Том 26, № 136 (2021)

Статья посвящена исследованию неявных дифференциальных уравнений на основе утверждений о накрывающих отображениях произведений  метрических пространств. Сначала  рассмотрена система уравнений
\begin{equation*}
\Phi_i(x_i,x_1,x_2,\ldots,x_n)=y_i, \ \ \ i=\overline{1,n},
\end{equation*}
где $\Phi_i: X_i \times X_1 \times \ldots \times X_n \to Y_i,$ $y_i \in Y_i,$ $X_i$ и $Y_i$ --- метрические пространства, $i=\overline{1,n}.$ Предполагается, что отображение $\Phi_i$
является накрывающим по первому аргументу и липшицевым по каждому из остальных аргументов начиная со второго. Получены условия разрешимости этой системы и оценки расстояния от произвольного заданного элемента $x_0 \in X$ до множества решений. Далее в статье  получено утверждение о действии оператора Немыцкого в пространствах суммируемых функций и установлена взаимосвязь свойств накрывания оператора Немыцкого и накрывания порождающей его функции. Перечисленные результаты применены к исследованию системы неявных дифференциальных уравнений, для которой  доказано утверждение о локальной разрешимости задачи Коши с ограничениями на производную решения. Такие задачи возникают, в частности, в моделях управляемых систем. В заключительной части статьи аналогичными методами исследовано дифференциальное уравнение $n$-го порядка, не разрешенное относительно старшей производной. Получены условия существования решения задачи Коши.

Обсуждается остающийся до сих пор не решенным поставленный в [S. Reich, Some Fixed Point Problems, Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur., 57:8 (1974), 194--198] вопрос о существовании в полном метрическом пространстве $X$ неподвижной точки обобщенно сжимающего многозначного отображения $\Phi:X \rightrightarrows X,$ имеющего замкнутые значения $\Phi(x)\subset X$ при всех $x \in X.$ Обобщенное сжатие понимается как естественное распространение определения Браудера--Красносельского этого свойства на многозначные отображения:
 \begin{equation*} \label{Sha}
\forall x,u \in X \ \ h\bigl(\varphi(x),\varphi(u)\bigr) \leq \eta\bigl(\rho(x,u)\bigr),
 \end{equation*}
 где  функция $\eta: \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+ $ возрастает, непрерывна справа и
 для всех $d > 0$  выполнено $\eta(d) утверждений, решающих проблему С.~Райха при дополнительных требованиях на обобщенное
 сжатие $\Phi.$ В~простейшем случае, когда многозначное обобщенно сжимающее отображение $\Phi$ действует в $\mathbb{R},$ без каких-либо дополнительных условий доказано существование у этого отображения  неподвижной точки.

Рассматривается смешанная по краевым условиям задача для метагармонического уравнения в области, представляющей собой часть кругового цилиндра. Эту цилиндрическую область с одной стороны ограничивает поверхность общего вида, на которой заданы условия Коши, т. е. заданы функция и ее нормальная производная. Другая граница цилиндрической области свободна. На боковой поверхности цилиндрической области заданы однородные краевые условия первого рода. Задача некорректно поставлена и ее приближенное решение, устойчивое к погрешности в данных Коши, построено с применением методов регуляризации. Рассматриваемая задача сведена к интегральному уравнению Фредгольма первого рода. На основе решения интегрального уравнения, полученного в виде ряда Фурье по собственным функциям первой краевой задачи для уравнения Лапласа в круге, построено явное представление точного решения поставленной задачи. Устойчивое решение интегрального уравнения построено методом регуляризации Тихонова. В качестве приближенного решения интегрального уравнения рассматривается экстремаль функционала Тихонова. На основе этого решения строится приближенное решение задачи в целом. Приведена теорема сходимости приближенного решения поставленной задачи к точному при стремлении к нулю погрешности в данных Коши и при согласовании параметра регуляризации с погрешностью в данных. Результаты работы могут быть использованы для математической обработки данных тепловидения в ранней диагностике в медицине.

В статье рассматривается алгебро-дифференциальное уравнение второго порядка. Уравнениями и системами дифференциальных уравнений второго порядка описывается работа схемы электронного триода с обратной связью, вращение жесткого тела с полостью, считывание информации с диска и т. д. Перед старшей производной находится необратимый оператор. Этот оператор фредгольмов с нулевым индексом, обладающий ядром произвольной размерности и цепочками Жордана произвольной длины. Уравнения с необратимыми операторами при старшей производной называются алгебродифференциальными. В связи с этим решение задачи существует при определенных условиях на компоненты искомой функции. Для разрешения уравнения относительно производной применяется метод каскадной декомпозиции уравнения, заключающегося в пошаговом расщеплении уравнения на уравнения в подпространствах уменьшающихся размерностей. Рассмотрены случаи одношагового и двухшагового расщепления. При расщеплении используется результат о решении линейного уравнения с фредгольмовым оператором. В каждом случае получен результат, сформулированный в виде теоремы. Для иллюстрации полученного результата в случае одношагового расщепления приводится иллюстрирующий пример задачи Коши.