Том 27, № 139 (2022)
Статьи
Антипериодическая краевая задача для неявного обыкновенного дифференциального уравнения
Аннотация
В статье исследуется антипериодическая краевая задача для неявного нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения f t; x; x =0, x0 +x(τ)=0. Предполагается, что отображение f :R×R n ×R n →R k , определяющее рассматриваемое уравнение, является гладким и удовлетворяет условию равномерной невырожденностипервой производной infcovf v ' t,x,v : t,x,v ∈R×Rn ×Rn >0. Здесь cov A - константа Банаха линейного оператора A . Предположение равномерной невырожденности выполняется, в частности, для отображения f, определяющего нормальное обыкновенное дифференциальное уравнение. Для неявных уравнений получены достаточные условия существования решения антипериодической краевой задачи и найдены оценки решений. Сформулированы следствия для нормальных обыкновенных дифференциальных уравнений. Для доказательства основного результата исходное неявное уравнение сводится к нормальному дифференциальному уравнению за счет применения нелокальной теоремы о неявной функции. Затем в работе доказывается вспомогательное утверждение о разрешимости уравнения x+ψx =0, представляющее собой аналог теоремы Брауэра о неподвижной точке. Показывается, что отображение ψ, ставящее произвольной начальной точке x 0 значение решения задачи Коши в точке τ, корректно определено и удовлетворяет предположениям вспомогательного утверждения, что доказывает существование решения исходной краевой задачи.
Вестник российских университетов. Математика. 2022;27(139):205-213
205-213
Задача с нелокальным условием для уравнения четвертого порядка с кратными характеристиками
Аннотация
В статье рассмотрена нелокальная задача с интегральным условием для уравнения четвертого порядка. Доказана ее однозначная разрешимость. Доказательство единственности решения базируется на выведенных в работе априорных оценках. Для доказательства существования решения задача сведена к двум задачам Гурса для уравнений второго порядка и доказана эквивалентность поставленной задачи и полученной системы задач Гурса. Одна из задач системы является классической задачей Гурса. Вторая задача представляет собой характеристическую задачу для интегро-дифференциального уравнения с нелокальным интегральным условием на одной из характеристик. К исследованию этой задачи невозможно применить известные методы обоснования разрешимости задач с условиями на характеристиках. Введение новой неизвестной функции позволило свести вторую задачу к уравнению с вполне непрерывным оператором, убедиться на основании теоремы единственности в его разрешимости и, в силу доказанной эквивалентности задач, в разрешимости поставленной задачи.
Вестник российских университетов. Математика. 2022;27(139):214-230
214-230
231-246
Об устойчивости и непрерывной зависимости от параметра множества точек совпадения двух отображений, действующих в пространство с расстоянием
Аннотация
Рассматривается задача о точках совпадения двух отображений ψ, φ , действующих из метрического пространства (X, ρ) в пространство (Y, d), в котором расстояние d обладает лишь одним из свойств метрики: d( y1 , y2 )=0⇔ y1 = y2 , и не предполагается ни симметричным, ни удовлетворяющим неравенству треугольника. Исследуется вопрос о корректности уравнения ψx =φ(x), определяющего точку совпадения. Показано, что если x=ξ - решение этого уравнения, то для любой последовательности α i -накрывающих отображений ψ i :X→Y и любой последовательности β i -липшицевых отображений φ i :X→Y, α i > β i ≥0, в случае сходимости d( φ i (ξ), ψ i (ξ))→0 уравнение ψ i (x)= φ i (x) при любом i обладает решением x= ξ i таким, что ρ( ξ i ,ξ)→0 . Далее в статье исследуется зависимость от параметра t - элемента топологического пространства T множества Coin(t) точек совпадения отображений ψ(·, t),φ(·, t):X→Y. В предположении, что первое из этих отображений является -накрывающим, второе - β -липшицевым, получено утверждение о полунепрерывности сверху, полунепрерывности снизу и непрерывности многозначного отображения Coin:T⇒ X.
Вестник российских университетов. Математика. 2022;27(139):247-260
247-260
О новом способе получения гарантированной оценки погрешности метода Нумерова с помощью эллипсоидов
Аннотация
В настоящей работе рассматривается численное решение задачи Коши для дифференциального уравнения второго порядка, вычисляемое с помощью метода Нумерова. Предложен новый способ получения гарантированной оценки погрешности с помощью эллипсоидов. Численное решение заключается в эллипсоид, содержащий и точное, и численное решение задачи, который пересчитывается на каждом шаге. В отличие от ранее предложенного метода пересчета эллипсоидов, предлагается более точная оценка малых слагаемых в разностном уравнении для погрешности. Это приводит к более точной оценке погрешности численного решения и применимости предложенного метода оценки погрешности на интервалах большей длины. Приведены результаты оценки погрешности метода Нумерова при решении задачи двух тел на большом интервале. Этот численный эксперимент демонстрирует эффективность предложенного метода.
Вестник российских университетов. Математика. 2022;27(139):261-269
261-269
О свойствах решений дифференциальных систем, моделирующих электрическую активность головного мозга
Аннотация
Исследуется модель типа Хопфилда динамики электрической активности головного мозга, представляющая собой систему дифференциальных уравнений вида v i =-αv i +j=1 nw jif δ v j +I it , i= 1,n , t≥0. Параметры модели считаются заданными: α>0, w ji >0 при i≠j и w ii =0, I i (t)≥0. Функция активации f δ ( δ - время перехода нейрона в состояние активности) рассмотрена двух типов: δ=0⟹f 0v = 0, v≤θ, 1, v>θ; δ>0⟹ f δ v = 0,v≤θ, δ -1 v-θ ,θθ+δ. В случае δ >0 (функция f δ непрерывна) решение задачи Коши для рассматриваемой системы существует, единственно и является неотрицательным при неотрицательных начальных значениях. В случае δ =0 (функция f 0 разрывна в точке θ ) показано, что во множестве решений задачи Коши есть наибольшее и наименьшее решения, получены оценки решений и приведен пример системы, для которой задача Коши имеет бесконечное множество решений. В этом исследовании используются методы анализа отображений частично упорядоченных пространств. Также исследуется уточненная модель Хопфилда, в которой учитывается время движения электрического импульса от одного нейрона к другому, и поэтому модель представляет собой систему дифференциальных уравнений с запаздыванием. Для такой системы и в случае непрерывной, и в случае разрывной функции активации показано, что задача Коши однозначно разрешима, получены оценки решения и описан алгоритм аналитического нахождения решения.
Вестник российских университетов. Математика. 2022;27(139):270-283
270-283
О существовании непрерывных селекций многозначного отображения, связанного с задачей минимизации функционала
Аннотация
Рассматривается параметрическая задача вида f(x,y)→ inf, x∈M , где M - выпуклое замкнутое подмножество гильбертова или равномерно выпуклого пространства X , a y - параметр, принадлежащий топологическому пространству Y . Для этой задачи определено множество -оптимальных точек: a ϵy =x∈M|f(x, y)≤ infx∈M fx, y+ϵ , где ϵ>0 . Обсуждаются условия полунепрерывности и непрерывности многозначного отображения a ϵ . С использованием методов проекции градиентов и линеаризации получены теоремы о существовании непрерывных селекций многозначного отображения a ϵ . Одними из основных предположений этих теорем являются выпуклость функционала f(x,y) по переменной x на множестве M и непрерывность производной fx ' (x,y) на множестве M×Y . Приводятся примеры, подтверждающие существенность принятых предположений, а также примеры, иллюстрирующие применение полученных утверждений к оптимизационным задачам.
Вестник российских университетов. Математика. 2022;27(139):284-299
284-299
Фернандо Мануэль Феррейра Лобо Перейра (20.10.1956 - 17.06.2022)
Вестник российских университетов. Математика. 2022;27(139):300
300