Открытый доступ
Доступ предоставлен
Только для подписчиков
Том 213, № 6 (2022)
- Год: 2022
- Статей: 6
- URL: https://bakhtiniada.ru/0368-8666/issue/view/7490
Функтор $p$-выпуклости для $L_p(X)$-пространств
Аннотация
Описывается конструкция, превращающая произвольную $L_p(X)$-норму на нормированном пространстве $E$ в $p$-выпуклую. Применение этой конструкции к проективной тензорной норме позволяет получить явную формулу для максимальной $p$-выпуклой $L_p(X)$-нормы на $E$.Библиография: 9 названий.
Математический сборник. 2022;213(6):3-12
3-12
Верхняя граница минимальных критических значений конечных произведений Бляшке
Аннотация
Для конечных произведений Бляшке $B$ степени $n \geq 2$, $B(0)=0$, $ B'(0) \neq 0$, устанавливается точная верхняя граница минимальных модулей критических значений этих произведений, зависящая только от $n$ и $|B'(0)|$.Библиография: 12 названий.
Математический сборник. 2022;213(6):13-20
13-20
Каноническая геометризация ориентируемых трехмерных многообразий, определяемых векторными раскрасками трехмерных многогранников
Аннотация
Гипотеза У. П. Тёрстона о геометризации (окончательно доказанная Г. Я. Перельманом) заключается в том, что любое ориентируемое трехмерное многообразие может быть канонически разрезано на части, каждая из которых имеет геометрическую структуру, моделируемую на одной из восьми геометрий: $S^3$, $\mathbb R^3$, $\mathbb H^3$, $S^2\times\mathbb R$, $\mathbb H^2\times \mathbb R$, универсальное накрытие для $\mathrm{SL}(2,\mathbb {R})$, $\mathrm{Nil}$ и $\mathrm{Sol}$. В фундаментальной работе 1991 г. М. Дэвис и Т. Янушкевич ввели широкий класс $n$-мерных многообразий – так называемые малые накрытия простых $n$-мерных многогранников. Мы даем полный ответ на следующий вопрос: построить в явном виде каноническое разложение любого ориентируемого трехмерного многообразия, определяемого векторной раскраской трехмерного простого многогранника, в частности малого накрытия. Доказательство основано на анализе результатов в этом направлении, полученных ранее различными авторами. Библиография: 44 названия.
Математический сборник. 2022;213(6):21-70
21-70
Самоподобные 2-аттракторы и тайлы
Аннотация
Исследуются 2-аттракторы в пространстве $\mathbb R^d$ – самоподобные компакты, заданные двумя сжимающими аффинными операторами с одинаковой линейной частью. Они широко изучались в литературе под разными названиями (двухциферные тайлы, двойные драконы, 2-рептайлы и т.д.) в связи с приложениями в дискретной геометрии, теории чисел и теории приближений, для построения базисов Хаара и всплесков (вейвлетов) многих переменных. В работе получена полная классификация изотропных 2-аттракторов в $\mathbb R^d$ и показано, что все они гомеоморфны друг другу, но не диффеоморфны. В общем неизотропном случае доказано, что 2-аттрактор однозначно с точностью до аффинного подобия определяется спектром матрицы сжатия. Приведены оценки на число различных 2-аттракторов в $\mathbb R^d$, для чего исследованы целые унитарные растягивающие полиномы со свободным коэффициентом $\pm 2$. Их количество оценивается с помощью меры Малера. Построено несколько серий таких полиномов. Для некоторых 2-аттракторов вычислены показатели их регулярности по Гёльдеру. Часть результатов обобщена на аттракторы с произвольным количеством цифр. Библиография: 63 названия.
Математический сборник. 2022;213(6):71-110
71-110
О метрических свойствах $C$-емкостей, связанных с решениями сильно эллиптических уравнений второго порядка в $\mathbb R^2$
Аннотация
В работе установлен ряд метрических свойств емкостей, в терминах которых ранее были получены критерии равномерной приближаемости функций решениями сильно эллиптических уравнений второго порядка на компактах в $\mathbb R^2$. В качестве следствий получены новые, более естественные критерии приближаемости в индивидуальной форме. Сформулированы представляющие интерес нерешенные задачи. Библиография: 13 названий.
Математический сборник. 2022;213(6):111-124
111-124
Неравенство Харди–Литтлвуда–Соболева в случае $p=1$
Аннотация
Пусть $\mathcal{W}$ – замкнутое инвариантное относительно сдвигов и растяжений линейное подпространство класса $\mathbb{R}^\ell$-значных обобщенных функций умеренного роста $d$ переменных. Работа посвящена доказательству следующего результата: если пространство $\mathcal{W}$ не содержит обобщенных функций вида $a\otimes \delta_0$, где $\delta_0$ – дельта Дирака, то для всякой функции $f\in\mathcal{W}\cap L_1$ верно неравенство$$\|\operatorname{I}_\alpha [f]\|_{L_{d/(d-\alpha),1}}\lesssim \|f\|_{L_1},$$причем константа в нем не зависит от функции $f$; $\operatorname{I}_\alpha$ обозначает потенциал Рисса порядка $\alpha$, а $L_{p,1}$ – пространство Лоренца. Частными случаями этого результата являются неравенство$$\|\nabla^{m-1} f\|_{L_{d/(d-1),1}} \lesssim \|A f\|_{L_1},$$где $A$ – сокращающий эллиптичный дифференциальный оператор порядка $m$, и неравенство$$\|\operatorname{I}_\alpha f\|_{L_{d/(d-\alpha),1}} \lesssim \|f\|_{L_1},$$где $f$ – соленоидальное векторное поле.Библиография: 59 названий.
Математический сборник. 2022;213(6):125-174
125-174