Self-affine $2$-attractors and tiles

Мұқаба

Дәйексөз келтіру

Толық мәтін

Ашық рұқсат Ашық рұқсат
Рұқсат жабық Рұқсат берілді
Рұқсат жабық Тек жазылушылар үшін

Аннотация

We study two-digit attractors (2-attractors) in $\mathbb{R}^d$, which are self-affine compact sets defined by two affine contractions with the same linear part. They have widely been studied in the literature under various names (integer self-affine 2-tiles, twindragons, two-digit tiles, 2-reptiles and so on) due to many applications in approximation theory, in the construction of multivariate Haar systems and other wavelet bases, in discrete geometry and in number theory. We obtain a complete classification of isotropic 2-attractors in $\mathbb{R}^d$ and show that all of them are pairwise homeomorphic but not diffeomorphic. In the general, nonisotropic, case weprove that a 2-attractor is uniquely defined by the spectrum of the dilation matrix up to affine similarity. We estimate the number of different 2-attractors in $\mathbb{R}^d$ by analysing integer unitary expanding polynomials with free coefficient $\pm2$. The total number of such polynomials is estimated using the Mahler measure. We present several infinite series of such polynomials. For some 2-attractors their Hölder exponents are found. Some of our results are extended to attractors with an arbitrary number of digits.Bibliography: 63 titles.

Авторлар туралы

Tatyana Zaitseva

Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics; Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics

without scientific degree, no status

Vladimir Protasov

University of L’Aquila; Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics

Email: v-protassov@yandex.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, no status

Әдебиет тізімі

  1. S. Akiyama, H. Brunotte, A. Pethő, J. M. Thuswaldner, “Generalized radix representations and dynamical systems. III”, Osaka J. Math., 45:2 (2008), 347–374
  2. S. Akiyama, N. Gjini, “On the connectedness of self-affine attractors”, Arch. Math. (Basel), 82:2 (2004), 153–163
  3. S. Akiyama, B. Loridant, “Boundary parametrization of planar self-affine tiles with collinear digit set”, Sci. China Math., 53:9 (2010), 2173–2194
  4. S. Akiyama, B. Loridant, J. M. Thuswaldner, “Topology of planar self-affine tiles with collinear digit set”, J. Fractal Geom., 8:1 (2021), 53–93
  5. S. Akiyama, A. Pethő, “On the distribution of polynomials with bounded roots. II. Polynomials with integer coefficients”, Unif. Distrib. Theory, 9:1 (2014), 5–19
  6. S. Akiyama, J. M. Thuswaldner, “A survey on topological properties of tiles related to number systems”, Geom. Dedicata, 109:1 (2004), 89–105
  7. C. Bandt, Combinatorial topology of three-dimensional self-affine tiles
  8. C. Bandt, “Self-similar sets. V. Integer matrices and fractal tilings of $mathbb R^n$”, Proc. Amer. Math. Soc., 112:2 (1991), 549–562
  9. C. Bandt, G. Gelbrich, “Classification of self-affine lattice tilings”, J. London Math. Soc. (2), 50:3 (1994), 581–593
  10. J. J. Benedetto, M. T. Leon, “The construction of multiple dyadic minimally supported frequency wavelets on $mathbb R^d$”, The functional and harmonic analysis of wavelets and frames (San Antonio, TX, 1999), Contemp. Math., 247, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, 43–74
  11. J. J. Benedetto, S. Sumetkijakan, “Tight frames and geometric properties of wavelet sets”, Adv. Comput. Math., 24:1-4 (2006), 35–56
  12. C. Bandt, Y. Wang, “Disk-like self-affine tiles in $mathbb R^2$”, Discrete Comput. Geom., 26:4 (2001), 591–601
  13. M. Bownik, Anisotropic Hardy spaces and wavelets, Mem. Amer. Math. Soc., 164, no. 781, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2003, vi+122 pp.
  14. A. S. Cavaretta, W. Dahmen, C. A. Micchelli, Stationary subdivision, Mem. Amer. Math. Soc., 93, no. 453, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1991, vi+186 pp.
  15. M. Cotronei, D. Ghisi, M. Rossini, T. Sauer, “An anisotropic directional subdivision and multiresolution scheme”, Adv. Comput. Math., 41 (2015), 709–726
  16. C. A. Cabrelli, C. Heil, U. M. Molter, Self-similarity and multiwavelets in higher dimensions, Mem. Amer. Math. Soc., 170, no. 807, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2004, viii+82 pp.
  17. M. Charina, T. Mejstrik, “Multiple multivariate subdivision schemes: matrix and operator approaches”, J. Comput. Appl. Math., 349 (2019), 279–291
  18. M. Charina, V. Yu. Protasov, “Regularity of anisotropic refinable functions”, Appl. Comput. Harmon. Anal., 47:3 (2019), 795–821
  19. A. Cohen, K. Gröchenig, L. F. Villemoes, “Regularity of multivariate refinable functions”, Constr. Approx., 15:2 (1999), 241–255
  20. G. R. Conner, J. M. Thuswaldner, “Self-affine manifolds”, Adv. Math., 289 (2016), 725–783
  21. N. Desprez, Chaoscope, Software
  22. A. Dubickas, S. V. Konyagin, “On the number of polynomials of bounded measure”, Acta Arith., 86:4 (1998), 325–342
  23. Qi-Rong Deng, Ka-sing Lau, “Connectedness of a class of planar self-affine tiles”, J. Math. Anal. Appl., 380:2 (2011), 493–500
  24. Xingde Dai, D. R. Larson, D. M. Speegle, “Wavelet sets in $mathbb R^n$”, J. Fourier Anal. Appl., 3:4 (1997), 451–456
  25. A. Dubickas, “Counting integer reducible polynomials with bounded measure”, Appl. Anal. Discrete Math., 10:2 (2016), 308–324
  26. Xiaoye Fu, J.-P. Gabardo, Self-affine scaling sets in $mathbb R^2$, Mem. Amer. Math. Soc., 233, no. 1097, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2015, vi+85 pp.
  27. W. J. Gilbert, “Radix representations of quadratic fields”, J. Math. Anal. Appl., 83:1 (1981), 264–274
  28. A. M. Garsia, “Arithmetic properties of Bernoulli convolutions”, Trans. Amer. Math. Soc., 102:3 (1962), 409–432
  29. G. Gelbrich, “Self-affine lattice reptiles with two pieces in $mathbb R^n$”, Math. Nachr., 178:1 (1996), 129–134
  30. R. F. Gundy, A. L. Jonsson, “Scaling functions on $mathbb R^2$ for dilations of determinant $pm 2$”, Appl. Comput. Harmon. Anal., 29:1 (2010), 49–62
  31. C. Gröchenig, W. R. Madych, “Multiresolution analysis, Haar bases, and self-similar tilings of $mathbf R^n$”, IEEE Trans. Inform. Theory, 38:2, Part 2 (1992), 556–568
  32. K. Gröchenig, A. Haas, “Self-similar lattice tilings”, J. Fourier Anal. Appl., 1:2 (1994), 131–170
  33. Xing-Gang He, Ka-Sing Lau, “Characterization of tile digit sets with prime determinants”, Appl. Comput. Harmon. Anal., 16:3 (2004), 159–173
  34. D. Hacon, N. C. Saldanha, J. J. P. Veerman, “Remarks on self-affine tilings”, Exp. Math., 3:4 (1994), 317–327
  35. I. Kirat, Ka-Sing Lau, “On the connectedness of self-affine tiles”, J. London Math. Soc. (2), 62:1 (2000), 291–304
  36. I. Kirat, Ka-Sing Lau, “Classification of integral expanding matrices and self-affine tiles”, Discrete Comput. Geom., 28:1 (2002), 49–73
  37. I. Kirat, Ka-Sing Lau, Hui Rao, “Expanding polynomials and connectedness of self-affine tiles”, Discrete Comput. Geom., 31:2 (2004), 275–286
  38. A. Kravchenko, D. Mekhontsev, IFS Builder 3d, Software
  39. A. Krivoshein, V. Protasov, M. Skopina, Multivariate wavelets frames, Ind. Appl. Math., Springer, Singapore, 2016, xiii+248 pp.
  40. P. Kirschenhofer, J. M. Thuswaldner, “Shift radix systems–a survey”, Numeration and substitution 2012, RIMS Kôkyûroku Bessatsu, B46, Res. Inst. Math. Sci. (RIMS), Kyoto, 2014, 1–59
  41. P. Kirschenhofer, A. Thuswaldner, “Distribution results on polynomials with bounded roots”, Monatsh. Math., 185:4 (2018), 689–715
  42. J. C. Lagarias, Yang Wang, “Haar type orthonormal wavelet bases in $mathbf R^2$”, J. Fourier Anal. Appl., 2:1 (1995), 1–14
  43. J. C. Lagarias, Yang Wang, “Haar bases for $L^2(mathbb R^n)$ and algebraic number theory”, J. Number Theory, 57:1 (1996), 181–197
  44. J. C. Lagarias, Yang Wang, “Integral self-affine tiles in $mathbb R^n$. II. Lattice tilings”, J. Fourier Anal. Appl., 3:1 (1997), 83–102
  45. J. Lagarias, Yang Wang, “Corrigendum/addendum: “Haar bases for $L_2(mathbb R^n)$ and algebraic number theory””, J. Number Theory, 76:2 (1999), 330–336
  46. T. Mejstrik, “Algorithm 1011: improved invariant polytope algorithm and applications”, ACM Trans. Math. Software, 46:3 (2020), 29, 26 pp.
  47. D. Mekhontsev, IFStile, Software
  48. K. D. Merrill, “Simple wavelet sets in $mathbb R^n$”, J. Geom. Anal., 25:2 (2015), 1295–1305
  49. K. D. Merrill, Generalized multiresolution analyses, Lect. Notes Appl. Numer. Harmon. Anal., Birkhäuser/Springer, Cham, 2018, x+113 pp.
  50. F. Morgan, Geometric measure theory. A beginner's guide, Academic Press, Inc., Boston, MA, 1988, viii+145 pp.
  51. И. Я. Новиков, В. Ю. Протасов, М. А. Скопина, Теория всплесков, Физматлит, М., 2005, 613 с.
  52. Sze-Man Ngai, V. F. Sirvent, J. J. P. Veerman, Yang Wang, “On 2-reptiles in the plane”, Geom. Dedicata, 82:1-3 (2000), 325–344
  53. В. Ю. Протасов, “Обобщенный совместный спектральный радиус. Геометрический подход”, Изв. РАН. Сер. матем., 61:5 (1997), 99–136
  54. V. Yu. Protasov, “Surface dimension, tiles, and synchronizing automata”, SIAM J. Math. Anal., 52:4 (2020), 3463–3486
  55. H. Rademacher, “Über partielle und totale Differenzierbarkeit von Funktionen mehrerer Variablen und über die Transformation der Doppelintegrale”, Math. Ann., 79:4 (1919), 340–359
  56. W. Steiner, J. M. Thuswaldner, “Rational self-affine tiles”, Trans. Amer. Math. Soc., 367:11 (2015), 7863–7894
  57. J. M. Thuswaldner, Shu-qin Zhang, “On self-affine tiles whose boundary is a sphere”, Trans. Amer. Math. Soc., 373:1 (2020), 491–527
  58. M. Uray, On the expansivity gap of integer polynomials
  59. H. Weyl, “Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins”, Math. Ann., 77:3 (1916), 313–352
  60. P. Wojtaszczyk, A mathematical introduction to wavelets, London Math. Soc. Stud. Texts, 37, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1997, xii+261 pp.
  61. T. Zaitseva, “Haar wavelets and subdivision algorithms on the plane”, Adv. Syst. Sci. Appl., 17:3 (2017), 49–57
  62. Т. И. Зайцева, “Простые тайлы и аттракторы”, Матем. сб., 211:9 (2020), 24–59
  63. V. G. Zakharov, “Rotation properties of 2D isotropic dilation matrices”, Int. J. Wavelets Multiresolut. Inf. Process., 16:1 (2018), 1850001, 14 pp.

Қосымша файлдар

Қосымша файлдар
Әрекет
1. JATS XML
Жүктеу

© Zaitseva T.I., Protasov V.Y., 2022

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».