$1$-nodal Fano threefolds with Picard number $1$

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We classify all $1$-nodal degenerations of smooth Fano threefolds with Picard number $1$ (both non-factorial and factorial) and describe their geometry. In particular, we describe a relation between such degenerations and smooth Fano threefolds of higher Picard rank and with unprojections of complete intersection varieties.

About the authors

Alexander Gennad'evich Kuznetsov

Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia; Laboratory of algebraic geometry and its applications, National Research University "Higher School of Economics", Moscow, Russia

Author for correspondence.
Email: akuznet@mi-ras.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, no status

Yuri Gennadievich Prokhorov

Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia; Laboratory of algebraic geometry and its applications, National Research University "Higher School of Economics", Moscow, Russia

Email: prokhoro@mi-ras.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. M. Abe, M. Furushima, “On non-normal del Pezzo surfaces”, Math. Nachr., 260 (2003), 3–13
  2. Chenyu Bai, Baohua Fu, L. Manivel, “On Fano complete intersections in rational homogeneous varieties”, Math. Z., 295:1-2 (2020), 289–308
  3. P. Belmans, Fanography
  4. J. Blanc, S. Lamy, “Weak Fano threefolds obtained by blowing-up a space curve and construction of Sarkisov links”, Proc. Lond. Math. Soc. (3), 105:5 (2012), 1047–1075
  5. I. Cheltsov, I. Krylov, J. Martinez Garcia, E. Shinder, “On maximally non-factorial nodal Fano threefolds”, Rev. Mat. Iberoam., 40:5 (2024), 1781–1798
  6. D. A. Cox, J. B. Little, H. K. Schenck, Toric varieties, Grad. Stud. Math., 124, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2011, xxiv+841 pp.
  7. J. W. Cutrone, N. A. Marshburn, “Towards the classification of weak Fano threefolds with $rho = 2$”, Cent. Eur. J. Math., 11:9 (2013), 1552–1576
  8. O. Debarre, A. Iliev, L. Manivel, “On nodal prime Fano threefolds of degree 10”, Sci. China Math., 54:8 (2011), 1591–1609
  9. O. Debarre, A. Kuznetsov, “Gushel–Mukai varieties: classification and birationalities”, Algebr. Geom., 5:1 (2018), 15–76
  10. D. Eisenbud, J. Harris, “On varieties of minimal degree (a centennial account)”, Algebraic geometry, Bowdoin, 1985, Part 1 (Brunswick, Maine, 1985), Proc. Sympos. Pure Math., 46, Part 1, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1987, 3–13
  11. R. Friedman, “On threefolds with trivial canonical bundle”, Complex geometry and Lie theory (Sundance, UT, 1989), Proc. Sympos. Pure Math., 53, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1991, 103–134
  12. T. Fujita, “On the structure of polarized varieties with $Delta$-genera zero”, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA Math., 22 (1975), 103–115
  13. L. Gruson, R. Lazarsfeld, C. Peskine, “On a theorem of Castelnuovo, and the equations defining space curves”, Invent. Math., 72:3 (1983), 491–506
  14. В. А. Исковских, “Трехмерные многообразия Фано. I”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 41:3 (1977), 516–562
  15. В. А. Исковских, “Трехмерные многообразия Фано. II”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 42:3 (1978), 506–549
  16. В. А. Исковских, “Антиканонические модели трехмерных алгебраических многообразий”, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат., 12 (1979), 59–157, ВИНИТИ, М.
  17. V. A. Iskovskikh, Yu. G. Prokhorov, “Fano varieties”, Algebraic geometry V, Encyclopaedia Math. Sci., 47, Springer, Berlin, 1999, 1–247
  18. P. Jahnke, Th. Peternell, and I. Radloff, “Threefolds with big and nef anticanonical bundles. II”, Cent. Eur. J. Math., 9:3 (2011), 449–488
  19. P. Jahnke, I. Radloff, “Gorenstein Fano threefolds with base points in the anticanonical system”, Compos. Math., 142:2 (2006), 422–432
  20. P. Jahnke, I. Radloff, “Terminal Fano threefolds and their smoothings”, Math. Z., 269:3-4 (2011), 1129–1136
  21. Y. Kawamata, “Crepant blowing-up of $3$-dimensional canonical singularities and its application to degenerations of surfaces”, Ann. of Math. (2), 127:1 (1988), 93–163
  22. S. L. Kleiman, “The Picard scheme”, Fundamental algebraic geometry, Math. Surveys Monogr., 123, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2005, 235–321
  23. S. Kobayashi, T. Ochiai, “Characterizations of complex projective spaces and hyperquadrics”, J. Math. Kyoto Univ., 13 (1973), 31–47
  24. J. Kollar, “Flops”, Nagoya Math. J., 113 (1989), 15–36
  25. J. Kollar, S. Mori, Birational geometry of algebraic varieties, With the collaboration of C. H. Clemens and A. Corti, transl. from the 1998 Japan. original, Cambridge Tracts in Math., 134, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1998
  26. А. Г. Кузнецов, “О линейных сечениях спинорного 10-мерного многообразия. I”, Изв. РАН. Сер. матем., 82:4 (2018), 53–114
  27. A. Kuznetsov, “Küchle fivefolds of type c5”, Math. Z., 284:3-4 (2016), 1245–1278
  28. A. Kuznetsov, A. Perry, “Derived categories of Gushel–Mukai varieties”, Compos. Math., 154:7 (2018), 1362–1406
  29. A. G. Kuznetsov, Yu. G. Prokhorov, “On higher-dimensional del Pezzo varieties”, Изв. РАН. Сер. матем., 87:3 (2023), 75–148
  30. A. Kuznetsov, Yu. Prokhorov, “Rationality of Mukai varieties over non-closed fields”, Rationality of varieties, Progr. Math., 342, Birkhäuser/Springer, Cham, 2021, 249–290
  31. A. G. Kuznetsov, Yu. G. Prokhorov, C. A. Shramov, “Hilbert schemes of lines and conics and automorphism groups of Fano threefolds”, Jpn. J. Math., 13:1 (2018), 109–185
  32. A. Kuznetsov, E. Shinder, “Derived categories of Fano threefolds and degenerations”, Invent. math., 239 (2025), 377–430
  33. S. Mori, “On a generalization of complete intersections”, J. Math. Kyoto Univ., 15:3 (1975), 619–646
  34. S. Mori, “Threefolds whose canonical bundles are not numerically effective”, Ann. of Math. (2), 116:1 (1982), 133–176
  35. S. Mori, S. Mukai, “Classifications of Fano $3$-folds with $B_2ge 2$. I”, Algebraic and topological theories (Kinosaki, 1984), Kinokuniya Co. Ltd., Tokyo, 1986, 496–545
  36. S. Mori, S. Mukai, “On Fano $3$-folds with $B_2geqslant 2$”, Algebraic varieties and analytic varieties, Tokyo, 1981, Adv. Stud. Pure Math., 1, North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1983, 101–129
  37. S. Mori, S. Mukai, “Classification of Fano 3-folds with $B_2geqslant 2$”, Manuscripta Math., 36:2 (1981/82), 147–162
  38. S. Mukai, “Fano $3$-folds”, Complex projective geometry (Trieste, 1989/Bergen, 1989), London Math. Soc. Lecture Note Ser., 179, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1992, 255–263
  39. S. Mukai, “Curves and symmetric spaces. III: BN-special vs. 1-PS degeneration”, Proc. Indian Acad. Sci. Math. Sci., 132:2 (2022), 57, 9 pp.
  40. M. Nagata, “On rational surfaces. I. Irreducible curves of arithmetic genus $0$ or $1$”, Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto Ser. A Math., 32:3 (1960), 351–370
  41. Y. Namikawa, “Smoothing Fano $3$-folds”, J. Algebraic Geom., 6:2 (1997), 307–324
  42. G. Ottaviani, “Spinor bundles on quadrics”, Trans. Amer. Math. Soc., 307:1 (1988), 301–316
  43. S. A. Papadakis, M. Reid, “Kustin–Miller unprojection without complexes”, J. Algebraic Geom., 13:3 (2004), 563–577
  44. Ю. Г. Прохоров, “O трехмерных $G$-многообразиях Фано”, Изв. РАН. Сер. матем., 79:4 (2015), 159–174
  45. Ю. Г. Прохоров, “Особые многообразия Фано рода 12”, Матем. сб., 207:7 (2016), 101–130
  46. Ю. Г. Прохоров, “О числе особых точек трехмерных терминальных факториальных многообразий Фано”, Матем. заметки, 101:6 (2017), 949–954
  47. Ю. Г. Прохоров, “Рациональность трехмерных многообразий Фано с терминальными горенштейновыми особенностями. I”, Алгебра, теория чисел и алгебраическая геометрия, Сборник статей. Посвящается памяти академика Игоря Ростиславовича Шафаревича, Труды МИАН, 307, МИАН, М., 2019, 230–253
  48. Yu. Prokhorov, “Rationality of Fano threefolds with terminal Gorenstein singularities. II”, Rend. Circ. Mat. Palermo (2), 72:3 (2022), 1797–1821
  49. В. В. Пржиялковский, И. А. Чельцов, К. А. Шрамов, “Гиперэллиптические и тригональные трехмерные многообразия Фано”, Изв. РАН. Сер. матем., 69:2 (2005), 145–204
  50. S. Rams, “Defect and Hodge numbers of hypersurfaces”, Adv. Geom., 8:2 (2008), 257–288
  51. M. Reid, “Canonical 3-folds”, Journees de geometrie algebrique (Angers, 1979), Sijthoff & Noordhoff, Alphen aan den Rijn–Germantown, Md., 1980, 273–310
  52. M. Reid, “Minimal models of canonical $3$-folds”, Algebraic varieties and analytic varieties (Tokyo, 1981), Adv. Stud. Pure Math., 1, North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1983, 131–180
  53. M. Reid, “Nonnormal del Pezzo surfaces”, Publ. Res. Inst. Math. Sci., 30:5 (1994), 695–727
  54. B. Saint-Donat, “Projective models of $K-3$ surfaces”, Amer. J. Math., 96:4 (1974), 602–639
  55. Kil-Ho Shin, “$3$-dimensional Fano varieties with canonical singularities”, Tokyo J. Math., 12:2 (1989), 375–385
  56. The Stacks project authors, The stacks project
  57. K. Takeuchi, “Weak Fano threefolds with del Pezzo fibration”, Eur. J. Math., 8:3 (2022), 1225–1290
  58. K. Yasutake, “On the classification of rank 2 almost Fano bundles on projective space”, Adv. Geom., 12:2 (2012), 353–363

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Kuznetsov A.G., Prokhorov Y.G.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».