Email this article Spectral properties of an even-order differential operator with a discontinuous weight function
- Authors: Mitrokhin S.I.1
-
Affiliations:
- Lomonosov Moscow State University
- Issue: Vol 27, No 137 (2022)
- Pages: 37-57
- Section: Articles
- URL: https://bakhtiniada.ru/2686-9667/article/view/295003
- DOI: https://doi.org/10.20310/2686-9667-2022-27-137-37-57
- ID: 295003
Cite item
Full Text
Abstract
This article proposes a new method for studying differential operators with a discontinuous weight function. It is assumed that the potential of the operator is a piecewise smooth function on the segment of the operator definition. The conditions of «conjugation» at the point of discontinuity of the weight function are required. The spectral properties of a differential operator defined on a finite segment with separated boundary conditions are studied. The asymptotics of the fundamental system of solutions of the corresponding differential equation for large values of the spectral parameter is obtained. With the help of this asymptotics, the «conjugation» conditions of the differential operator in question are studied. The boundary conditions of the operator under study are investigated. As a result, we obtain an equation for the eigenvalues of the operator, which is an entire function. The indicator diagram of the eigenvalue equation, which is a regular polygon, is studied. In various sectors of the indicator diagram, the asymptotics of the eigenvalues of the investigated differential operator is found. The formula for the first regularized trace of this operator by using the found asymptotics of the eigenvalues by the Lidsky-Sadovnichy method is obtained. In the case of the passage to the limit, the resulting formula leads to the trace formula for the classical operator with a smooth potential and constant weight function.
About the authors
Sergey I. Mitrokhin
Lomonosov Moscow State University
Email: mitrokhin-sergey@yandex.ru
Candidate of Physics and Mathematics, Senior Researcher of the Research Computer Center GSP-1, Leninskie Gory, Moscow 119991, Russian Federation
References
- М.А. Наймарк, Линейные дифференциальные операторы, 2-е изд., Наука, М., 1969, 528 с.
- В.Б. Лидский, В.А. Садовничий, “Асимптотические формулы для корней одного класса целых функций”, Математический сборник, 75(117):4 (1968), 558-566.
- В.А. Юрко, “Спектральный анализ дифференциальных операторов высших порядков с условиями разрыва во внутренней точке”, Труды Крымской осенней математической школы-симпозиума, СМФН, 63, Российский университет дружбы народов, М., 2017, 362-372.
- H.P. W. Gottlieb, “Iso-spectral Operators: Some Model Examples with Discontinuous Coefficients”, Journal of Math. Anal. and Appl., 132 (1988), 123-137.
- В.А. Ильин, “О сходимости разложений по собственным функциям в точках разрыва коэффициентов дифференциального оператора”, Математические заметки, 22:5 (1977), 679-698.
- В.А. Ильин, “Необходимые и достаточные условия базисности Рисса корневых векторов разрывных операторов второго порядка”, Дифференциальные уравнения, 22:12 (1986), 2059-2071.
- В.Д. Будаев, “О безусловной базисности на замкнутом интервале систем собственных и присоединенных функций оператора второго порядка с разрывными коэффициентами”, Дифференциальные уравнения, 23:6 (1987), 941-952.
- С.И. Митрохин, “О спектральных свойствах дифференциальных операторов с разрывными коэффициентами”, Дифференциальные уравнения, 28:3 (1992), 530-532.
- С.И. Митрохин, “О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов второго порядка с разрывной весовой функцией”, Доклады РАН, 356:1 (1997), 13-15.
- А.М. Савчук, А.А. Шкаликов, “Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами”, Математические заметки, 66:6 (1999), 897-912.
- С.И. Митрохин, “Об асимптотике собственных значений дифференциального оператора четвертого порядка со знакопеременной весовой функцией”, Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика, 2018, №6, 46-58.
- Г.А. Айгунов, М.М. Гехтман, “К вопросу о максимально возможной скорости роста системы собственных функций оператора Штурма-Лиувилля с непрерывной весовой функцией на конечном отрезке”, УМН, 52:3(315) (1997), 161-162.
- А.П. Гуревич, А.П. Хромов, “Операторы дифференцирования первого и второго порядков со знакопеременной весовой функцией”, Математические заметки, 56:1 (1994), 3-15.
- С.И. Митрохин, “Асимптотика собственных значений дифференциального оператора со знакопеременной весовой функцией”, Известия вузов. Математика, 2018, №6, 31-47.
- С.И. Митрохин, “Об исследовании спектральных свойств дифференциальных операторов с гладкой весовой функцией”, Вестник Российских университетов. Математика, 25:129 (2020), 25-47.
- В.А. Винокуров, В.А. Садовничий, “Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом”, Известия РАН. Серия: Математика, 64:4 (2000), 47-108.
- С.И. Митрохин, “О спектральных свойствах дифференциального оператора четвертого порядка с суммируемыми коэффициентами”, Дифференциальные уравнения и динамические системы, Сборник статей, Труды МИАН, 270, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2010, 188-197.
- С.И. Митрохин, “Спектральные свойства семейства дифференциальных операторов четного порядка с суммируемым потенциалом”, Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика, 2017, №4, 3-15.
- С.И. Митрохин, “О спектральных свойствах дифференциальных операторов нечетного порядка с суммируемым потенциалом”, Дифференциальные уравнения, 47:12 (2011), 1808-1811.
- С.И. Митрохин, “Асимптотика спектра периодической краевой задачи для дифференциального оператора с суммируемым потенциалом”, Тр. ИММ УрО РАН, 25, 2019, 136-149.
- Р. Беллман, К.Л. Кук, Дифференциально-разностные уравнения, Мир, М., 1967.
- В.А. Садовничий, “О следах обыкновенных дифференциальных операторов высших порядков”, Математический сборник, 72(114):2 (1967), 293-317.
- В.А. Садовничий, Теория операторов, Дрофа, М., 2001, 384 с.
Supplementary files
