Hierarchical models in discrete percolation theory and Markov branching processes

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

A brief introduction to percolation theory is given. Within the framework of the discrete percolation theory on infinite graphs, we develop a method for approximating the percolation probability based on the construction of a sequence of infinite graphs of a special type called the hierarchical graphs. The calculation of the percolation probability for graphs of this type is reduced to the analysis of a suitable Markov branching process with discrete time.

About the authors

Yurii P. Virchenko

V. G. Shukhov Belgorod State Technological University

Author for correspondence.
Email: virch@bsu.edu.ru
Russian Federation, Belgorod

Dmitrii A. Cherkashin

V. G. Shukhov Belgorod State Technological University

Email: dmt.cherkashin@gmail.com
Russian Federation, Belgorod

References

  1. Антонова Е. С., Вирченко Ю. П. Свойство монотонности вероятности перколяции бернуллиевских случайных полей на бесконечных графах// Науч. вед. БелГУ. Сер. Физ. Мат. — 2010. — 11 (82), № 20. — С. 28–61.
  2. Вирченко Ю. П. Перколяция// в кн.: Математическая физика. Энциклопедия. — Российская энциклопедия, 1998.
  3. Вирченко Ю. П. Периодический граф// в кн.: Математическая физика. Энциклопедия. — М.: Российская энциклопедия, 1998.
  4. Вирченко Ю. П., Толмачёва Ю. А. Мажорантные оценки порога перколяции бернуллиевского поля на квадратной решётке// Укр. мат. ж. — 2005. — 57, № 10. — С. 1315–1326.
  5. Вирченко Ю. П., Шпилинская О. Л. Точечные случайные поля с марковскими измельчениями и геометрия фрактально неупорядоченных сред// Теор. мат. физ. — 2000. — 124, № 3. — С. 490–505.
  6. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1976.
  7. Меньшиков М. В., Молчанов С. А., Сидоренко А. Ф. Теория перколяции и некоторые приложения// в кн.: Итоги науки и техники. Теория вероятностей, математическая статистика и теоретическая кибернетика. Т. 2. — М.: ВИНИТИ, 1986. — С. 53–110.
  8. Молчанов С. А., Степанов А. К. Просачивание случайных полей, I// Теор. мат. физ. — 1983. — 55, № 2. — С. 246–256.
  9. Молчанов С. А., Степанов А. К. Просачивание случайных полей, II// Теор. мат. физ. — 1983. — 55, № 3. — С. 419–430.
  10. Молчанов С. А., Степанов А. К. Просачивание случайных полей, III// Теор. мат. физ. — 1985. — 65, № 3. — С. 371–379.
  11. Севастьянов Б. А. Ветвящиеся процессы. — М.: Наука, 1971.
  12. Синай Я. Г. Теория фазовых переходов. Строгие результаты. — М.: Наука, 1980.
  13. Тарасевич Ю. Ю. Перколяция: теория, приложения, алгоритмы. — М.: Эдиториал УРСС, 2002.
  14. Черкашин Д. А., Вирченко Ю. П. Иерархические решеточные модели теории перколяции// в кн.: Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения–XXXV (Кондаурова Д. Э., ред.). — Воронеж: Изд. дом ВГУ, 2024. — С. 364–366.
  15. Antonova E. S., Virchenko Yu. P. Monotonicity of the probability of percolation for Bernoulli random fields on periodic graphs// J. Math. Sci. — 2011. — 175, № 1. — P. 86–90.
  16. Barucha-Reid A. T. Elements of the Theory of Markov Processes and Their Applications. — New York: Mc Grow-Hill, 1960.
  17. Broadbent S. R., Hammersley J. M. Percolation processes, I. Crystals and mazes// Proc. Cambridge Phil. Soc. — 1957. — 53. — P. 629–641.
  18. Essam J. W. Percolation Theory// Rep. Prog. Phys. — 1986. — 43. — P. 833–912.
  19. Frisch C. M., Hammersley J. M. Percolation processes and related topics// J. SIAM. — 1963. — 11. — P. 894–918.
  20. Grimmett G. Percolation. — New York: Springer-Verlag, 1999.
  21. Hammersley J. M. Percolation processes: lower bounds for the critical probability// Ann. Math. Stat. — 1957. — 28, № 3. — P. 790–795.
  22. Kesten H. Percolation Theory for Mathematicians. — Boston: Birkhäuser, 1982.
  23. Nummelin E. General Irreducible Markov Chains and Non-negative Operators. — New York: Cambridge Univ. Press, 1984.
  24. Ruelle D. Statistical Mechanics. Rigorous Results. — Benjamin, 1969.
  25. Simon R. The P (φ) 2 Euclidian (Quantum) Field Theory. — Princeton, New Jersey: Princeton Univ. Press, 1974.
  26. Virchenko Yu. P., Shpilinskaya O. L. Spaces of random sets in ℝ d // Lobachevsky Math. J. — 2023. — 44, № 3. — P. 1043–1059.
  27. Virchenko Yu. P., Tolmacheva Yu. A. Method of Sequential Approximative Estimates in Discrete Percolation Theory// in: Studies in Mathematical Physics Research (Benton C. V., ed.). — New York: Nova Science, 2004. — P. 155–175.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 Virchenko Y.P., Cherkashin D.A.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».