Открытый доступ
Доступ предоставлен
Только для подписчиков
Том 213, № 9 (2022)
- Год: 2022
- Статей: 5
- URL: https://bakhtiniada.ru/0368-8666/issue/view/7493
О совпадении функций множества в квазиконформном анализе
Аннотация
Известно, что отображения квазиконформного анализа можно определить несколькими эквивалентнымиспособами: 1) как гомеоморфизмы, которые индуцируют ограниченные операторы композиции пространств Соболева; 2) как гомеоморфизмы класса Соболева с конечными искажениями, для которых операторная функция искажения суммируема; 3) как гомеоморфизмы, которые изменяют контролируемым способом емкость образа конденсатора через весовую емкость конденсатора в прообразе; 4) как гомеоморфизмы, которые изменяют контролируемым способом модуль образа семейства кривых через весовой модуль семейства кривых в прообразе. С каждым из этих определений ассоциируется некоторая функция множества, определенная на открытых подмножествах. Основной результат работы состоит в доказательстве совпадения всех этих функций множества.Библиография: 48 названий.
Математический сборник. 2022;213(9):3-33
3-33
Интегрируемые биллиарды на гиперболоиде Минковского: экстремальные многочлены и топология
Аннотация
Рассматриваются биллиардные системы в компактных областях, ограниченных софокусными квадриками, на однополостном гиперболоиде в пространстве Минковского. Для таких биллиардов находятся условия эллиптической периодичности. Топология этих биллиардных систем описывается в терминах инвариантов Фоменко, после чего условия периодичности формулируются в терминах функциональных уравнений Пелля и экстремальных многочленов, возникающих в этой связи. Для нескольких примеров мы проводим вычисления в терминах эллиптических функций и классических многочленов Чебышёва и Золотарёва, являющихся экстремальными многочленами на отрезке или паре отрезков. Полученные результаты сопоставляются со случаем биллиардов на евклидовой плоскости и плоскости Минковского.Посвящается Р. Бакстеру в связи с 80-летием со дня его рождения.Библиография: 51 название.
Математический сборник. 2022;213(9):34-69
34-69
Распределение последовательностей Коробова–Главки
Аннотация
Пусть $N$ – натуральное число и $a_1, …, a_s$ – целые числа.Н. М. Коробов (1959 г.) и Е. Главка (1962 г.) предложили использовать точки вида$$x^{(k)}=(\{\frac{a_1 k}N\}, …, \{\frac{a_1 k}N\}),\qquad k=1,…, N,$$в качестве узлов многомерных квадратурных формул. Мы получаем некоторые новые результаты, связанные с распределением последовательности $K_N(a)=\{x^{(1)},…, x^{(N)}\}$. В частности, мы доказываем, что$$\frac{\ln^{s-1} N}{N \ln\ln N} \underset{s}\ll D(K_N(a)) \underset{s}\ll \frac{\ln^{s-1} N}{N} \ln\ln N$$для “почти всех” $a\in (\mathbb Z_N^*)^s$, где $D(K_N(a))$ – отклонение последовательности $K_N(a)$ от равномерного распределения, а $\mathbb Z^*_N$ – приведенная система вычетов по модулю $N$.Библиография: 18 названий.
Математический сборник. 2022;213(9):70-96
70-96
Оценки Соломяка для оператора Бирмана–Швингера
Аннотация
Рассматриваются оценки Цвикеля для оператора $(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}M_f(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}$ на торе $\mathbb{T}^d$ для идеала $\mathcal{L}_{1,\infty}$ в случае, когда $f$ принадлежит пространству Орлича $L\log L(\mathbb{T}^d)$. Эти оценки получены М. З. Соломяком в 1995 г. для четных размерностей; мы распространяем их на случай нечетных размерностей. Показывается, что этот результат не продолжается на случай лапласианов на $\mathbb{R}^d$ не только для пространств Орлича на $\mathbb{R}^d$, но также для любых симметричных функциональных пространств на $\mathbb{R}^d$. Несмотря на это мы получаем новый положительный результат для симметризованных в стиле Соломяка оценок для лапласианов на $\mathbb{R}^d$, когда $d$ — произвольное натуральное число и функция $f$ берется из $L\log L(\mathbb{R}^d)$. Этот последний результат показывает конформную инвариантность оценок Соломяка.Библиография: 44 названия.
Математический сборник. 2022;213(9):97-137
97-137
Собственные циклические симметрии многомерных цепных дробей
Аннотация
Работа посвящена доказательству утверждения о существовании в произвольной размерности палиндромичных цепных дробей. Кроме того, доказывается критерий наличия у алгебраической цепной дроби собственной циклической палиндромической симметрии в случае $n=4$. В качестве многомерного обобщения цепных дробей рассматриваются полиэдры Клейна.Библиография: 11 названий.
Математический сборник. 2022;213(9):138-166
138-166