Том 28, № 142 (2023)

Рассматривается краевая задача${{D^{\alpha }}_0}_{+}x\left(t\right)+f(t,(Tx\left)\right(t\left)\right)=0,0<t<1, где \alpha \in (n-1,n], n\in N, n>2,$$x\left(0\right)=x^{\text{'}}\left(0\right)=\cdots =x^{(n-2)}\left(0\right)=0,$

$x\left(1\right)=0$.

Эта задача сводится к эквивалентному интегральному уравнению с монотонным оператором в пространстве $C$ непрерывных на $[0,1]$ функций (пространство $C$ полагается упорядоченным конусом неотрицательных функций, удовлетворяющих граничным условиям рассматриваемой задачи). С помощью известной теоремы Красносельского о неподвижных точках оператора растяжения (сжатия) конуса доказано существование хотя бы одного положительного решения рассматриваемой задачи. Приведен пример, иллюстрирующий выполнение достаточных условий, обеспечивающих разрешимость поставленной задачи. Полученные результаты являются продолжением исследований автора (см. [Вестник российских университетов. Математика, 27:138 (2022), 129–135]), посвященных вопросам существования и единственности положительных решений краевых задач для нелинейных функционально-дифференциальных уравнений.

В работе представлен обзор результатов, посвященных описанию семейств операторов, подчиняющихся некоторым индуктивным тождествам (например правилу Лейбница — случай дифференцирований, дифференцирования Фокса, а также $(\sigma ,\tau )$-дифференцирований) как характеров на подходящем группоиде. В первую очередь дается реализация данной конструкции для дифференцирований в групповых алгебрах и дифференцирований Фокса, как характеров на группоиде действия. Также демонстрируется, как данная конструкция реализуется для дифференцирований на алгебрах, порожденных мальцевскими полугруппами, для случая дифференцирований со значениями в конечных кольцах, а также для $(\sigma ,\tau )$-дифференцирований

Рассмотрим ортогональную систему Эрмита $\{{{\phi }_{2}n\left(x\right)\}}_{n\ge 0}$ четного индекса, определенную на $(-\infty ,\infty )$ формулой ${\phi }_{2}n\left(x\right)=\frac{e^{-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}}}{\surd \left(2n\right)!{\pi }^{\frac{1}{4}}{2}^n)}{H}_{2}n\left(x\right),$

где через $H_{2}n\left(x\right)$ обозначен полином Эрмита степени $2n$. В данной работе рассматривается обобщенная система $\left\{{\psi }_{r,2n}\right(x\left)\right\}$ с $r>0$, $n\ge 0$, ортогональная относительно скалярного произведения Соболевского типа на $(-\infty ,\infty )$

$⟨f,g⟩=\underset{(t\to -\infty )}{lim}\sum _{k=0}^{r-1}{f}^{\left(k\right)}\left(t\right)g^{\left(k\right)}\left(t\right)+\underset{-\infty }{\overset{{}^{\infty }}{\int }}{f}^{{}^{\left(r\right)}}\left(x\right)g^{\left(r\right)}\left(x\right)\rho \left(x\right)dx$

с $\rho \left(x\right)=e^{(}-x^2),$ и порожденная системой ${\left\{{\phi }_{2}n\left(x\right)\right\}}_{n\ge 0}$. Основной целью работы является изучение некоторых свойств, связанных с системой ${\left\{{\psi }_{r,2n}\left(x\right)\right\}}_{n\ge 0}$, ${\psi }_{r,n}\left(x\right)=\frac{{(x-a)}^n}{n!}, n=0,1,2,\dots , r-1,$ ${\psi }_{r,r+n}\left(x\right)=\frac{1}{(r-1)!}{\int }_a^b(x-t{)}^{r-1}{\phi }_n(t)dt, n=0,1,2,\dots .$

Изучаются условия на функцию $f\left(x\right)$, заданную в обобщенной ортогональной системе Эрмита, достаточные для ее разложения в обобщенный смешанный ряд Фурье, а также сходимость этого ряда Фурье. Второй результат статьи — доказательство рекуррентной формулы для системы ${\left\{{\psi }_{(}r,2n\left)\right(x)\right\}}_{n\ge 0}$. Также обсуждаются асимптотические свойства этих функций, что составляет заключительную часть работы.

В работе найдены точные неравенства для наилучшего приближения произвольной аналитической в единичном круге функции $f$ алгебраическими комплексными полиномами через модуль непрерывности $m$-го порядка производной $r$-го порядка $f^{\left(r\right)}$ в весовом пространстве Бергмана $B_{2,\gamma }$. Также через модуль непрерывности $m$-го порядка производной $f^{\left(r\right)}$ введен класс аналитических в единичном круге функций $W_m^{\left(r\right)}(h,\Phi )$, определяемый заданной монотонно возрастающей на положительной полуоси мажорантой $\Phi$, $h\in (0,\pi ⁄n]$, $n>r$. При определенных условиях на мажоранту  для введенного класса функций вычислены точные значения некоторых известных $n$-поперечников. В работе используются методы решения экстремальных задач в нормированных пространствах аналитических в круге функций, а также метод оценки снизу -поперечников функциональных классов в различных банаховых пространствах, разработанный В.М. Тихомировым. Изложенные в данной работе результаты являются продолжением и обобщением некоторых ранее полученных результатов о наилучших приближениях и значениях поперечников в весовом пространстве Бергмана $B_{2,\gamma }$

Обсуждаются алгоритмы нахождения символьно-численного решения начально-краевой задачи для уравнения переноса сплошной среды. Аналитическое решение таких уравнений, как правило, невозможно, поэтому активно разрабатываются приближенные методы решения, обеспечивающие условие аппроксимации, устойчивости и сходимости. В данной статье предлагается символьное решение, что более удобно, чем численное для использования, например, при синтезе систем управления. В основе алгоритма лежит аппроксимация частных производных по одной из переменных разностным соотношением и применение преобразования Лапласа к полученной системе дифференциально-разностных уравнений. Представлена блок-схема алгоритма. Проводится описание структуры программного комплекса на основе разработанного алгоритма. Программный комплекс разработан на языке программирования Java. Для ввода исходных данных начально-краевой задачи и вывода решения используется веб-интерфейс. В основе веб-интерфейса программного комплекса лежит фреймворк Spring. Рассматривается пример решения начально-краевой задачи с начальным и краевыми условиями при помощи данного программного комплекса.

Результаты представляют интерес для исследователей в прикладных областях, связанных с переносом теплоты по сетевому теплоносителю, транспортировкой вязких жидкостей по сетевому гидроносителю, диффузионными процессами в биофизике. Разработанный алгоритм может найти свое применение для решения некоторых задач автоматического управления.