Том 26, № 133 (2021)

Рассматривается структурированная популяция, особи которой разделены на $n$ возрастных или типических групп $x_1,\ldots,x_n .$
Предполагаем, что в любой момент времени $k,$ $k=0,1,2\ldots$ численность популяции  $x(k)$ определяется как решение нормальной
автономной системы разностных уравнений $x(k+1)=F\bigl(x(k)\bigr)$, где $F(x)={\rm col}\bigl(f_1(x),\ldots,f_n(x)\bigr)$~--- заданные векторные функции с
вещественными неотрицательными компонентами $f_i(x),$ $i=1,\ldots,n.$
Исследуется случай, когда имеется возможность влиять на размер популяции путем промыслового изъятия. В работе рассмотрена модель эксплуатируемой популяции в виде
$x(k+1)=F\left(\right(1-u\left(k\right) \left)x\right(k) ),$
где вектор $u(k)=\bigl(u_1(k),\dots,u_n(k)\bigr)\in[0,1]^n$~--- управление, выбором которого можно достигать увеличения показателей сбора ресурса.
Предполагается, что стоимости условной единицы каждого из рассматриваемых $n$ классов постоянны и равны  $C_i\geqslant 0 ,$ $i=1,\ldots,n.$
Для определения стоимости ресурса, получаемого в результате промысла, в рассмотрение вводится функция дисконтированного дохода, которая имеет вид

$H_{\alpha }(u¯,x(0\left)\right)=\sum _{j=0}^{\infty } {\sum _{i=1}^n}_{(}{C}_i{x}_i\left(j\right)u_i\left(j\right)e^{(}-\alpha j),$

где $\alpha>0$~--- коэффициент дисконтирования.
Решается задача построения управлений на конечном и бесконечном промежутках времени, при которых дисконтированный доход от извлечения
возобновляемого ресурса достигает наибольшего значения.
В качестве следствий получены результаты о построении оптимального способа добычи однородной популяции (т. е. при $n=1$).

В работе рассматривается смешанная задача для уравнения Лапласа в области в круговом цилиндре. На боковой поверхности цилидрической области заданы однородные краевые условия первого рода. Цилиндрическую область с одной стороны ограничивает поверхность общего вида, на которой заданы условия Коши, т. е. заданы функция и ее нормальная производная. Другая граница цилиндрической области свободна. Такая задача некорректно поставлена, и для построения ее приближенного решения в случае данных Коши, известных с некоторой погрешностью, необходимо применение регуляризирующих алгоритмов. В работе рассматриваемая задача сведена к интегральному уравнению Фредгольма первого рода. На основе решения интегрального уравнения получено явное представление точного решения поставленной задачи в виде ряда Фурье по собственным функциям первой краевой задачи для уравнения Лапласа в круге. Устойчивое решение интегрального уравнения получено методом регуляризации Тихонова. В качестве его приближенного решения рассматривается экстремаль функционала Тихонова. На основе этого решения строится приближенное решение задачи в целом. Приведена теорема сходимости приближенного решения поставленной задачи к точному при стремлении к нулю погрешности в данных Коши и при согласовании параметра регуляризации с погрешностью в данных. Результаты работы могут быть использованы для математической обработки данных тепловидения в медицинской диагностике.

В работе указаны условия устойчивости решения эволюционной гиперболической системы с распределенными параметрами на графе, описывающей колебательный процесс сплошной среды в пространственной сети. Гиперболическая система рассматривается в слабой постановке: слабым решением системы является суммируемая функция, удовлетворяющей интегральному тождеству, определяющему вариационную постановку для начально-краевой задачи. Основная идея, определившая все содержание настоящей работы, состоит в представлении слабого решения в виде обобщенного ряда Фурье с последующим анализом сходимости этого ряда и рядов, полученных его однократным почленным дифференцированием. Используемый подход основывается на априорных оценках слабого решения и построении (методом Фаедо–Галеркина со специальным базисом системой обобщенных собственных функций эллиптического оператора гиперболического уравнения) слабо компактного семейства приближенных решений в выбранном пространстве состояний. Полученные результаты являются основополагающими при исследовании задач оптимального управления колебаниями сетеподобных промышленных конструкций, имеющих интересные аналогии с колебаниями многофазовых сред многомерной гидродинамики.

Рассматриваются сцепленные и максимальные сцепленные системы (МСС) на  $\pi$-системах измеримых (в широком смысле) прямоугольников ($\pi$-система есть семейство множеств, замкнутое относительно конечных пересечений). Структуры в виде семейства измеримых прямоугольников используются в теории меры и теории вероятностей и приводят обычно к полуалгебре подмножеств декартова произведения. В настоящей работе пространства-сомножители предполагаются оснащенными  $\pi$-системами с «нулем» и «единицей», что, в частности, может соответствовать стандартной измеримой структуре в виде полуалгебры, алгебры или  $\sigma$-алгебры множеств. В общем случае семейство измеримых прямоугольников (измеримость отождествляется с принадлежностью к  $\pi$-системе) само образует  $\pi$-систему множества-произведения, что позволяет рассматривать МСС на данной  $\pi$-системе (измеримых прямоугольников). Устанавливается следующее основное свойство: во всех рассматриваемых вариантах  $\pi$-системы измеримых прямоугольников МСС на произведении исчерпываются произведениями МСС на пространствах-сомножителях. При этом в случае бесконечного произведения, наряду с традиционным, рассматривается «ящичный» вариант, допускающий естественную аналогию с базой ящичной топологии. Для случая произведения двух широко понимаемых измеримых пространств установлено одно свойство гомеоморфности, касающееся оснащений топологиями стоуновского типа.