Том 27, № 137 (2022)
Статьи
Новые свойства рекуррентных движений и предельных множеств динамических систем
Аннотация
В более ранней статье авторов [А. П. Афанасьев, С. М. Дзюба. “О новых свойствах рекуррентных движений и минимальных множеств динамических систем”, Вестник российских университетов. Математика, 26:133 (2021), 5-14] установлена связь между движениями общего вида и рекуррентными движениями в компактном метрическом пространстве и доказан весьма простой характер поведения рекуррентных движений. В данной работе на основании этих результатов вводится новое определение рекуррентного движения, которое, в отличие от широко используемого в современной литературе, дает достаточно полную информацию относительно строения рекуррентного движения как функции времени и поэтому является более наглядным. При этом мы показываем, что в абстрактном метрическом пространстве предлагаемое определение эквивалентно определению Биркгофа, а в полном метрическом пространстве эквивалентно общепринятому современному определению. Получены необходимые и достаточные условия рекуррентности (в смысле предложенного в статье определения) движения в компактном метрическом пространстве. Доказано, что в компактном метрическом пространстве α - и ω -предельные множества любого движения являются минимальными (это утверждение было анонсировано в более ранней статье авторов). Из минимальности α - и ω -предельных множеств выведено, что в компактном метрическом пространстве каждая положительно (отрицательно) устойчивая по Пуассону точка лежит на траектории рекуррентного движения, т. е. является точкой минимального множества, и таким образом, в компактном метрическом пространстве с конечной положительной инвариантной мерой почти все точки являются точками минимальных множеств.
Вестник российских университетов. Математика. 2022;27(137):5-15
5-15
О способах добычи возобновляемого ресурса из структурированной популяции
Аннотация
Рассматривается задача оптимальной добычи ресурса из структурированной популяции, состоящей из отдельных видов, либо разделенной на возрастные группы. Динамика популяции при отсутствии эксплуатации задана системой обыкновенных дифференциальных уравнений, и в определенные моменты времени из популяции извлекается часть ресурса. В частности, можно предполагать, что производится добыча различных видов рыбы, каждый из которых имеет определенную стоимость; кроме того, между этими видами существуют взаимодействия типа «хищник-жертва» или отношения конкуренции за пищу и места обитания. Исследуются свойства средней временной выгоды, которая равна пределу от средней стоимости ресурса при неограниченном увеличении моментов изъятия. Получены условия, при которых средняя временная выгода равна бесконечности, и указан способ построения управления для достижения этого значения. Показано, что для некоторых моделей взаимодействия двух видов такой способ добычи ресурса может привести к полному уничтожению одного из видов и неограниченному росту второго. Поэтому представляется целесообразным исследовать представленную здесь задачу построения управления для достижения фиксированного конечного значения средней временной выгоды. Полученные результаты проиллюстрированы на примерах модели «хищник-жертва» и модели конкуренции двух видов и могут быть применены к другим всевозможным моделям динамики популяций.
Вестник российских университетов. Математика. 2022;27(137):16-26
16-26
Включения с отображениями, действующими из метрического пространства в пространство с расстоянием
Аннотация
В статье исследуется включение, в котором многозначное отображение действует из метрического пространства (X, ρ ) во множество Y с расстоянием d . Это расстояние удовлетворяет только первой аксиоме метрики: d y 1 , y 2 равно нулю тогда и только тогда, когда y1 = y2 . Расстояние не обязано быть симметричным и удовлетворять неравенству треугольника. Для пространства (Y, d) определены простейшие понятия (шара, сходимости, расстояния от точки до множества), а для многозначного отображения G:X⇉Y введены множества накрывания, липшицевости и замкнутости. В этих терминах (позволяющих адаптировать к отображениям со значениями в (Y, d) классические условия накрывания, липшицевости и замкнутости отображений метрических пространств и ослабить такие условия) формулируется теорема о разрешимости включения F(x, x)∋ y и дается оценка отклонения в пространстве (X, ρ ) множества решений от заданного элемента x0 ∈X . Основными условиями полученного утверждения являются принадлежность при любом x из некоторого шара пары (x, y) множеству α -накрывания отображения F(·, x) и множеству β -липшицевости отображения F x, ∙, где α>β. Доказательство соответствующего утверждения основано на построении последовательностей { xn }⊂X и { yn }⊂Y , удовлетворяющих соотношениям y n ∈Fx n ,x n , y ∈Fx n +1 ,x n , αρ(x n +1 , x n )≤d(y , y n )≤βρ(x n , x n -1 ) . Также в статье получены достаточные условия устойчивости решений рассматриваемого включения к изменениям многозначного отображения F и элемента y .
Вестник российских университетов. Математика. 2022;27(137):27-36
27-36
Спектральные свойства дифференциального оператора четного порядка с разрывной весовой функцией
Аннотация
В статье предлагается новый метод исследования дифференциальных операторов с разрывной весовой функцией. Потенциал оператора предполагается кусочно-гладкой функцией на конечном отрезке задания оператора. В точке разрыва весовой функции требуется выполнение условий «сопряжения». Исследуются разделённые граничные условия общего вида. Изучены спектральные свойства дифференциального оператора, заданного на конечном отрезке. При больших значениях спектрального параметра выведена асимптотика фундаментальной системы решений дифференциальных уравнений, задающих исследуемый оператор. С помощью этой асимптотики изучены условия «сопряжения» рассматриваемого дифференциального оператора. Затем исследованы граничные условия изучаемого оператора. В результате получено уравнение на собственные значения оператора, которое представляет собой целую функцию. Изучена индикаторная диаграмма уравнения на собственные значения, которая является правильным многоугольником. В различных секторах индикаторной диаграммы найдена асимптотика собственных значений исследуемого дифференциального оператора. При помощи найденной асимптотики собственных значений методом Лидского-Садовничего получена формула первого регуляризованного следа этого оператора. В случае предельных переходов полученная формула приводит к формуле следа для классического оператора с гладким потенциалом и постоянной весовой функцией.
Вестник российских университетов. Математика. 2022;27(137):37-57
37-57
О некорректных задачах, экстремалях функционала Тихонова и регуляризованных принципах Лагранжа
Аннотация
Задача поиска нормального решения операторного уравнения первого рода на паре гильбертовых пространств является классической в теории некорректных задач. В соответствии с теорией регуляризации ее решения аппроксимируются экстремалями функционала Тихонова. С точки зрения теории задач на условный экстремум эквивалентной классической некорректной задаче является задача минимизации функционала, равного квадрату нормы элемента, с операторным (т. е. задаваемым оператором с бесконечномерным образом) ограничением-равенством. В статье обсуждается возможность регуляризации принципа Лагранжа (ПЛ) в указанной задаче на условный экстремум. Эта регуляризация представляет собою такую трансформацию ПЛ, которая превращает его в универсальное средство устойчивого решения некорректных задач в терминах обобщенных минимизирующих последовательностей (ОМП) и сохраняет основанное на конструкциях классической функции Лагранжа его «общее структурное устройство». Трансформированный ПЛ «содержит» классический аналог в качестве своего предельного варианта при стремлении номеров элементов ОМП к бесконечности. Обсуждаются как неитеративный, так и итеративный варианты регуляризации ПЛ. Каждый из них приводит к устойчивому генерированию ОМП в исходной задаче на условный экстремум из экстремалей регулярного функционала Лагранжа, взятого при значениях двойственной переменной, вырабатываемой соответствующей процедурой регуляризации двойственной задачи. В заключение статьи обсуждается взаимосвязь экстремалей функционалов Тихонова и Лагранжа в рассматриваемой классической некорректной задаче.
Вестник российских университетов. Математика. 2022;27(137):58-79
58-79
Устойчивость трехслойной симметричной дифференциально-разностной схемы в классе суммируемых на сетеподобной области функций
Аннотация
В работе получены условия устойчивости трехслойной симметричной дифференциально-разностной схемы с весовым параметром в классе функций, суммируемых на сетеподобной области. Для анализа устойчивости в пространстве допустимых решений H дифференциально-разностной системы вводится составная норма, имеющая структуру нормы пространства H2 =H⊕H . А именно, для Y={Y 1 , Y 2 }∈ H2 , Yl ∈H (l=1,2) , ∥Y∥ H 2 = ∥ Y 1 ∥ 1,H 2 + ∥ Y 2 ∥ 2,H 2 , где ∥·∥ 1,H 2 ∥·∥ 2,H 2 - некоторые нормы H . Использование такой нормы при описании энергетического тождества открывает путь построения априорных оценок для слабых решений дифференциально-разностной системы, удобных при практической проверке в случае конкретных дифференциально-разностных схем. Полученные результаты могут быть использованы для анализа задач оптимизации, возникающих при моделировании сетеподобных процессов переноса формализмами дифференциально-разностных систем.
Вестник российских университетов. Математика. 2022;27(137):80-94
80-94
Динамическое программирование в задаче маршрутизации: декомпозиционный вариант
Аннотация
Исследуются вопросы применения аппарата динамического программирования (ДП) в задаче маршрутизации с ограничениями и функциями стоимости, допускающими зависимость от списка заданий. Предполагается заданным бинарное разбиение множества заданий, т. е. выделены две группы заданий; задания первой группы должны быть выполнены раньше, чем начнется выполнение заданий второй группы. В каждой из групп могут присутствовать условия предшествования. Данная постановка может быть связана, в частности, с вариантом листовой резки зонами на машинах с ЧПУ, где две вышеупомянутые группы заданий образуют зоны, намеченные на этапе раскроя. В общем случае для построения оптимального решения применяется двухэтапный вариант ДП. Стыковка этапов осуществляется посредством отождествления терминальной компоненты критерия предваряющей задачи с функций экстремума финальной задачи. Склеивание оптимальных решений предваряющей и финальной задач доставляет, как показано в статье, оптимальное решение совокупной задачи. На основе теоретических конструкций построен алгоритм, реализованный на ПЭВМ; проведен вычислительный эксперимент.
Вестник российских университетов. Математика. 2022;27(137):95-124
95-124