliptic partial differential equations”, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (3), 13 (1959), 115–162
  3. О. В. Бесов, “Интегральные оценки дифференцируемых функций на нерегулярных областях”, Матем. сб., 201:12 (2010), 69–82
  4. Г. Полиа, Г. Сегe, Изопериметрические неравенства в математической физике, Физматгиз, М., 1962, 336 с.
  5. C. Bandle, Isoperimetric inequalities and applications, Monogr. Stud. Math., 7, Pitman (Advanced Publishing Program), Boston, MA–London, 1980, x+228 pp.
  6. E. Makai, “A lower estimation of the principal frequencies of simply connected membranes”, Acta Math. Acad. Sci. Hungar., 16 (1965), 319–323
  7. W. K. Hayman, “Some bounds for principal frequency”, Appl. Anal., 7:3 (1978), 247–254
  8. R. Osserman, “A note on Hayman's theorem on the bass note of a drum”, Comment. Math. Helv., 52:4 (1977), 545–555
  9. L. E. Payne, I. Stakgold, “On the mean value of the fundamental mode in the fixed membrane problem”, Appl. Anal., 3:3 (1973), 295–303
  10. F. G. Avkhadiev, K.-J. Wirths, “Unified Poincare and Hardy inequalities with sharp constants for convex domains”, ZAMM Z. Angew. Math. Mech., 87:8-9 (2007), 632–642
  11. Ф. Г. Авхадиев, “Вариационные конформно-инвариантные неравенства и их приложения”, Докл. РАН, 359:6 (1998), 727–730
  12. Ф. Г. Авхадиев, “Решение обобщенной задачи Сен-Венана”, Матем. сб., 189:12 (1998), 3–12
  13. R. Bañuelos, M. van den Berg, T. Carroll, “Torsional rigidity and expected lifetime of Brownian motion”, J. London Math. Soc. (2), 66:2 (2002), 499–512
  14. Ф. Г. Авхадиев, Конформно инвариантные неравенства, Изд-во Казанского ун-та, Казань, 2020, 260 с.
  15. H. Rademacher, “Über partielle und totale differenzierbarkeit von Funktionen mehrerer Variabeln und uber die Transformation der Doppelintegrale”, Math. Ann., 79:4 (1919), 340–359
  16. Г. Федерер, Геометрическая теория меры, Наука, М., 1987, 760 с.
  17. A. A. Balinsky, W. D. Evans, R. T. Lewis, The analysis and geometry of Hardy's inequality, Universitext, Springer, Cham, 2015, xv+263 pp.
  18. Ф. Г. Авхадиев, “Свойства и применения функции расстояния открытого подмножества в евклидовом пространстве”, Изв. вузов. Матем., 2020, № 4, 87–92
  19. А. И. Назаров, С. В. Поборчий, Неравенство Пуанкаре и его приложения, учебное пособие, Изд-во С.-Петербургского ун-та, СПб., 2012, 126 с.
  20. C. Loewner, L. Nirenberg, “Partial differential equations invariant under conformal or projective transformations”, Contribution to analysis, A collection of papers dedicated to L. Bers, Academic Press, New York, 1974, 245–272
  21. C. Bandle, M. Flucher, “Harmonic radius and concentration of energy; hyperbolic radius and Liouville's equations $Delta U=e^U$ and $Delta U =U^{frac {n+2}{n-2}}$”, SIAM Rev., 38:2 (1996), 191–238
  22. Ф. Г. Авхадиев, “Конформно инвариантные неравенства в областях евклидова пространства”, Изв. РАН. Сер. матем., 83:5 (2019), 3–26
  23. Дж. Н. Ватсон, Теория бесселевых функций, т. 1, 2, ИЛ, М., 1949, 798 с., 220 с.
  24. J. Hersch, “Sur la frequence fondamentale d'une membrande vibrante: evaluations par defaut et principe de maximum”, Z. Angew. Math. Phys., 11 (1960), 387–413
  25. Г. Хадвигер, Лекции об объеме, площади поверхности и изопериметрии, Наука, М., 1966, 416 с.
  26. F. G. Avkhadiev, “Hardy–Rellich inequalities in domains of the Euclidean space”, J. Math. Anal. Appl., 442:2 (2016), 469–484
  27. Ф. Г. Авхадиев, “Интегральные неравенства Харди и Реллиха в областях, удовлетворяющих условию внешней сферы”, Алгебра и анализ, 30:2 (2018), 18–44
  28. Ch. Pommerenke, “Uniformly perfect sets and the Poincare metric”, Arch. Math. (Basel), 32:2 (1979), 192–199
  29. Р. Г. Салахудинов, “Двусторонние оценки $L_p$-норм функции напряжения выпуклых областей в $mathbb{R}^n$”, Изв. вузов. Матем., 2006, № 3, 41–49
  30. A. Carbery, V. Maz'ya, M. Mitrea, D. Rule, “The integrability of negative powers of the solution of the Saint Venant problem”, Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (5), 13:2 (2014), 465–531
  31. Р. Г. Салахудинов, “Изопериметрическая монотонность $L^p$-нормы функции напряжения плоской односвязной области”, Изв. вузов. Матем., 2010, № 8, 59–68
  32. J. L. Fernandez, “Domains with strong barrier”, Rev. Mat. Iberoamericana, 5:1-2 (1989), 47–65
  33. A. Ancona, “On strong barriers and an inequality of Hardy for domains in $mathbb{R}^n$”, J. London Math. Soc. (2), 34:2 (1986), 274–290
  34. F. G. Avkhadiev, “Hardy type inequalities in higher dimensions with explicit estimate of constants”, Lobachevskii J. Math., 21 (2006), 3–31
  35. Ф. Г. Авхадиев, “Неравенства типа Харди в плоских и пространственных открытых множествах”, Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ, Сборник статей, Труды МИАН, 255, Наука, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2006, 8–18
  36. Ф. Г. Авхадиев, “Геометрическое описание областей, для которых константа Харди равна 1/4”, Изв. РАН. Сер. матем., 78:5 (2014), 3–26
  37. Ф. Г. Авхадиев, “Интегральные неравенства в областях гиперболического типа и их применения”, Матем. сб., 206:12 (2015), 3–28

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML

© Авхадиев Ф.Г., 2022

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».