Plancherel–Rotach type asymptotic formulae for multiple orthogonal Hermite polynomials andrecurrence relations

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We study the asymptotic properties of multiple orthogonal Hermite polynomialswhich are determined by the orthogonality relations with respect to two Hermite weights (Gaussian distributions) with shifted maxima. The starting point of our asymptotic analysis is a four-term recurrence relation connecting the polynomials with adjacent numbers. We obtain asymptoticexpansions as the number of the polynomial and its variable grow consistently (the so-called Plancherel–Rotach type asymptotic formulae). Two techniques are used. The first is based on constructing expansions of basesof homogeneous difference equations, and the second on reducing difference equationsto pseudodifferential ones and using the theory of the Maslov canonical operator.The results of these approaches agree.

About the authors

Alexander Ivanovich Aptekarev

Keldysh Institute of Applied Mathematics of Russian Academy of Sciences

Email: aptekaa@keldysh.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Sergey Yur'evich Dobrokhotov

Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics of the Russian Academy of Sciences

Email: s.dobrokhotov@gmail.com
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Dmitrii Nikolaevich Tulyakov

Keldysh Institute of Applied Mathematics of Russian Academy of Sciences

Email: dntulyakov@gmail.com
Doctor of physico-mathematical sciences, no status

Anna Valerievna Tsvetkova

Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics of the Russian Academy of Sciences

Candidate of physico-mathematical sciences, no status

References

  1. M. Plancherel, W. Rotach, “Sur les valeurs asymptotiques des polynomes d'Hermite $H_n(x)=(-1)^ne^{frac{x^2}2}frac{d^n}{dx^n}(e^{-frac{x^2}2})$”, Comment. Math. Helv., 1 (1929), 227–254
  2. Г. Сегe, Ортогональные многочлены, Физматгиз, М., 1962, 500 с.
  3. A. I. Aptekarev, P. M. Bleher, A. B. J. Kuijlaars, “Large $n$ limit of Gaussian random matrices with external source. II”, Comm. Math. Phys., 259:2 (2005), 367–389
  4. P. Deift, X. Zhou, “A steepest descent method for oscillatory Riemann–Hilbert problems. Asymptotics for the MKdV equation”, Ann. of Math. (2), 137:2 (1993), 295–368
  5. P. Deift, T. Kriecherbauer, K. T.-R. McLaughlin, S. Venakides, X. Zhou, “Strong asymptotics of orthogonal polynomials with respect to exponential weights”, Comm. Pure Appl. Math., 52:12 (1999), 1491–1552
  6. P. Deift, T. Kriecherbauer, K. T.-R. McLaughlin, S. Venakides, X. Zhou, “Uniform asymptotics of polynomials orthogonal with respect to varying exponential weights and applications to universality questions in random matrix theory”, Comm. Pure Appl. Math., 52:11 (1999), 1335–1425
  7. P. Bleher, A. Its, “Semiclassical asymptotics of orthogonal polynomials, Riemann–Hilbert problem, and universality in the matrix model”, Ann. of Math. (2), 150:1 (1999), 185–266
  8. T. Dimofte, S. Gukov, “Quantum field theory and the volume conjecture”, Interactions between hyperbolic geometry, quantum topology and number theory, Contemp. Math., 541, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2011, 41–67
  9. S. Garoufalidis, Thang T. Q. Lê, “The colored Jones function is $q$-holonomic”, Geom. Topol., 9 (2005), 1253–1293
  10. R. M. Kashaev, “The hyperbolic volume of knots from quantum dilogarithm”, Lett. Math. Phys., 39:3 (1997), 269–275
  11. P. Deift, Orthogonal polynomials and random matrices: a Riemann–Hilbert approach, Courant Lect. Notes Math., 3, Courant Inst. Math. Sci., New York; Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2000, viii+273 pp.
  12. Д. Н. Туляков, “Асимптотика типа Планшереля–Ротаха для решений линейных рекуррентных соотношений с рациональными коэффициентами”, Матем. сб., 201:9 (2010), 111–158
  13. С. Ю. Доброхотов, А. В. Цветкова, “О лагранжевых многообразиях, связанных с асимптотикой полиномов Эрмита”, Матем. заметки, 104:6 (2018), 835–850
  14. А. И. Аптекарев, “Асимптотика ортогональных многочленов в окрестности концов интервала ортогональности”, Матем. сб., 183:5 (1992), 43–62
  15. Д. Н. Туляков, “О локальной асимптотике отношения ортогональных полиномов в окрестности крайней точки носителя меры ортогональности”, Матем. сб., 192:2 (2001), 139–160
  16. Д. Н. Туляков, “Разностные уравнения с базисами степенного роста, возмущенные спектральным параметром”, Матем. сб., 200:5 (2009), 129–158
  17. А. И. Аптекарев, Д. Н. Туляков, “Асимптотики многочленов Мейкснера и ядер Кристоффеля–Дарбу”, Тр. ММО, 73, № 1, МЦНМО, М., 2012, 87–132
  18. А. И. Аптекарев, Д. Н. Туляков, “Главный член асимптотики Планшереля–Ротаха для решений рекуррентных соотношений”, Матем. сб., 205:12 (2014), 17–40
  19. А. И. Аптекарев, Д. Н. Туляков, Асимптотический базис решений $q$-рекуррентных соотношений вне зоны близких собственных значений, Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша, 2018, 24 с.
  20. Дж. Хединг, Введение в метод фазовых интегралов (метод ВКБ), Мир, М., 1965, 237 с.
  21. В. M. Бабич, В. С. Булдырев, Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. Метод эталонных задач, Наука, М., 1972, 456 с.
  22. С. Ю. Славянов, Асимптотика решений одномерного уравнения Шредингера, Изд-во Ленингр. ун-та, Л., 1990, 256 с.
  23. В. П. Маслов, Операторные методы, Наука, М., 1973, 543 с.
  24. V. Maslov, “The characteristics of pseudo-differential operators and difference schemes”, Actes du congrès international des mathematiciens (Nice, 1970), v. 2, Gauthier-Villars, Paris, 1971, 755–769
  25. В. Г. Данилов, В. П. Маслов, “Принцип двойственности Понтрягина для вычисления эффекта типа Черенкова в кристаллах и разностных схемах. II”, Современные проблемы математики. Математический анализ, алгебра, топология, Сборник статей. Посвящается академику Льву Семеновичу Понтрягину к его семидесятипятилетию, Тр. МИАН СССР, 167, 1985, 96–107
  26. В. П. Маслов, Теория возмущений и асимптотические методы, Изд-во Моск. ун-та, М., 1965, 554 с.
  27. В. П. Маслов, М. В. Федорюк, Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики, Наука, М., 1976, 296 с.
  28. Г. Бэйтмен, А. Эрдейи, Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены, Наука, М., 1966, 295 с.
  29. NIST Digital Library of Mathematical Functions
  30. S. Yu. Dobrokhotov, A. V. Tsvetkova, “An approach to finding the asymptotics of polynomials given by recurrence relations”, Russ. J. Math. Phys., 28:2 (2021), 198–223
  31. A. I. Aptekarev, A. Branquinho, W. Van Assche, “Multiple orthogonal polynomials for classical weights”, Trans. Amer. Math. Soc., 355:10 (2003), 3887–3914
  32. А. Ю. Аникин, С. Ю. Доброхотов, В. Е. Назайкинский, А. В. Цветкова, “Равномерная асимптотика в виде функции Эйри для квазиклассических связанных состояний в одномерных и радиально-симметричных задачах”, ТМФ, 201:3 (2019), 382–414
  33. С. Ю. Доброхотов, В. Е. Назайкинский, “Лагранжевы многообразия и эффективные формулы для коротковолновых асимптотик в окрестности точки возврата каустики”, Матем. заметки, 108:3 (2020), 334–359
  34. В. С. Буслаев, А. А. Федотов, “Комплексный метод ВКБ для уравнения Харпера”, Алгебра и анализ, 6:3 (1994), 59–83
  35. А. А. Федотов, Е. В. Щетка, “Комплексный метод ВКБ для разностного уравнения Шрeдингера, потенциал которого – тригонометрический полином”, Алгебра и анализ, 29:2 (2017), 193–219
  36. V. V. Belov, S. Yu. Dobrokhotov, T. Ya. Tudorovskiy, “Operator separation of variables for adiabatic problems in quantum and wave mechanics”, J. Engrg. Math., 55:1-4 (2006), 183–237
  37. М. В. Карасев, В. П. Маслов, Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантование, Наука, М., 1991, 368 с.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2022 Аптекарев А.I., Доброхотов С.Y., Туляков Д.N., Цветкова А.V.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».