О существовании положительного решения краевой задачи для одного нелинейного функционально-дифференциального уравнения дробного порядка

Рассматривается краевая задача${{D^{\alpha }}_0}_{+}x\left(t\right)+f(t,(Tx\left)\right(t\left)\right)=0,0<t<1, где \alpha \in (n-1,n], n\in N, n>2,$$x\left(0\right)=x^{\text{'}}\left(0\right)=\cdots =x^{(n-2)}\left(0\right)=0,$

$x\left(1\right)=0$.

Эта задача сводится к эквивалентному интегральному уравнению с монотонным оператором в пространстве $C$ непрерывных на $[0,1]$ функций (пространство $C$ полагается упорядоченным конусом неотрицательных функций, удовлетворяющих граничным условиям рассматриваемой задачи). С помощью известной теоремы Красносельского о неподвижных точках оператора растяжения (сжатия) конуса доказано существование хотя бы одного положительного решения рассматриваемой задачи. Приведен пример, иллюстрирующий выполнение достаточных условий, обеспечивающих разрешимость поставленной задачи. Полученные результаты являются продолжением исследований автора (см. [Вестник российских университетов. Математика, 27:138 (2022), 129–135]), посвященных вопросам существования и единственности положительных решений краевых задач для нелинейных функционально-дифференциальных уравнений.