Теоремы вложения, связанные с жесткостью кручения и основной частотой
- Авторы: Авхадиев Ф.Г.1
-
Учреждения:
- Казанский (Приволжский) федеральный университет
- Выпуск: Том 86, № 1 (2022)
- Страницы: 3-35
- Раздел: Статьи
- URL: https://bakhtiniada.ru/1607-0046/article/view/142264
- DOI: https://doi.org/10.4213/im9085
- ID: 142264
Цитировать
Аннотация
Исследуются критерии конечных постоянных $C$ в серии интегральных неравенств, обобщающих неравенство Пуанкаре–Фридрихса и вариационное определение жесткости кручения области по Сен-Венану. Изопериметрическое неравенство Рэлея–Фабера–Крана и неравенство Сен-Венана–Пойа гарантируют существование конечных постоянных $C$ для областей конечного объема. Критерии существования конечной постоянной $C$ для неограниченных областей бесконечного объема известны лишь для плоских односвязных и пространственных выпуклых областей. Доказаны несколько обобщений и усилений известных результатов и получено их распространение на случай $1< p<2$. Приведем формулировку одного из результатов.
Пусть $1\leqslant p <2$ и пусть область $\Omega=\Omega^0\setminus K$, где $K\subset \Omega^0$ – компакт, а $\Omega^0$ является либо плоской областью с равномерно совершенной границей, либо пространственной областью, удовлетворяющей условию внешней сферы. При этих предположениях конечная постоянная $\Lambda_{p-1}(\Omega)$ существует тогда и только тогда, когда конечен интеграл $\int_\Omega\rho^{{2p}/{(2-p)}}(x,\Omega) dx$, где $\rho(x,\Omega)$ – расстояние от точки до границы области $\Omega$.
Библиография: 37 наименований.
Ключевые слова
Об авторах
Фарит Габидинович Авхадиев
Казанский (Приволжский) федеральный университет
Автор, ответственный за переписку.
Email: avkhadiev47@mail.ru
доктор физико-математических наук, профессор
Список литературы
- E. Gagliardo, “Ulteriori proprieta di alcune classi di funzioni in piu variabili”, Ricerche Mat., 8 (1959), 24–51
- L. Nirenberg, “On elliptic partial differential equations”, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (3), 13 (1959), 115–162
- О. В. Бесов, “Интегральные оценки дифференцируемых функций на нерегулярных областях”, Матем. сб., 201:12 (2010), 69–82
- Г. Полиа, Г. Сегe, Изопериметрические неравенства в математической физике, Физматгиз, М., 1962, 336 с.
- C. Bandle, Isoperimetric inequalities and applications, Monogr. Stud. Math., 7, Pitman (Advanced Publishing Program), Boston, MA–London, 1980, x+228 pp.
- E. Makai, “A lower estimation of the principal frequencies of simply connected membranes”, Acta Math. Acad. Sci. Hungar., 16 (1965), 319–323
- W. K. Hayman, “Some bounds for principal frequency”, Appl. Anal., 7:3 (1978), 247–254
- R. Osserman, “A note on Hayman's theorem on the bass note of a drum”, Comment. Math. Helv., 52:4 (1977), 545–555
- L. E. Payne, I. Stakgold, “On the mean value of the fundamental mode in the fixed membrane problem”, Appl. Anal., 3:3 (1973), 295–303
- F. G. Avkhadiev, K.-J. Wirths, “Unified Poincare and Hardy inequalities with sharp constants for convex domains”, ZAMM Z. Angew. Math. Mech., 87:8-9 (2007), 632–642
- Ф. Г. Авхадиев, “Вариационные конформно-инвариантные неравенства и их приложения”, Докл. РАН, 359:6 (1998), 727–730
- Ф. Г. Авхадиев, “Решение обобщенной задачи Сен-Венана”, Матем. сб., 189:12 (1998), 3–12
- R. Bañuelos, M. van den Berg, T. Carroll, “Torsional rigidity and expected lifetime of Brownian motion”, J. London Math. Soc. (2), 66:2 (2002), 499–512
- Ф. Г. Авхадиев, Конформно инвариантные неравенства, Изд-во Казанского ун-та, Казань, 2020, 260 с.
- H. Rademacher, “Über partielle und totale differenzierbarkeit von Funktionen mehrerer Variabeln und uber die Transformation der Doppelintegrale”, Math. Ann., 79:4 (1919), 340–359
- Г. Федерер, Геометрическая теория меры, Наука, М., 1987, 760 с.
- A. A. Balinsky, W. D. Evans, R. T. Lewis, The analysis and geometry of Hardy's inequality, Universitext, Springer, Cham, 2015, xv+263 pp.
- Ф. Г. Авхадиев, “Свойства и применения функции расстояния открытого подмножества в евклидовом пространстве”, Изв. вузов. Матем., 2020, № 4, 87–92
- А. И. Назаров, С. В. Поборчий, Неравенство Пуанкаре и его приложения, учебное пособие, Изд-во С.-Петербургского ун-та, СПб., 2012, 126 с.
- C. Loewner, L. Nirenberg, “Partial differential equations invariant under conformal or projective transformations”, Contribution to analysis, A collection of papers dedicated to L. Bers, Academic Press, New York, 1974, 245–272
- C. Bandle, M. Flucher, “Harmonic radius and concentration of energy; hyperbolic radius and Liouville's equations $Delta U=e^U$ and $Delta U =U^{frac {n+2}{n-2}}$”, SIAM Rev., 38:2 (1996), 191–238
- Ф. Г. Авхадиев, “Конформно инвариантные неравенства в областях евклидова пространства”, Изв. РАН. Сер. матем., 83:5 (2019), 3–26
- Дж. Н. Ватсон, Теория бесселевых функций, т. 1, 2, ИЛ, М., 1949, 798 с., 220 с.
- J. Hersch, “Sur la frequence fondamentale d'une membrande vibrante: evaluations par defaut et principe de maximum”, Z. Angew. Math. Phys., 11 (1960), 387–413
- Г. Хадвигер, Лекции об объеме, площади поверхности и изопериметрии, Наука, М., 1966, 416 с.
- F. G. Avkhadiev, “Hardy–Rellich inequalities in domains of the Euclidean space”, J. Math. Anal. Appl., 442:2 (2016), 469–484
- Ф. Г. Авхадиев, “Интегральные неравенства Харди и Реллиха в областях, удовлетворяющих условию внешней сферы”, Алгебра и анализ, 30:2 (2018), 18–44
- Ch. Pommerenke, “Uniformly perfect sets and the Poincare metric”, Arch. Math. (Basel), 32:2 (1979), 192–199
- Р. Г. Салахудинов, “Двусторонние оценки $L_p$-норм функции напряжения выпуклых областей в $mathbb{R}^n$”, Изв. вузов. Матем., 2006, № 3, 41–49
- A. Carbery, V. Maz'ya, M. Mitrea, D. Rule, “The integrability of negative powers of the solution of the Saint Venant problem”, Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (5), 13:2 (2014), 465–531
- Р. Г. Салахудинов, “Изопериметрическая монотонность $L^p$-нормы функции напряжения плоской односвязной области”, Изв. вузов. Матем., 2010, № 8, 59–68
- J. L. Fernandez, “Domains with strong barrier”, Rev. Mat. Iberoamericana, 5:1-2 (1989), 47–65
- A. Ancona, “On strong barriers and an inequality of Hardy for domains in $mathbb{R}^n$”, J. London Math. Soc. (2), 34:2 (1986), 274–290
- F. G. Avkhadiev, “Hardy type inequalities in higher dimensions with explicit estimate of constants”, Lobachevskii J. Math., 21 (2006), 3–31
- Ф. Г. Авхадиев, “Неравенства типа Харди в плоских и пространственных открытых множествах”, Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ, Сборник статей, Труды МИАН, 255, Наука, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2006, 8–18
- Ф. Г. Авхадиев, “Геометрическое описание областей, для которых константа Харди равна 1/4”, Изв. РАН. Сер. матем., 78:5 (2014), 3–26
- Ф. Г. Авхадиев, “Интегральные неравенства в областях гиперболического типа и их применения”, Матем. сб., 206:12 (2015), 3–28
Дополнительные файлы
