Открытый доступ
Доступ предоставлен
Только для подписчиков
Том 65, № 7 (2025)
К 70-летию Е.Е. Тыртышникова
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2025;65(7):1059
1059
ОБЩИЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Собственные значения неэрмитовой ленточной тёплицевой матрицы, стремящиеся к простым точкам предельного множества
Аннотация
Собственные значения больших неэрмитовых ленточных тёплицевых матриц группируются вдоль предельного множества, образованного конечным объединением замкнутых аналитических дуг. В работе рассматривается общий случай таких матриц и используется расширенный метод простых петель для получения конкретных асимптотических разложений для собственных значений, приближающихся к простым и невырожденным точкам предельного множества при стремлении порядка матрицы к бесконечности. Помимо этого разработан алгоритм эффективного вычисления этих разложений.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2025;65(7):1060-1076
1060-1076
Метод крестовой тензорной интерполяции для глобальной дискретной оптимизации в задаче байесовского вывода графов
Аннотация
Глобальная дискретная оптимизация является сложной задачей из-за отсутствия градиентов и невозможности полного перебора при большом числе переменных. Эффективным методом для аппроксимации многомерных тензоров (и дискретизированных функций) являются крестовые интерполяции, использующие небольшое число адаптивно выбранных строк и столбцов в тензоре, пересекающихся на подматрицах (почти) максимального объема. Такие подматрицы часто содержат большие по модулю элементы, поэтому элементы тензора, найденные в методе крестовой интерполяции, являются хорошими приближениями глобального максимума в тензоре. В этой статье мы рассматриваем эпидемический процесс на уровне индивидуумов, и задачу байесовского вывода социального графа индивидуумов по данным наблюдений эпидемических состояний индивидуумов во времени. Численные эксперименты демонстрируют, что данный граф может быть найден с высокой точностью путем максимизации правдоподобия с помощью метода крестовой тензорной интерполяции. Предложенный подход является достаточно общим и может применяться для глобальной дискретной оптимизации в других задачах, например, для настройки дискретных параметров моделей.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2025;65(7):1077-1090
1077-1090
БЫСТРЫЙ ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ДЛЯ ЗАДАЧИ О ВОССТАНОВЛЕНИИ ФУНКЦИИ ИСТОЧНИКА В УРАВНЕНИИ КОАГУЛЯЦИИ-ДРОБЛЕНИЯ
Аннотация
Предлагается быстрый численный метод для задачи о восстановлении функции источника в уравнении коагуляции-дробления вещества Смолуховского. Предлагаемый метод основан на более ранней работе с более подробным изложением перехода от уравнения коагуляции-дробления к итоговой системе вариационных уравнений и итерационному процессу. В этот процесс внедрены алгоритмы на основе матриц малого ранга для снижения сложности вычислений каждой итерации. Использование предлагаемой методологии на практике позволяет ускорить вычисления в тысячи раз без потери точности исходного алгоритма.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2025;65(7):1091-1109
1091-1109
СИММЕТРИЧНОЕ ТРЕУГОЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ПРИБЛИЖЕНИЙ К РЕШЕНИЮ КВАДРАТИЧНОЙ ЗАДАЧИ О НАЗНАЧЕНИЯХ
Аннотация
Матрицы перестановки, возникающие в процессе треугольного разложения сдвинутых симметричных матриц с выбором максимального по модулю ведущего элемента на диагонали, используются как начальные приближения для серии элементарных перестановок, улучшающих целевое значение квадратичной задачи о назначениях. Приведены результаты тестирования предлагаемого метода на 128 тестовых задачах из QAPLIB.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2025;65(7):1110-1117
1110-1117
АДАПТИВНЫЙ БЛОЧНЫЙ АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ МНОГОСЕТОЧНЫЙ МЕТОД ДЛЯ МУЛЬТИФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Аннотация
Предлагается адаптивный блочный алгебраический метод для решения систем мультифизических задач, возникающих из дискретизации методом конечных объемов. Метод конечных объемов специально разработан для решения мультифизических задач, включающих различные физические явления в различных частях области, что приводит к блочно-структурированным седловым линейным алгебраическим системам с переменным размером блока. Адаптивный алгебраический многосеточный метод использует доступную информацию о собственных векторах задачи для построения операторов продолжения и сужения. Для формирования начального набора векторов используется информация о распределении степеней свободы внутри блоков. Показывается, что возникающие линейные системы поддаются решению с помощью предлагаемого метода. Анализируются также различные подходы к выбору сильных связей, уточнению грубого пространства и адаптации тестовых векторов. Рассматриваются линейные системы, возникающие из совместных задач взаимодействия свободного течения и пороупругой среды, механики твердого тела с трением на контакте и поропластичного тела с трещинами. Все рассматриваемые задачи являются седловыми.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2025;65(7):1118-1142
1118-1142
К-ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРЕДОБУСЛАВЛИВАТЕЛИ НА ОСНОВЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ОБРАТНЫХ МАТРИЦ
Аннотация
Рассматривается задача построения предобуславливателей специального вида для решения систем линейных алгебраических уравнений. Предложен новый подход к построению предобуславливателей, основанный на минимизации K-числа обусловленности для матрицы A−1P, где A — исходная матрица системы, P — предобуславливатель. Доказано, что для циркулянтных матриц такой подход эквивалентен построению оптимального циркулянта Чэна для обратной матрицы. Проведены численные эксперименты на серии тестовых задач с тёплицевыми матрицами, показывающие, что предложенный подход позволяет существенно уменьшить число итераций метода сопряженных градиентов по сравнению с классическим подходом. Полученные результаты открывают новые возможности для построения эффективных предобуславливателей в других классах матриц.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2025;65(7):1143-1155
1143-1155
АДАПТИВНЫЕ ПРЯМО-ДВОЙСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ С НЕТОЧНЫМ ОРАКУЛОМ ДЛЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ГЛАДКИХ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ ВОССТАНОВЛЕНИЯ МАЛОРАНГОВЫХ МАТРИЦ
Аннотация
Статья посвящена адаптивным прямо-двойственным методам первого порядка для относительно гладких задач оптимизации с ограничениями-неравенствами, а также их приложениям к задачам восстановления малоранговых матриц. Показано, что для некоторого класса относительно гладких задач восстановления малоранговых матриц можно применять треугольное шкалированное свойство с коэффициентом шкалирования γ = 2, что открыло возможность применения для таких задач ускоренных методов и методов типа Франк–Вульфа и результатов об их вычислительных гарантиях. Предложен адаптивный вариант метода подобных треугольников для гладких задач относительно дивергенции Брегмана с треугольным шкалированным свойством с коэффициентом шкалирования γ = 2. Также предложены неускоренный и ускоренный прямо-двойственные адаптивные методы с неточным оракулом для относительно гладких задач. Ускоренный прямо-двойственный метод также есть аналог метода подобных треугольников и использует треугольное шкалированное свойство дивергенции Брегмана с коэффициентом шкалирования γ = 2. Ключевая особенность исследования в статье методов — возможность использования на итерациях неточной информации и учета неточности решения вспомогательных подзадач на итерациях методов. Это естественно ввиду усложнения таких подзадач в силу использования дивергенции (расхождения) Брегмана вместо квадрата евклидовой нормы. В частности, это привело к варианту метода Франк–Вульфа для выделенного класса относительно гладких задач. Для всех предложенных методов получены теоретические результаты о качестве выдаваемого решения.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2025;65(7):1156-1177
1156-1177
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МОЗАИЧНО-СКЕЛЕТОННЫХ АППРОКСИМАЦИЙ МАТРИЦ В ЗАДАЧАХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО РАССЕЯНИЯ
Аннотация
Рассматриваются алгоритмы решения задач рассеяния электромагнитных волн в частотной области с применением метода интегральных уравнений, а также с применением модели физической оптики, учитывающей переотражение волн. И в том и в другом случае основные вычислительные затраты как с точки зрения времени расчета, так и с точки зрения потребной машинной памяти связаны с хранением плотных матриц взаимодействия дискретных элементов и выполнением операций с этими матрицами. Анализируются особенности применения метода мозаично-скелетонных аппроксимаций к таким матрицам и возможности этого метода в данном классе задач.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2025;65(7):1178-1195
1178-1195
БЛОЧНЫЙ ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД МИНИМАЛЬНЫХ НЕВЯЗОК
Аннотация
В данной работе представлено блочное расширение обобщенного метода минимальных невязок (GMRES) с новой технологией редукции блока. В отличие от известных на данный момент методов, блок может быть редуцирован не только, когда он выродился, но и при сходимости части невязок с требуемой точностью или в случае, когда невязки становятся линейно зависимы с заданной точностью. Кроме того, метод позволяет продолжать процесс при добавлении новых правых частей. При этом после редукций блока и добавления новых правых частей метод сохраняет компактную форму и низкую сложность. Это позволяет его использовать в случае, когда не все правые части известны заранее. А также дает возможность ограничивать максимальный размер блока, балансируя таким образом между производительностью и финальной размерностью пространства, т.е. необходимой памятью. Численные эксперименты подтверждают высокую эффективность метода по сравнению с неблочным расширением GMRES и наивным блочным его обобщением.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2025;65(7):1196-1210
1196-1210
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
РАЦИОНАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ
Аннотация
Разложения многих элементарных и специальных функций в ряды по ортогональным полиномам имеют коэффициенты, известные в явном виде. Однако почти всегда эти коэффициенты иррациональны. Поэтому любой численный метод дает эти коэффициенты приближенно при расчетах в любой арифметике. Это относится и к спектральным методам, которые дают эффективные аппроксимации головомных функций. Однако в некоторых исключительных случаях коэффициенты разложений, полученные спектральным методом, оказываются рациональными и вычисляются точно в рациональной арифметике. Мы рассматриваем такие разложения по некоторым классическим ортогональным полиномам. Показано, что так можно получить бесконечный набор линейных форм для некоторых иррациональностей, в частности, для константы Эйлера.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2025;65(7):1211-1224
1211-1224
РАЗРЕШИМОСТЬ И СВОЙСТВА ОСОБЫХ ТОЧЕК ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРОАЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА
Аннотация
Рассматриваются системы линейных интегральных уравнений Вольтерра с тождественно вырожденной в области определения матрицей при главном члене. Такие системы принято называть в настоящее время интегроалгебраическими уравнениями. Вводится понятие простой структуры интегроалгебраических уравнений и исследуются вопросы разрешимости. В частности, рассматриваются системы при наличии в области определения особых точек. В статье формализовано понятие особой точки таких систем. Приведен ряд примеров, иллюстрирующих теоретические результаты.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2025;65(7):1225-1240
1225-1240
1241-1248
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
ПРИМЕНЕНИЕ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛА ПРОСТОГО СЛОЯ ВО ВНЕШНЕЙ ЗАДАЧЕ НЕЙМАНА
Аннотация
Предлагается метод численного решения внешней задачи Неймана на основе новых квадратурных формул для потенциала простого слоя, построенных с помощью аналитического вычисления интегралов. Метод тестируется на задаче Неймана для уравнения Лапласа вне эллипсоида, для которой найдены явные решения. Показано, что численное решение задачи, полученное предлагаемым методом, равномерно аппроксимирует точное решение и обеспечивает более низкую погрешность и более быструю сходимость, чем численное решение, полученное с использованием стандартных квадратурных формул, основанных на численном интегрировании. Обсуждаются свойства численных решений в зависимости от параметров эллипсоида.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2025;65(7):1249-1264
1249-1264
О ПОСТАНОВКАХ ОБРАТНЫХ КОЭФФИЦИЕНТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ
Аннотация
В работе рассматривается проблема единственности решения обратной задачи по определению коэффициентов вязкости и магнитной вязкости из системы уравнений в частных производных, описывающих магнитогидродинамические явления. Приводятся теоремы единственности в случае известных в нулевом приближении магнитного поля и поля скоростей заряженной жидкости, а также в случае известного полного магнитного поля.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2025;65(7):1265-1276
1265-1276
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
ИССЛЕДОВАНИЕ РЕЗОНАНСНЫХ СВОЙСТВ ПАРНЫХ НАНОЧАСТИЦ С МЕЗОСКОПИЧЕСКИМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ МЕТОДОМ ДИСКРЕТНЫХ ИСТОЧНИКОВ
Аннотация
Метод дискретных источников был адаптирован к вычислению интенсивности полей в нанометровом зазоре пары плазмонных наночастиц с учетом квантовых эффектов, описываемых мезоскопическими граничными условиями с параметрами Фейбельмана. На основе вычислительного эксперимента установлено, что для частиц из благородных металлов учет квантового эффекта приводит к сдвигу плазмонного резонанса в коротковолновую область (blue shift) и снижению его амплитуды (damping). В случае же щелочного металла учет квантового эффекта приводит к сдвигу плазмонного резонанса в длинноволновую область (red shift), а при уменьшении зазора до 1–2 нм наблюдается рост интенсивности в зазоре (enhancement). Анализ распределения интенсивности по поверхности частиц позволил определить, что ее наибольшие значения достигаются на концах частиц, причем абсолютный максимум наблюдается на концах, обращенных внутрь зазора. Кроме того, установлено, что интенсивность поля вдоль поверхности частиц может меняться на четыре порядка величин на протяжении всего 12 нм, что составляет лишь 1.5% длины волны внешнего возбуждения.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2025;65(7):1277-1285
1277-1285
О ГИПЕРБОЛИЗАЦИИ МОДЕЛИ ГАЗОВЗВЕСИ С ОБЩИМ ДАВЛЕНИЕМ
Аннотация
Представлен способ гиперболизации модели многоскоростной многокомпонентной гетерогенной смеси с общим давлением, состоящей из различных газов и одной несжимаемой компоненты путем введения в уравнения модели параметра ξ. Проведен характеристический анализ уравнений модифицированной модели и установлена их гиперболичность при значении параметра ξ ∈(0, 1]. Показано, что при определенном выборе ξ купируется “паразитное” движение отдельных компонентов смеси. При интегрировании гиперболической системы уравнений применен многомерный узловой метод характеристик, основанный на расщеплении исходной системы уравнений по координатным направлениям на ряд одномерных подсистем, каждая из которых решается с использованием обратного метода характеристик. С помощью этого подхода рассчитан ряд одномерных и двумерных модельных задач.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2025;65(7):1286-1300
1286-1300