Том 25, № 130 (2020)
Статьи
Статистические алгоритмы фильтрации для систем со случайно изменяющейся структурой
Аннотация
Предлагаются новые алгоритмы решения задачи оптимальной фильтрации для систем со случайно изменяющейся структурой с непрерывным временем. Эта задача состоит в оценивании текущего состояния системы по результатам косвенных измерений. Математическая модель системы включает нелинейные стохастические дифференциальные уравнения, правая часть которых определяет структуру динамической системы, или режим функционирования. Правая часть может изменяться в случайные моменты времени. Число структур системы предполагается конечным, а процесс смены структуры - марковским или условно марковским. Вектор состояния такой системы состоит из двух компонент: вектора с вещественными координатами и целочисленного номера структуры. Закон изменения номера структуры определяется различными условиями: достижением непрерывной частью вектора состояния заданной поверхности в фазовом пространстве или распределением случайного промежутка времени между переключениями с заданной интенсивностью (средним числом переключений в единицу времени). Каждой упорядоченной паре режимов функционирования может отвечать свой закон перехода между ними. Алгоритмы оценивания текущего состояния систем со случайно изменяющейся структурой относятся к типу фильтров частиц, они построены на основе метода статистического моделирования (метода Монте-Карло). Работа является продолжением исследований авторов в области статистических методов и алгоритмов анализа и фильтрации для стохастических систем с непрерывным временем.
Вестник российских университетов. Математика. 2020;25(130):109-122
109-122
О спектральных свойствах и положительности решений периодической краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения второго порядка
Аннотация
Для функционально-дифференциального оператора Lu = (1/ρ) -(pu')' + 0 l u(s) d s r(x, s) с симметрией показаны полнота и ортогональность собственных функций. Получены условия положительности функции Грина периодической краевой задачи
Вестник российских университетов. Математика. 2020;25(130):123-130
123-130
Задача граничного управления колебаниями струны смещением левого конца при закрепленном правом конце с заданными значениями функции прогиба в промежуточные моменты времени
Аннотация
Рассматривается задача граничного управления колебаниями однородной струны, для которой наряду с классическими краевыми (начальным и конечным) условиями заданы значения функции прогиба в промежуточные моменты времени. Задача управления смещением одного конца струны при закрепленном другом конце сведена к задаче управления с нулевыми граничными условиями. Предложен конструктивный метод построения граничного управления процессом колебаний струны с заданными значениями функции прогиба в промежуточные моменты времени. Проведен вычислительный эксперимент и построены соответствующие графики, которые подтверждают полученные результаты.
Вестник российских университетов. Математика. 2020;25(130):131-146
131-146
О возможности получения оптимального порядка точности при восстановлении воздействия динамическим методом
Аннотация
Ю.С. Осиповым и А. В. Кряжимским был предложен метод динамической регуляризации для восстановления неизвестного воздействия в управляемой модели. В рамках этого подхода в настоящей работе исследуется свойство другого метода, основанного на использовании неявного метода Эйлера для задачи численного дифференцирования. Указан выбор параметров метода, позволяющий повысить его эффективность, снизить зашумленность приближенного решения, и получить оптимальный порядок точности в метрике L(T) ; равный 1 2 .
Вестник российских университетов. Математика. 2020;25(130):147-155
147-155
Об устойчивом приближенном решении одной некорректно поставленной краевой задачи для метагармонического уравнения
Аннотация
В работе рассматривается смешанная задача для метагармонического уравнения в области в цилиндре прямоугольного сечения. На боковых гранях цилиндрической области заданы однородные условия первого рода. Цилиндрическую область с одной стороны ограничивает поверхность общего вида, на которой заданы условия Коши, т. е. заданы функция и ее нормальная производная. Другая граница цилиндрической области - плоская - свободна. Такая задача некорректно поставлена, и для построения ее приближенного решения в случае данных Коши, известных с некоторой погрешностью, необходимо применение регуляризирующих алгоритмов. В работе рассматриваемая задача сведена к интегральному уравнению Фредгольма первого рода. На основе решения интегрального уравнения получено явное представление точного решения поставленной задачи. Устойчивое решение интегрального уравнения получено методом регуляризации Тихонова. В качестве его приближенного решения рассматривается экстремаль функционала Тихонова. На основе этого решения строится приближенное решение задачи в целом. Приведена теорема сходимости приближенного решения поставленной задачи к точному при стремлении к нулю погрешности в данных Коши и при согласовании параметра регуляризации с погрешностью в данных. Результаты работы могут быть использованы для математической обработки данных тепловидения в медицинской диагностике.
Вестник российских университетов. Математика. 2020;25(130):156-164
156-164
Условия минимума гладкой функции на границе квазидифференцируемого множества
Аннотация
B статье рассматриваются задачи математического программирования с негладкими ограничениями типа равенств, задаваемыми квазидифференцируемыми функциями. С применением техники верхних выпуклых аппроксимаций, разработанной Б. Н. Пшеничным, получены необходимые условия экстремума в таких задачах. Благодаря тому, что для квазидифференцируемой функции можно построить целые семейства верхних выпуклых аппроксимаций, удалось уточнить знаки множителей Лагранжа и тем самым более полно охарактеризовать точки минимума в таких экстремальных задачах. Рассматривается также простейшая задача вариационного исчисления со свободной правой частью в предположении, что левый конец траектории начинается на границе выпуклого множества. При некоторых достаточных условиях уточнено условие трансверсальности на левом конце траектории.
Вестник российских университетов. Математика. 2020;25(130):165-182
165-182
Свойства алгебры псевдодифференциальных операторов, связанные с интегрируемыми иерархиями
Аннотация
В работе рассматриваются различные свойства алгебры псевдодифференциальных операторов, связанные с интегрируемыми иерархиями, возникающими в этой алгебре, в частности, иерархией Кадомцева-Петвиашвили (КП) и ее строгой версией. Одни свойства проясняют вид уравнений в иерархиях и дают понимание того, почему уравнения определенного вида скомбинированы в этих системах, другие позволяют изучить свойства самих систем, а именно: вид собственных функций линеаризаций упомянутых иерархий, описание элементарных преобразований Дарбу обоих иерархий, отыскание представлений построенных собственных функций и двойственных им в терминах определителей Фредгольма.
Вестник российских университетов. Математика. 2020;25(130):183-195
183-195
Релаксации игровой задачи сближения, связанные с альтернативой в дифференциальной игре сближения-уклонения
Аннотация
Рассматривается дифференциальная игра (ДИ) сближения-уклонения на конечном промежутке времени, в которой в качестве параметров используются целевое множество (ЦМ) и множество, определяющее фазовые ограничения (ФО). Игрок I; заинтересованный в осуществлении сближения с ЦМ при соблюдении ФО, использует многозначные квазистратегии (неупреждающие стратегии), а игрок II; имеющий противоположную цель, - стратегии с неупреждающим выбором моментов коррекции и конечным числом таких моментов. Постановка на содержательном уровне соответствует теореме об альтернативе Н. Н. Красовского и А. И. Субботина. Для позиций, не принадлежащих множеству позиционного поглощения, представляет интерес определение наименьшего размера окрестностей множеств-параметров, при которых игрок I гарантирует сближение при ослабленных вышеупомянутым способом условиях задачи. В работе эта схема дополняется элементами приоритетности в вопросах достижения ЦМ и соблюдения ФО, что достигается введением специального параметра, определяющего соотношение размеров соответствующих окрестностей. В этих условиях функция оптимального размера окрестности ЦМ, определенная на пространстве позиций, реали зуется посредством процедуры на основе метода программных итераций, применяемого в двух вариантах. Упомянутая функция является при этом неподвижной точкой одного из используемых «программных» операторов. Указан специальный тип функционалов качества, для которого значения вышеупомянутой функции позиции совпадают с ценой игры на минимакс-максимин.
Вестник российских университетов. Математика. 2020;25(130):196-244
196-244