Том 24, № 126 (2019)
Статьи
Существование обратной функции в окрестности нерегулярного значения
Аннотация
Классические теоремы об обратной функции гарантируют существование обратной функции в окрестности значения заданной точки, если в этой точке выполняется условие регулярности, т. е. первая производная в ней невырождена. Более общим условием существования неявной функции является условие 2-регулярности. Оно выполняется, например, для многих квадратичных отображений в нуле. Известно, что при естественных предположениях гладкости из 2-регулярности отображения в точке по некоторому направлению вытекает существование непрерывной обратной функции. В этой работе показано, что в известных утверждениях о существовании обратной функции при выполнении условия 2-регулярности предположения гладкости можно ослабить. При этом обратная функция может не быть непрерывной.
Вестник российских университетов. Математика. 2019;24(126):141-149
141-149
Гибридная глобализация сходимости метода последовательного квадратичного программирования, стабилизированного вдоль подпространства
Аннотация
Локальная сверхлинейная сходимость стабилизированного метода последовательного квадратичного программирования устанавливается при очень слабых предположениях, не включающих в себя никакие условия регулярности ограничений. Однако, все попытки глобализации сходимости этого метода неминуемо сталкиваются с принципиальными трудностями, связанными с поведением этого метода при относительной удаленности текущей итерации от решений. А именно, стабилизированный метод последовательного квадратичного программирования имеет тенденцию генерировать длинные последовательности коротких шагов перед тем, как проявляется его сверхлинейная сходимость. В связи с этим был предложен метод последовательного квадратичного программирования, стабилизированный вдоль подпространства, обладающий лучшим «полулокальным» поведением, а значит, лучше приспособленный для разработки на его основе практических алгоритмов. В данной работе предлагаются два способа гибридной глобализации сходимости этого метода: алгоритм с возвратами и алгоритм с рекордами. Приводятся теоретические результаты о глобальной сходимости и скорости сходимости данных алгоритмов, а также результаты сравнительного численного тестирования.
Вестник российских университетов. Математика. 2019;24(126):150-165
150-165
Процедурная интерпретация алгоритмов символьного интегрирования в системе MathPartner
Аннотация
Работа посвящена разработке библиотеки процедур для системы компьютерной алгебры MathPartner. Разрабатывается программная реализация алгоритмов символьного интегрирования. Решение задачи символьного интегрирования разбивается на три этапа. На первом этапе подынтегральное выражение приводится к виду, необходимому для применения алгоритма Риша. Приведено описание соответствующих процедур, которые сводят подынтегральную функцию к выражению, содержащему конечный набор арифметических операций и композиций логарифмических функций и экспонент, а также формируют набор регулярных мономов. На втором этапе осуществляется интегрирование дробной части подынтегрального выражения. Дано описание процедур, позволяющих привести дробную часть к виду, необходимому для применения алгоритма интегрирования. На третьем этапе проводится интегрирование полиномиальной части подынтегрального выражения. Получены процедуры, позволяющие в зависимости от вида подынтегрального выражения применить соответствующие алгоритмы интегрирования. В приложении приводится описание команд языка пользователя системы MathPartner, которые предназначены для вычисления интегралов в символьном виде.
Вестник российских университетов. Математика. 2019;24(126):166-178
166-178
Целочисленные треугольники, уравнение Пелля и многочлены Чебышева
Аннотация
В настоящей работе мы рассматриваем некоторые виды целочисленных треугольников: «почти равносторонние», прямоугольные «почти равнобедренные», прямоугольные «с углом почти в 30 градусов». Их описание сводится к уравнению Пелля. Изложение теории уравнения Пелля основывается на «итерационной матрице». Ее степени выражаются через многочлены Чебышева.
Вестник российских университетов. Математика. 2019;24(126):179-186
179-186
Метод гармонического баланса для отыскания приближённых периодических решений системы Лоренца
Аннотация
Рассматривается метод гармонического баланса для нахождения приближённых периодических решений динамической системы Лоренца. При разработке программного обеспечения, реализующего описываемый метод, был выбран математический пакет Maxima. Показаны недостатки символьных вычислений для получения системы нелинейных алгебраических уравнений относительно циклической частоты, постоянных членов и амплитуд гармоник, составляющих искомое решение. Для ускорения расчётов впервые эта система была получена в общем виде. Приведены результаты вычислительного эксперимента - коэффициенты тригонометрических полиномов, приближающих найденное периодическое решение, начальное условие и период цикла. Полученные результаты были проверены с помощью описанного ранее в работах авторов высокоточного метода интегрирования, основанного на аппроксимации степенными рядами.
Вестник российских университетов. Математика. 2019;24(126):187-203
187-203
Перечисление проективно конгруэнтных симметричных матриц
Аннотация
Исследуются проективные пространства над локальным кольцом R = 2R с главным максимальным идеалом J ; 1 + J ⊆ R*2 : Квадратичные формы и соответствующие им симметричные матрицы A и B проективно конгруэнтны, если существуют k ∈ R* и U ∈ GL(n;R) такие, что kA = UBU T . В случае k = 1 квадратичные формы (соответственно, симметричные матрицы) называем конгруэнтными. Решение задачи перечисления конгруэнтных и проективно конгруэнтных классов квадратичных форм основано на выявлении (единственного) нормального вида соответствующих им симметричных матриц и тесно связана с теорией схем квадратичных форм. Над локальным кольцом R ; удовлетворяющим условиям R* = R*2 ={1;-1; p;-p} и D(1; 1) = D(1; p) = {1; p}; D(1;-1) = D(1;-p) = {1;-1; p;-p} ; выявлен (единственный) нормальный вид конгруэнтных симметричных матриц. Для случая, когда максимальный идеал является нильпотентным, найдено число классов конгруэнтных и проективно конгруэнтных симметричных матриц.
Вестник российских университетов. Математика. 2019;24(126):204-210
204-210
Об общем решении линейного однородного дифференциального уравнения в банаховом пространстве в случае комплексных характеристических операторов
Аннотация
В банаховом пространстве изучается линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) n -го порядка с постоянными ограниченными операторными коэффициентами. Нахождение общего решения ЛНДУ сводится к построению общего решения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения (ЛОДУ). Характеристическое операторное уравнение для ЛОДУ рассматривается в банаховой алгебре комплексных операторов. В общем случае, когда среди корней характеристического операторного уравнения имеются как действительные, так и комплексные операторные корни, указывается n -параметрическое семейство решений ЛОДУ. При построении этого семейства используются операторные функции eAt ; sinBt ; cosBt действительного аргумента t ∈ [0;∞) : Выясняются условия, при которых данное семейство решений является общим решением ЛОДУ. В случае, когда характеристическое операторное уравнение имеет простые действительные операторные корни и простые чисто мнимые операторные корни, указан конкретный вид таких условий. В частности, эти корни должны коммутировать с операторными коэффициентами ЛОДУ. Кроме того, они должны коммутировать между собой. При доказательстве соответствующего утверждения применяется операторно-векторное правило Крамера решения систем линейных векторных уравнений в банаховом пространстве.
Вестник российских университетов. Математика. 2019;24(126):211-217
211-217
Класс сильно устойчивой аппроксимации неограниченных операторов
Аннотация
С использованием метода обобщенного спектра получены новые достаточные условия решения проблемы спектрального загрязнения. Эта проблема, возникающая в спектральном приближении, вызвана тем, что приближенная матрица может иметь собственные значения, которые не связаны с какими-либо спектральными свойствами исходного неограниченного оператора. Мы разрабатываем теоретические основы метода обобщенного спектра, а также иллюстрируем его эффективность при наличии спектрального загрязнения. В качестве численного приложения рассматривается оператор Шрёдингера, а процесс дискретизации этого оператора основывается на проекции Канторовича.
Вестник российских университетов. Математика. 2019;24(126):218-234
218-234