Отправить статью по E-mail О свойствах решений дифференциальных систем, моделирующих электрическую активность головного мозга
- Авторы: Ланина А.С.1, Плужникова Е.А.1,2
-
Учреждения:
- ФГБОУ ВО «Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина»
- ФГБУН «Институт проблем управления имени В.А. Трапезникова» Российской академии наук
- Выпуск: Том 27, № 139 (2022)
- Страницы: 270-283
- Раздел: Статьи
- URL: https://bakhtiniada.ru/2686-9667/article/view/295024
- DOI: https://doi.org/10.20310/2686-9667-2022-27-139-270-283
- ID: 295024
Цитировать
Полный текст
Аннотация
Исследуется модель типа Хопфилда динамики электрической активности головного мозга, представляющая собой систему дифференциальных уравнений вида v i =-αv i +j=1 nw jif δ v j +I it , i= 1,n , t≥0. Параметры модели считаются заданными: α>0, w ji >0 при i≠j и w ii =0, I i (t)≥0. Функция активации f δ ( δ - время перехода нейрона в состояние активности) рассмотрена двух типов: δ=0⟹f 0v = 0, v≤θ, 1, v>θ; δ>0⟹ f δ v = 0,v≤θ, δ -1 v-θ ,θθ+δ. В случае δ >0 (функция f δ непрерывна) решение задачи Коши для рассматриваемой системы существует, единственно и является неотрицательным при неотрицательных начальных значениях. В случае δ =0 (функция f 0 разрывна в точке θ ) показано, что во множестве решений задачи Коши есть наибольшее и наименьшее решения, получены оценки решений и приведен пример системы, для которой задача Коши имеет бесконечное множество решений. В этом исследовании используются методы анализа отображений частично упорядоченных пространств. Также исследуется уточненная модель Хопфилда, в которой учитывается время движения электрического импульса от одного нейрона к другому, и поэтому модель представляет собой систему дифференциальных уравнений с запаздыванием. Для такой системы и в случае непрерывной, и в случае разрывной функции активации показано, что задача Коши однозначно разрешима, получены оценки решения и описан алгоритм аналитического нахождения решения.
Об авторах
Анастасия Сергеевна Ланина
ФГБОУ ВО «Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина»
Email: lanina.anastasiia5@mail.ru
магистрант по направлению подготовки «Математика» 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Интернациональная, 33
Елена Александровна Плужникова
ФГБОУ ВО «Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина»; ФГБУН «Институт проблем управления имени В.А. Трапезникова» Российской академии наук
Email: pluznikova_elena@mail.ru
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры функционального анализа; научный сотрудник 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Интернациональная, 33; 117997, Российская Федерация, г. Москва, ул. Профсоюзная, 65
Список литературы
- J.J. Hopfield, “Neural networks and physical systems with emergent collective computational properties”, Proc. Nat. Acad. Sci., 79 (1982), 2554-2558.
- В.Л. Быков, Цитология и общая гистология, Сотис, Санкт-Петербург, 2018.
- P. Van den Driesche, X. Zou, “Global attractivity in delayed Hopfield neural network models”, SIAM J. Appl. Math., 58 (1998), 1878-1890.
- А.С. Ланина, Е.А. Плужникова, “Об одной модели электрической активности головного мозга”, Моделирование и оптимизация сложных систем MOCS-2022, Тезисы докладов Международной школы молодых ученых (Суздаль, 30 июня - 5 июля), Аркаим, Владимир, 2022, 31-32.
- C.R. Laing, W. Troy, “Two-bump solutions of Amari-type models of neuronal pattern formation”, Physica D., 178 (2003), 190-218.
- M.R. Owen, C.R. Laing, S. Coombes, “Bumps and rings in a two-dimensional neural field: splitting and rotational instabilities”, New J. Phys., 9 (2007), 378.
- P. Blomquist, J. Wyller, G.T. Einevoll, “Localized activity patterns in two-population neuronal networks”, Physica D., 206 (2005), 180-212.
- A. Oleynik, A. Ponosov, J. Wyller, “On the properties of nonlinear nonlocal operators arising in neural field models”, J. Math. Anal. Appl., 398 (2013), 335-351.
- S. Coombes, M.R. Owen, “Evans functions for integral neural field equations with Heaviside firing rate function”, SIAM J. Appl. Dyn. Syst., 4 (2004), 574-600.
- Е.О. Бурлаков, М.А. Насонкина, “О связи непрерывных и разрывных моделей нейронных полей с микроструктурой: I. Общая теория”, Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 23:121 (2018), 17-30.
- Е.О. Бурлаков, И.Н. Мальков, “О связи непрерывных и разрывных моделей нейронных полей с микроструктурой: II. Радиально симметричные стационарные решения в 2D («бампы»)”, Вестник российских университетов. Математика, 25:129 (2020), 6-17.
- Е.С. Жуковский, “Неравенства Вольтерра в функциональных пространствах”, Матем. сб., 195:9 (2004), 3-18.
- Е.С. Жуковский, “Об упорядоченно накрывающих отображениях и неявных дифференциальных неравенствах”, Дифференциальные уравнения, 52:12 (2016), 1610-1627.
- E.O. Burlakov, E.S. Zhukovskiy, “On absrtact Volterra equations in partially ordered spaces and their applications”, Mathematical Analysis With Applications, International Conference in Honor of the 90th Birthday of Constantin Corduneanu. CONCORD-90 (Ekaterinburg, Russia, July 2018), Springer Proceedings in Mathematics & Statistics, 318, eds. S. Pinelas, A. Kim, V. Vlasov, Springer, Switzerland, 2020, 3-11.
- С. Бенараб, З.Т. Жуковская, Е.С. Жуковский, С.Е. Жуковский, “О функциональных и дифференциальных неравенствах и их приложениях к задачам управления”, Дифференциальные уравнения, 56:11 (2020), 1471-1482.
- А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа, 5-е изд., Физматлит, М., 2019.
- A.V. Arutyunov, E.S. Zhukovskiy, S.E. Zhukovskiy, “Coincidence points principle for mappings in partially ordered spaces”, Topology and its Applications, 179:1 (2015), 13-33.
- М.А. Красносельский, П.П. Забрейко, Геометрические методы нелинейного анализа, Наука, М., 1975.
- Л.А. Люстерник, В.И. Соболев, Краткий курс функционального анализа, Высшая школа, М., 1982.
- Е.С. Жуковский, “Непрерывная зависимость от параметров решений уравнений Вольтерра”, Матем. сб., 197:10 (2006), 33-56.
Дополнительные файлы
