The harmonic balance method for finding approximate periodic solutions of the Lorenz system

Full Text

Введение Рассмотрим нелинейную систему дифференциальных уравнений, введјнную Э. Ло- ренцом в работе [1], 8>>< >>: x_ 1 = (x2 x1); x_ 2 = rx1 x2 x1x3; x_ 3 = x1x2 bx3; (0.1) где = 10 , r = 28 , b = 8=3 (эти значения параметров системы (0.1) теперь называют классическими, а саму систему системой Лоренца). В статье [1] для системы Лоренца с классическими параметрами доказано следую- щее утверждение: существует такое C > 0; что для любого решения X(t) = [x1(t) x2(t) x3(t)]T начиная с некоторого момента времени становится справедливым неравенство jX(t)jC; и дивергения векторного поля скоростей системы (0.1) отрицательна всюду в R3: То- гда [1] существует предельное множество аттрактор Лоренца, к которому притяги- ваются все траектории динамической системы при t ! 1: Таким образом, аттрактор определяет поведение решений динамической системы на больших отрезках времени. МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОГО БАЛАНСА ДЛЯ СИСТЕМЫ ЛОРЕНЦА 189 У. Такер в работе [2] доказал гиперболичность аттрактора в системе (0.1), т. е. ат- трактор состоит из траекторий, всюду плотных на нјм (континуум седловых циклов), вдоль которых близкие траектории экспоненциально разбегаются; это и создает их хао- тическое поведение. Тогда (как отмечает Д.В. Аносов в послесловии к книге [3, с. 285]) в аттракторе системы (0.1) может существовать бесконечное число асимптоти- чески устойчивых периодических траекторий, но их область притяжения может быть достаточно малой (трудно улавливаемой в численном эксперименте). Как известно (см., например, [4, 5]), символическую динамику используют для от- слеживания циклов в системе Лоренца. Разбивают область в фазовом пространстве, содержащую аттрактор, на конечное число подобластей. Обозначая каждый элемент разбиения буквой, траектории на аттракторе, проходящие через соответствующие об- ласти, кодируются последовательностями таких символов. Если в последовательности имеется регулярность повторяемость групп символов, то соответствующая траек- тория считается циклом. Однако возвращаемость траектории в некоторую окрестность своей части не говорит о еј замкнутости. Критику результатов подобных вычислитель- ных экспериментов можно найти, например, в [6]. В 2004 г. Д. Вишванат опубликовал работу [7], в которой привел начальные условия и периоды для трјх циклов в аттракторе Лоренца с достаточно большой точностью. Алго- ритм вычислений основан на методе Линдштедта-Пуанкаре (ЛП), на который (в отли- чие от методов численного интегрирования) не влияет устойчивость цикла, к которому строятся приближения. Полученные в [7] вычислительные данные можно проверить, решая задачу Коши высокоточными численными методами (см, например, [9]). Анализ работ [7, 8] Д. Вишваната показал, что автор приводит общее описание алго- ритма без ссылок на программную реализацию (в MATLAB, как указано в его статьях). При этом не ясно, как для ЛП-метода символьно решается получаемая неоднородная линейная система дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами (например, для уравнения Ван дер Поля это сделать можно без особых проблем). Та- ким образом, актуальной задачей остајтся разработка алгоритма поиска циклов систе- мы (0.1), детальное описание его реализации, получение начальных значений и периода цикла с заданной точностью. Целью данной работы является отыскание приближјнных периодических решений в системе Лоренца на основе метода гармонического баланса, являющегося более про- стым в реализации, чем ЛП-метод, используемый в [7, 8]. При этом будет получена в общем виде система нелинейных алгебраических уравнений относительно циклической частоты, постоянных членов и амплитуд гармоник, составляющих искомое решение. 1. Метод гармонического баланса Попытки построить приближјнные периодические решения системы (0.1) предпри- нимались и до Д. Вишваната (см., например, [10]) методом гармонического баланса, но с малой точностью представления вещественных чисел, при этом в статье [10] не указаны начальные условия и периоды найденных циклов (приведены только рисунки с цикла- 190 А. Н. Пчелинцев, А. А. Полуновский, И.Ю. Юханова ми). Сейчас этот метод активно развивается в работах А. Луо [11-13] для отыскания периодических решений нелинейных систем дифференциальных уравнений. Будем использовать метод гармонического баланса для получения приближений к периодическим решениям системы (0.1). Для этого сделаем аппроксимацию фазовых координат на периоде T тригонометрическими полиномами в общем виде с неизвестной циклической частотой ! (поскольку мы не знаем значение T ; в общем случае оно может быть иррациональным числом): x1(t) ~x1(t) = x1;0 + Xh i=1 (c1;i cos(i!t) + s1;i sin(i!t)) ; x2(t) ~x2(t) = x2;0 + Xh i=1 (c2;i cos(i!t) + s2;i sin(i!t)) ; x3(t) ~x3(t) = x3;0 + Xh i=1 (c3;i cos(i!t) + s3;i sin(i!t)) ; где h заданное количество гармоник. Если i > h , то мы полагаем c1;i = s1;i = c2;i = s2;i = c3;i = s3;i = 0: (1.2) В силу правой части системы (0.1) составим невязки 1(t) = ~x0 1(t) [~x2(t) ~x1(t)]; 2(t) = ~x0 2(t) [r~x1(t) ~x2(t) ~x1(t)~x3(t)]; 3(t) = ~x0 3(t) [~x1(t)~x2(t) b~x3(t)]; где штрихом переобозначена производная функции по времени. Если производить вы- числения в аналитическом виде, то для каждой невязки нужно следующее: 1. Продифференцировать по времени соответствующий тригонометрический поли- ном. 2. Где имеются произведения фазовых координат, перемножить соответствующие тригонометрические полиномы, преобразовав при этом произведения тригономет- рических функций в суммы. 3. Привести подобные слагаемые для каждой функции cos() и sin() с соответству- ющим аргументом. 4. В силу равенств (1.2), отсечь от полученной невязки гармоники более высокого порядка. 5. Приравнять полученную невязку к нулю, т. е. коэффициенты при еј гармониках. Если собрать в единое целое найденные алгебраические уравнения для каждой невязки, то получим пока ещј незамкнутую систему нелинейных уравнений относи- тельно неизвестных амплитуд c1;i , s1;i , c2;i , s2;i , c3;i и s3;i ( i = 1; h ), постоянных МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОГО БАЛАНСА ДЛЯ СИСТЕМЫ ЛОРЕНЦА 191 членов x1;0 , x2;0 и x3;0 и циклической частоты ! . Количество неизвестных в системе равно 3(1 + 2h) + 1 = 6h + 4 , а уравнений на единицу меньше. Дополнительное уравнение можно получить исходя из следующих соображений. Из- вестно (см. [5, 7]), что искомые циклы пересекают плоскость, проходящую через поло- жения равновесия системы (0.1) O1 p b(r 1); p b(r 1); r 1 ; O2 p b(r 1); p b(r 1); r 1 (1.3) и параллельную плоскости x1Ox2 (сечение Пуанкаре). Таким образом, третья коорди- ната в начальном условии для искомых циклов равна величине r 1 , откуда ~x3(0) = r 1: Тогда дополнительное уравнение системы имеет вид: x3;0 + Xh i=1 c3;i 27 = 0: Других дополнительных сведений о периодических решениях системы Лоренца авторы не встречали. Заметим, что для трјх циклов, найденных Д. Вишванатом, в начальном условии для третьей координаты было взято число 27. Далее приведем пример системы уравнений при h = 2 : 8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>< >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>: !s1;1 10c2;1 + 10c1;1 = 0; 10s2;1 + 10s1;1 c1;1! = 0; 2!s1;2 10c2;2 + 10c1;2 = 0; 10s2;2 + 10s1;2 2c1;2! = 0; 10x1;0 10x2;0 = 0; c1;1x3;0 + c3;1x1;0 + s1;1s3;2 2 + s1;2s3;1 2 + !s2;1 + c1;1c3;2 2 + c1;2c3;1 2 + c2;1 28c1;1 = 0; s1;1x3;0 + s3;1x1;0 + c1;1s3;2 2 c1;2s3;1 2 + s2;1 + c3;1s1;2 2 c3;2s1;1 2 28s1;1 c2;1! = 0; c1;2x3;0 + c3;2x1;0 s1;1s3;1 2 + 2!s2;2 + c1;1c3;1 2 + c2;2 28c1;2 = 0; s1;2x3;0 + s3;2x1;0 + c1;1s3;1 2 + s2;2 28s1;2 + c3;1s1;1 2 2c2;2! = 0; x1;0x3;0 + x2;0 28x1;0 + s1;2s3;2 2 + s1;1s3;1 2 + c1;2c3;2 2 + c1;1c3;1 2 = 0; c1;1x2;0 c2;1x1;0 + !s3;1 s1;1s2;2 2 s1;2s2;1 2 + 8c3;1 3 c1;1c2;2 2 c1;2c2;1 2 = 0; s1;1x2;0 s2;1x1;0 + 8s3;1 3 c1;1s2;2 2 + c1;2s2;1 2 c2;1s1;2 2 + c2;2s1;1 2 c3;1! = 0; c1;2x2;0 c2;2x1;0 + 2!s3;2 + s1;1s2;1 2 + 8c3;2 3 c1;1c2;1 2 = 0; s1;2x2;0 s2;2x1;0 + 8s3;2 3 c1;1s2;1 2 c2;1s1;1 2 2c3;2! = 0; 8x3;0 3 x1;0x2;0 s1;2s2;2 2 s1;1s2;1 2 c1;2c2;2 2 c1;1c2;1 2 = 0; x3;0 + c3;1 + c3;2 27 = 0: 192 А. Н. Пчелинцев, А. А. Полуновский, И.Ю. Юханова Отметим, что для любого h подобная система имеет решения x1;0 = x2;0 = p b(r 1); x3;0 = r 1; ck;i = 0; sk;i = 0; ! любое число; k = 1; 3; i = 1; h; соответствующие указанным положениям равновесия (1.3). Таким образом, полученная нелинейная система алгебраических уравнений имеет неединственное решение. Для отыскания еј приближјнных решений будем использо- вать численный метод Ньютона, сходимость которого к нужному решению (т. е. отлич- ному от положения равновесия) зависит от выбора начального приближения. 2. Символьные вычисления для получения системы алгебраических уравнений Итак, для получения приближения к периодическому решению мы должны полу- чить нелинейную систему относительно неизвестных коэффициентов разложения и ча- стоты. Как показано в п. 1, даже для двух гармоник система имеет громоздкий вид. Поэтому рассмотрим алгоритм проведения символьных вычислений для еј получения. При разработке программного обеспечения был выбран математический пакет Maxima. Программа получения амплитуд и постоянных членов невязок при h = 2 представ- лена далее. /* [wxMaxima batch file version 1] [ DO NOT EDIT BY HAND! ]*/ /* [wxMaxima: input start ] */ display2d:false$ x1:x10+c1c1*cos(1*omega*t)+s1c1*sin(1*omega*t)+ c1c2*cos(2*omega*t)+s1c2*sin(2*omega*t)$ x2:x20+c2c1*cos(1*omega*t)+s2c1*sin(1*omega*t)+ c2c2*cos(2*omega*t)+s2c2*sin(2*omega*t)$ x3:x30+c3c1*cos(1*omega*t)+s3c1*sin(1*omega*t)+ c3c2*cos(2*omega*t)+s3c2*sin(2*omega*t)$ assume(omega > 0)$ delta1:trigreduce(diff(x1,t)-(10*(x2-x1)),t)$ delta2:trigreduce(diff(x2,t)-(28*x1-x2-x1*x3),t)$ delta3:trigreduce(diff(x3,t)-(x1*x2-8/3*x3),t)$ expand(diff(delta1,cos(1*omega*t))); expand(diff(delta1,sin(1*omega*t))); expand(diff(delta1,cos(2*omega*t))); expand(diff(delta1,sin(2*omega*t))); expand(integrate(delta1,t,0,2*%pi/omega)*omega/(2*%pi)); expand(diff(delta2,cos(1*omega*t))); expand(diff(delta2,sin(1*omega*t))); expand(diff(delta2,cos(2*omega*t))); МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОГО БАЛАНСА ДЛЯ СИСТЕМЫ ЛОРЕНЦА 193 expand(diff(delta2,sin(2*omega*t))); expand(integrate(delta2,t,0,2*%pi/omega)*omega/(2*%pi)); expand(diff(delta3,cos(1*omega*t))); expand(diff(delta3,sin(1*omega*t))); expand(diff(delta3,cos(2*omega*t))); expand(diff(delta3,sin(2*omega*t))); expand(integrate(delta3,t,0,2*%pi/omega)*omega/(2*%pi)); /* [wxMaxima: input end ] */ Выражение display2d:false$ выключает многострочное рисование дробей, степеней и т. п. Знак $ позволяет вычислить результат выражения, но не выводить на экран (вме- сто ;). Функция trigreduce(выражение,t) свјртывает все произведения тригонометри- ческих функций относительно переменной t в комбинации сумм. Дифференцирование невязок по гармоническим функциям необходимо для получения соответствующих ам- плитуд. Функция expand(выражение) раскрывает скобки (выполняет умножение, воз- ведение в степень, приводит подобные слагаемые). Для нахождения постоянных членов невязок применяется интегрирование на пери- оде, т. е. постоянный член k -ой невязки равен ! Z 2 ! 0 k(t)dt 2 : Чтобы при символьном интегрировании пакет не задавал вопрос о знаке частоты, дается команда assume(omega > 0)$. Файл с командами пакета формируется аналогично для любого количества h гар- моник. После выполнения данной программы пакет выведет в консоли символьные вы- ражения для левой части системы алгебраических уравнений, которая будет решаться в нјм же методом Ньютона. Заметим, что самая затратная по времени операция здесь символьное интегри- рование. Например, для 120 гармоник время формирования системы более 2-х су- ток. Здесь можно распараллелить вычислительный процесс на три компьютера, но это значительного эффекта не даст. Поэтому систему алгебраических уравнений нужно формировать сразу. Далее получим общий вид этой системы. Отметим, что при решении системы нелинейных уравнений методом Ньютона мат- рица Якоби для левой части системы не обращается в пакете Maxima используется LU-разложение для решения системы линейных уравнений на каждой итерации метода. 3. Общий вид системы алгебраических уравнений Поскольку правая часть системы (0.1) содержит нелинейности в виде произведений фазовых координат, получим соотношения, выражающие коэффициенты тригономет- рических полиномов, получаемых при умножении приближений ~x1(t)~x3(t) и ~x1(t)~x2(t): 194 А. Н. Пчелинцев, А. А. Полуновский, И.Ю. Юханова Рассмотрим две функции f(t) и F(t) , представимые рядами Фурье f(t) = a0 + X1 i=1 (ai cos(i!t) + bi sin(i!t)) ; F(t) = A0 + X1 i=1 (Ai cos(i!t) + Bi sin(i!t)) : Пусть f(t)F(t) = 0 + X1 i=1 (i cos(i!t) + i sin(i!t)) : Следуя книге [14, с. 123-125], имеем следующие соотношения: 0 = a0A0 + 1 2 X1 m=1 (amAm + bmBm) ; i = a0Ai + 1 2 X1 m=1 (am(Am+i + Am i) + bm(Bm+i + Bm i)) ; (3.4) i = a0Bi + 1 2 X1 m=1 (am(Bm+i Bm i) bm(Am+i Am i)) : (3.5) Будем предполагать, что при i > h ai = bi = Ai = Bi = 0: Поскольку для нашей задачи мы ищем приближение до h -ой гармоники включительно, занулим все амплитуды в произведении при i > h , т. е. i = i = 0: Таким образом, мы перейдем от произведения рядов к произведению тригонометриче- ских полиномов. Также в соотношениях (3.4) и (3.5) мы будем предполагать [14, с. 124], что Am i = Ai m; Bm i = Bi m; B0 = 0: Тогда получим: 0 = a0A0 + 1 2 Xh m=1 (amAm + bmBm) ; МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОГО БАЛАНСА ДЛЯ СИСТЕМЫ ЛОРЕНЦА 195 i = a0Ai + 1 2 X1 m=1 amAm+i + 1 2 X1 m=1 amAm i + 1 2 X1 m=1 bmBm+i + 1 2 X1 m=1 bmBm i = = a0Ai + 1 2 Xh i m=1 amAm+i + 1 2 aiA0 + 1 2 Xi 1 m=1 amAi m + 1 2 Xh m=i+1 amAm i+ + 1 2 Xh m=1 bmBm+i + 1 2 biB0 1 2 Xi 1 m=1 bmBi m + 1 2 Xh m=i+1 bmBm i = = a0Ai + aiA0 + 1 2 Xh i m=1 (amAm+i + bmBm+i) + 1 2 Xi 1 m=1 (amAi m bmBi m)+ + 1 2 Xh m=i+1 (amAm i + bmBm i) ; i = a0Bi + 1 2 X1 m=1 amBm+i 1 2 X1 m=1 amBm i 1 2 X1 m=1 bmAm+i + 1 2 X1 m=1 bmAm i = = a0Bi + 1 2 Xh i m=1 amBm+i + 1 2 Xi 1 m=1 amBi m 1 2 Xh m=i+1 amBm i 1 2 Xh i m=1 bmAm+i + biA0 + 1 2 Xi 1 m=1 bmAi m + 1 2 Xh m=i+1 bmAm i = = a0Bi + biA0 + 1 2 Xh i m=1 (amBm+i bmAm+i) + 1 2 Xi 1 m=1 (amBi m + bmAi m)+ + 1 2 Xh m=i+1 ( amBm i + bmAm i) : Применяя полученные формулы для вычисления произведений тригонометрических полиномов к невязкам, мы можем записать уравнения для i -ых гармоник ( i = 1; h номер гармоники, k = 1; 3 номер невязки): k = 1 : i!s1;i 10c2;i + 10c1;i = 0; i!c1;i 10s2;i + 10s1;i = 0; уравнение, соответствующее постоянному члену для первой невязки, x1;0 x2;0 = 0; 196 А. Н. Пчелинцев, А. А. Полуновский, И.Ю. Юханова k = 2 : i!s2;i 28c1;i + c2;i + x1;0c3;i + c1;ix3;0 + 1 2 Xh i m=1 (c1;mc3;m+i + s1;ms3;m+i)+ + 1 2 Xi 1 m=1 (c1;mc3;i m s1;ms3;i m)+ + 1 2 Xh m=i+1 (c1;mc3;m i + s1;ms3;m i) = 0; i!c2;i 28s1;i + s2;i + x1;0s3;i + s1;ix3;0 + 1 2 Xh i m=1 (c1;ms3;m+i s1;mc3;m+i)+ + 1 2 Xi 1 m=1 (c1;ms3;i m + s1;mc3;i m)+ + 1 2 Xh m=i+1 ( c1;ms3;m i + s1;mc3;m i) = 0; уравнение, соответствующее постоянному члену для второй невязки, 28x1;0 + x2;0 + x1;0x3;0 + 1 2 Xh m=1 (c1;mc3;m + s1;ms3;m) = 0; k = 3 : i!s3;i x1;0c2;i c1;ix2;0 1 2 Xh i m=1 (c1;mc2;m+i + s1;ms2;m+i) 1 2 Xi 1 m=1 (c1;mc2;i m s1;ms2;i m) 1 2 Xh m=i+1 (c1;mc2;m i + s1;ms2;m i) + 8 3 c3;i = 0; i!c3;i x1;0s2;i s1;ix2;0 1 2 Xh i m=1 (c1;ms2;m+i s1;mc2;m+i) 1 2 Xi 1 m=1 (c1;ms2;i m + s1;mc2;i m) 1 2 Xh m=i+1 ( c1;ms2;m i + s1;mc2;m i) + 8 3 s3;i = 0; МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОГО БАЛАНСА ДЛЯ СИСТЕМЫ ЛОРЕНЦА 197 уравнение, соответствующее постоянному члену для третьей невязки, x1;0x2;0 1 2 Xh m=1 (c1;mc2;m + s1;ms2;m) + 8 3 x3;0 = 0; дополнительное уравнение системы x3;0 + Xh i=1 c3;i 27 = 0: 4. Результаты вычислительного эксперимента В результате многочисленных вычислительных экспериментов было подобрано на- чальное приближение для циклической частоты, постоянных членов и амплитуд при h = h1 = 5 : ! = 4; x1;0 = x2;0 = x3;0 = 0; c1;i = 1; i = 1; 5; s1;j = 0; j = 1; 3; 4; 5; s1;2 = 1: Данный результат замечателен тем, что метод Ньютона сходится к решению, от- личному от положений равновесия. Поэтому для улучшения точности приближенно- го периодического решения мы рассматриваем систему алгебраических уравнений для значения h , равного некоторому h2 > h1 . Полученное численное решение системы при h = h1 берјтся как начальное приближение для амплитуд с индексами i h1 у систе- мы с h = h2 , а значения начального приближения для амплитуд с индексами i > h1 полагаются равными нулю. В таблицах 1-3 приведјн результат решения системы при h = 35 , точность метода Ньютона - 10 8 . Значение периода получается равным T = 1:558652210 , начальное условие для полученного приближјнного периодического решения - ~x1(0) = 2:147367631; ~x2(0) = 2:078048211; ~x3(0) = 27: (4.6) Начальные значения (4.6) были проверены на периоде в компьютерной програм- ме, реализующей численное интегрирование системы (0.1) модифицированным методом степенных рядов [9] с точностью оценки общего члена ряда 10 25 , 100 бит под мантис- су вещественного числа и машинным эпсилон 1:57772 10 30 . При таких параметрах метода приближјнные значения фазовых координат, полученные с помощью численно- го интегрирования, были также проверены тем же численным методом, но в обратном времени. Значения в обратном времени совпадают с (4.6) до 9-го знака включительно после точки. Результирующие же значения x1(T) , x2(T) и x3(T) совпадают с (4.6) до 8-го знака включительно. 198 А. Н. Пчелинцев, А. А. Полуновский, И.Ю. Юханова Таблица 1 Амплитуды гармоник для ~x1(t) , x1;0 = 0 i c1;i s1;i 1 5:780478259196228 8:56017654325353 2 0 0 3 3:160762628380509 2:239212141102876 4 0 0 5 0:6958870387616096 0:7979388979225431 6 0 0 7 0:1891992374027477 0:1864921358925765 8 0 0 9 0:04770429623010056 0:04554044367245914 10 0 0 11 0:01112322884679491 0:01209138588669679 12 0 0 13 0:003061207095371694 0:002735092350544739 14 0 0 15 6:744578887916229 10 4 7:748319471034087 10 4 16 0 0 17 1:960718247379475 10 4 1:665584161919807 10 4 18 0 0 19 4:116738805347028 10 5 4:960493476144467 10 5 20 0 0 21 1:254757391175977 10 5 1:018054283421179 10 5 22 0 0 23 2:518375902000733 10 6 3:173486439630506 10 6 24 0 0 25 8:025338211960923 10 7 6:230623750431923 10 7 26 0 0 27 1:541534734542893 10 7 2:0292802821633 10 7 28 0 0 29 5:130649139299358 10 8 3:813725452268523 10 8 30 0 0 31 9:43393531993558 10 9 1:297038481588497 10 8 32 0 0 33 3:278552746800046 10 9 2:333260259021725 10 9 34 0 0 35 5:76957885768651 10 10 8:28626640138045 10 10 МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОГО БАЛАНСА ДЛЯ СИСТЕМЫ ЛОРЕНЦА 199 Таблица 2 Амплитуды гармоник для ~x2(t) , x2;0 = 0 i c2;i s2;i 1 2:32972926505593 10:89038310357172 2 0 0 3 5:86875317198698 1:5832552129833 4 0 0 5 0:9124249133801483 2:200556873678218 6 0 0 7 0:7154457265566421 0:3473932955614448 8 0 0 9 0:1175186702136983 0:2186139734768588 10 0 0 11 0:06473984670858603 0:03723215039412078 12 0 0 13 0:01127208646321726 0:01877739524860192 14 0 0 15 0:005359671824365359 0:003303445299126894 16 0 0 17 9:453499475830811 10 4 0:001510235036151227 18 0 0 19 4:211022386354685 10 4 2:657049331814368 10 4 20 0 0 21 7:363528144366622 10 5 1:164013765469982 10 4 22 0 0 23 3:19419300699788 10 5 2:017609175377016 10 5 24 0 0 25 5:47663534401654 10 6 8:710929378319451 10 6 26 0 0 27 2:362852034076972 10 6 1:474901091428546 10 6 28 0 0 29 3:94532524722541 10 7 6:379296603810031 10 7 30 0 0 31 1:715198229248314 10 7 1:049218598356554 10 7 32 0 0 33 2:776045093375681 10 8 4:59473450493284 10 8 34 0 0 35 1:22681173575872 10 8 7:31171826830086 10 9 200 А. Н. Пчелинцев, А. А. Полуновский, И.Ю. Юханова Таблица 3 Амплитуды гармоник для ~x3(t) , x3;0 = 23:04210397942006 i c3;i s3;i 1 0 0 2 7:568410271550653 9:50386584559212 3 0 0 4 3:555327211552558 1:844710563805469 5 0 0 6 0:4741220131932616 1:279043179069961 7 0 0 8 0:4227292179138024 0:1274574086305204 9 0 0 10 0:03498415351761577 0:1315337800809524 11 0 0 12 0:03934013541135439 0:009645786231708874 13 0 0 14 0:002660052258813564 0:01145537653603837 15 0 0 16 0:003271688724557337 7:33752523103949 10 4 17 0 0 18 2:024982256871223 10 4 9:206266886554897 10 4 19 0 0 20 2:560063570343799 10 4 5:58964460662525 10 5 21 0 0 22 1:542436654918173 10 5 7:050327849098175 10 5 23 0 0 24 1:926014222030195 10 5 4:25261452471065 10 6 25 0 0 26 1:170939944189529 10 6 5:225643926851625 10 6 27 0 0 28 1:409525591131397 10 6 3:21879984959824 10 7 29 0 0 30 8:83134288999026 10 8 3:782652721710986 10 7 31 0 0 32 1:010610960272394 10 7 2:418021923473667 10 8 33 0 0 34 6:606163280924149 10 9 2:689431432873997 10 8 35 0 0 МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОГО БАЛАНСА ДЛЯ СИСТЕМЫ ЛОРЕНЦА 201 Цикл, соответствующий (4.6), показан на рис. 1. Отметим, что найденный цикл совпадает с первым циклом Вишваната в [7], все знаки после точки для величины T также совпадают с данными из работы [7]. -30 -20 -10 0 10 20 30 -30 -20 -10 0 10 20 30 0 5 10 15 20 25 30 35 40 x1 x2 x3 Рис. 1. Цикл, полученный методом гармонического баланса

About the authors

Alexander N. Pchelintsev

Tambov State Technical University

Email: pchelintsev.an@yandex.ru
Candidate of Physics and Mathematics, Head of the Higher Mathematics Department 106 Sovetskaya St., Tambov 392000, Russian Federation

Andrey A. Polunovskiy

Bauman Moscow State Technical University

Email: apap2009@yandex.ru
Student 5 Baumanskaya 2-ya, Moscow 105005, Russian Federation

Irina Yu. Yukhanova

Tambov State Technical University

Email: irina_yu_10@mail.ru
Master 106 Sovetskaya St., Tambov 392000, Russian Federation

References

Supplementary files