Том 29, № 145 (2024)

Известный критерий действия и ограниченности линейного интегрального оператора K из пространства  существенно ограниченных функций в пространство c непрерывных на компакте функций обобщается на случай функций со значениями в банаховых пространствах.

В работе также доказано, что из действия и ограниченности оператора K в пространстве c вытекает его действие и ограниченность в пространстве $L_{\infty }\mathrm{,}$ причем нормы оператора K, рассматриваемого в C и $L_{\infty }\mathrm{,}$ совпадают. Приводится точное выражение общего значения нормы оператора K в этих пространствах в терминах ядра оператора. В дополнение к этому, приводится пример интегрального оператора (для скалярных функций), который действует и ограничен в каждом из пространств C и $L_{\infty }\mathrm{,}$ но не действует из  в

Также обсуждаются удобные для проверки условия ограниченности оператора K в C и $L_{\infty }\mathrm{.}$ В случае конечномерности банахова пространства $Y$ значений функций образа оператора $K$ эти условия являются одновременно необходимыми и достаточными. В случае бесконечномерности Y они являются достаточными, но не являются необходимыми (это доказывается).

В случае $\dim Y<\infty$ приводятся неулучшаемые оценки для нормы оператора K в терминах $1$-абсолютно суммирующей константы ${\pi }_1\left(Y\right),$ определяемой геометрическими свойствами нормы в Y, более точно, как супремум по конечным наборам ненулевых элементов Y отношения суммы норм этих элементов и супремума (по функционалам с единичной нормой) сумм абсолютных значений функционала на этих элементах.$L_{\infty }$

Работа посвящена вопросам математического моделирования пространственного движения квадрокоптера и построению законов программного управления, обеспечивающих полет с заданными в промежуточные моменты времени значениями части координат фазового вектора. Используется структурная схема квадрокоптера с четырьмя винтовыми двигателями, позволяющая осуществлять перемещение в пространстве, вертикальный взлет и посадку. На основе законов теоретической механики получена система дифференциальных уравнений, описывающих пространственное движение такого квадрокоптера. Для линеаризованной математической модели движения квадрокоптера решена задача построения законов программного управления с заданными начальными и конечными значениями фазового вектора, а также значениями части координат фазового вектора в два промежуточных момента времени. Получено необходимое и достаточное условие существования программного управления и описано соответствующее движение квадрокоптера. Построены функции управления и соответствующие фазовые траектории движения. В качестве иллюстрации полученных результатов для конкретных начальных, конечных и промежуточных значений получены явные выражения функции программного управления, программного движения и построены соответствующие графики.

Для задачи оптимизации с ограничениями-равенствами обсуждается возможность интерпретации методов последовательного квадратичного программирования, использующих суженную на ядро матрицы Якоби ограничений матрицу Гессе функции Лагранжа, как возмущенного метода Ньютона–Лагранжа. Показано, что такая интерпретация с нужными оценками на возмущения возможна для определенных последовательностей, генерируемых вариантами метода с поправками второго порядка. Это позволяет с общих позиций установить сверхлинейную скорость сходимости таких последовательностей, вообще говоря отсутствующую для основных последовательностей рассматриваемых методов.

Рассматривается автономная система дифференциальных уравнений $\dot{x}=f\left(x\right),гдеx\in {ℝ}^n,$ вектор-функция $f\left(x\right)$ и ее производные $\partial f_i/\partial x_j$ ($i,j=\mathrm{1,}\dots ,n$) непрерывны. Выделены три класса автономных систем и описаны свойства, которыми обладают решения систем каждого класса.

Будем считать, что система относится к первому классу на множестве $D\subseteq {ℝ}^n\mathrm{,}$ если правые части этой системы не зависят от переменных $x_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_n\mathrm{,}$ то есть данная система имеет вид $\dot{x}=C,$ где $C\in {ℝ}^n\mathrm{,}$ $x\in D\mathrm{.}$ Ко второму классу отнесем системы, не входящие в первый класс, для которых выполнено условие «каждая из функций $f_i$ является возрастающей на множестве $D\subseteq {ℝ}^n$ по всем переменным, от которых она явным образом зависит, за исключением переменной $x_i\mathrm{,}$ $i=\mathrm{1,}\dots ,n$». Решения систем первого и второго классов обладают свойством монотонности относительно начальных условий.

К третьему классу отнесем системы, не входящие в первый класс, для которых выполнено условие «каждая из функций $f_i$ является убывающей на множестве $D\subseteq {ℝ}^n$по всем переменным, от которых она явным образом зависит, за исключением переменной $x_i\mathrm{,}$ $i=\mathrm{1,}\dots ,n$».

Получены условия отсутствия периодических решений для автономных систем второго порядка, дополняющие известные условия Бендиксона. Доказано, что системы двух дифференциальных уравнений всех трех указанных классов не могут иметь периодических решений.

Задача получения точной оценки модуля тейлоровского коэффициента с номером n на классе B ограниченных не обращающихся в нуль функций сведена к задаче об оценке функционала над классом нормированных ограниченных функций, которая в свою очередь сведена к задаче о поиске условного максимума неотрицательной целевой функции $2n-3$ действительных аргументов с ограничениями типа неравенств, что позволяет применять стандартные численные методы поиска условных экстремумов.

Получены аналитические выражения для первых шести целевых функций и показана их липшицевость. Исходя из липшицевости целевой функции с номером n обосновывается метод точной оценки модуля тейлоровского коэффициента с номером n на классе B. Обсуждается алгоритм поиска глобального условного максимума целевой функции. Первый шаг этого алгоритма состоит в поиске полным перебором с довольно-таки большим шагом. На втором шаге алгоритма используется метод поиска локального максимума с начальными точками, полученными на предыдущем шаге.

Результаты численных вычислений приведены в графическом виде и подтверждают гипотезу Кшижа при $n=\mathrm{1,}\dots \mathrm{,6.}$ На основе этих расчетов, а также на основе так называемых асимптотических оценок выводится точная оценка модулей первых шести тейлоровских коэффициентов на классе B. Полученные результаты сравниваются с известными ранее оценками модулей начальных тейлоровских коэффициентов на классе B и его подклассах $B_t\mathrm{,}$ $t⩾0.$ Обсуждаются экстремали для подклассов $B_t$ и гипотеза Кшижа уточняется для подклассов  $B_t\mathrm{.}$Дается краткий исторический обзор исследований по тематике оценки модулей начальных тейлоровских коэффициентов на классе B.