Том 88, № 3 (2024)

In 1987 Brehm and Kühnel showed that any combinatorial $d$-manifold with less than $3d/2+3$ vertices is PL homeomorphic to the sphere and any combinatorial $d$-manifold with exactly $3d/2+3$ vertices is PL homeomorphic to either the sphere or a manifold like a projective plane in the sense of Eells and Kuiper. The latter possibility may occur for $d\in\{2,4,8,16\}$ only. There exist a unique $6$-vertex triangulation of $\mathbb{RP}^2$, a unique $9$-vertex triangulation of $\mathbb{CP}^2$, and at least three $15$-vertex triangulations of $\mathbb{HP}^2$. However, until now, the question of whether there exists a $27$-vertex triangulation of a manifold like the octonionic projective plane has remained open. We solve this problem by constructing a lot of examples of such triangulations. Namely, we construct $634$ vertex-transitive $27$-vertex combinatorial $16$-manifolds like the octonionic projective plane. Four of them have symmetry group $\mathrm{C}_3^3\rtimes \mathrm{C}_{13}$ of order $351$, and the other $630$ have symmetry group $\mathrm{C}_3^3$ of order $27$. Further, we construct more than $10^{103}$ non-vertex-transitive $27$-vertex combinatorial $16$-manifolds like the octonionic projective plane. Most of them have trivial symmetry group, but there are also symmetry groups $\mathrm{C}_3$, $\mathrm{C}_3^2$, and $\mathrm{C}_{13}$. We conjecture that all the triangulations constructed are PL homeomorphic to the octonionic projective plane $\mathbb{OP}^2$. Nevertheless, we have no proof of this fact so far.Bibliography: 52 titles.

Для случая алгебраических кривых (компактных римановых поверхностей) показано, что группа когомологий де Рама $H^1_{\mathrm{dR}}(X,\mathbb{C})$ римановой поверхности $X$ рода $g$ имеет естественную структуру симплектического векторного пространства. Выбор неспециального эффективного дивизора $D$ степени $g$ на $X$ задает симплектический базис $H^1_{\mathrm{dR}}(X,\mathbb{C})$, состоящий из голоморфных дифференциалов и дифференциалов второго рода с полюсами в $D$. Этот результат, алгебраическая теорема де Рама, позволяет описать касательное пространство к многообразиям Пикара и Якоби римановой поверхности $X$ в терминах дифференциалов второго рода и определить естественные векторные поля на многообразии Якоби, отвечающие движению точек дивизора $D$. В терминах формализма Лакса на алгебраических кривых эти векторные поля соответствуют уравнениям Дубровина в теории интегрируемых систем, а функция Бейкера–Ахиезера естественным образом получаетсяинтегрированием вдоль интегральных кривых.Библиография: 14 наименований.

Граф $\Gamma$ называется локально конечным, если у графа $\Gamma$ для каждой вершины $v$ множество $\Gamma(v)$ смежных с ней вершин конечно. Для произвольного локально конечного графа $\Gamma$ с множеством вершин $V(\Gamma)$ и произвольного поля $F$ на $F^{V(\Gamma)}$ (векторном пространстве над $F$ всех функций $V(\Gamma) \to F$ с естественными покомпонентными операциями) определен линейный оператор $A^{(\mathrm{alg})}_{\Gamma,F}\colon F^{V(\Gamma)} \to F^{V(\Gamma)}$, посредством $(A^{(\mathrm{alg})}_{\Gamma,F}(f))(v)=\sum_{u \in \Gamma(v)}f(u)$ для всех $f\in F^{V(\Gamma)}$, $v \in V(\Gamma)$. В случае конечного графа $\Gamma$ отображение $A^{(\mathrm{alg})}_{\Gamma,F}$ есть хорошо известный оператор, определяемый матрицей смежности графа $\Gamma$ (над $F$), и теория собственных значений и собственных функций таких операторов составляет (по крайней мере, в случае $F=\mathbb{C}$) хорошо разработанный раздел теории конечных графов. В настоящей работе разрабатывается теория собственных значений и собственных функций операторов $A^{(\mathrm{alg})}_{\Gamma,F}$ для бесконечных локально конечных графов $\Gamma$ (впрочем, отдельные ее результаты могут представлять интерес для конечных графов) и произвольных полей $F$, хотя особый акцент делается на случай, когда $\Gamma$ – связный граф с ограниченными в совокупности степенями вершин и $F=\mathbb{C}$. Предпринимавшиеся ранее попытки в этом направлении не были, по мнению автора, вполне удовлетворительными в том смысле, что ограничивались рассмотрением лишь собственных функций весьма специального вида (и соответствующих им собственных значений).Библиография: 18 наименований.