Применение NeuralPDE.jl для решения дифференциальных уравнений

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

Работа описывает применение Physics Informed Neural Network (PINN) для решения уравнений в частных производных. Physics Informed Neural Network - это вид глубокого обучения, который учитывает физические законы для более эффективного решения физических уравнений по сравнению с классическими методам. Наибольший интерес представляет решение уравнений в частных производных (УЧП), так как численные методы и классические методы глубокого обучения не эффективны и слишком сложно настраиваемы в случаях, когда необходимо учесть сложную физику процесса. Преимуществом PINN является то, что при обучении она минимизирует функцию потерь, которая учитывает ограничения системы и законы предметной области. В работе мы рассматриваем решение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и УЧП с помощью PINN, а затем сравниваем эффективность и точность этого метода решения по сравнению с классическими. Решение реализовано на языке программирования Julia. Мы используем NeuralPDE.jl - пакет, содержащий методы решения уравнений в частных производный с помощью нейронных сетей, основанных на физике. Классический метод решения УЧП реализован посредством библиотеки DifferentialEquations.jl. В результате был проведен сравнительный анализ рассматриваемых методов решения для ОДУ и УЧП, а также получена оценка их производительности и точности. В этой статье мы продемонстрировали базовые возможности пакета NeuralPDE.jl и его эффективность по сравнению с численными методами.

Об авторах

Д. М. Беличева

Российский университет дружбы народов им. Патриса Лумумбы

Email: dari.belicheva@yandex.ru
ORCID iD: 0009-0007-0072-0453

Master student of Department of Probability Theory and Cyber Security

ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117198, Российская Федерация

Е. А. Демидова

Российский университет дружбы народов им. Патриса Лумумбы

Email: eademid@gmail.com
ORCID iD: 0009-0005-2255-4025

Master student of Department of Probability Theory and Cyber Security

ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117198, Российская Федерация

К. А. Штепа

Российский университет дружбы народов им. Патриса Лумумбы

Email: shtepa-ka@rudn.ru
ORCID iD: 0000-0002-4092-4326
ResearcherId: GLS-1445-2022

Assistent Professor of Department of Probability Theory and Cyber Security

ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117198, Российская Федерация

М. Н. Геворкян

Российский университет дружбы народов им. Патриса Лумумбы

Email: gevorkyan-mn@rudn.ru
ORCID iD: 0000-0002-4834-4895
Scopus Author ID: 57190004380
ResearcherId: E-9214-2016

Docent, Candidate of Sciences in Physics and Mathematics, Associate Professor of Department of Probability Theory and Cyber Security

ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117198, Российская Федерация

А. В. Королькова

Российский университет дружбы народов им. Патриса Лумумбы

Email: korolkova-av@rudn.ru
ORCID iD: 0000-0001-7141-7610
Scopus Author ID: 36968057600
ResearcherId: I-3191-2013

Docent, Candidate of Sciences in Physics and Mathematics, Associate Professor of Department of Probability Theory and Cyber Security

ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117198, Российская Федерация

Д. С. Кулябов

Российский университет дружбы народов им. Патриса Лумумбы; Объединённый институт ядерных исследований

Автор, ответственный за переписку.
Email: kulyabov-ds@rudn.ru
ORCID iD: 0000-0002-0877-7063
Scopus Author ID: 35194130800
ResearcherId: I-3183-2013

Professor, Doctor of Sciences in Physics and Mathematics, Professor of Department of Probability Theory and Cyber Security of RUDN University; Senior Researcher of Laboratory of Information Technologies, Joint Institute for Nuclear Research

ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117198, Российская Федерация; ул. Жолио-Кюри, д. 6, Дубна, 141980, Российская Федерация

Список литературы

  1. Zubov, K. et al. NeuralPDE: Automating Physics-Informed Neural Networks (PINNs) with Error Approximations 2021. doi: 10.48550/ARXIV.2107.09443.
  2. Engheim, E. Julia as a Second Language 400 pp. (Manning Publications, 2023).
  3. Engheim, E. Julia for Beginners. From Romans to Rockets 472 pp. (Leanpub, 2020).
  4. Raissi, M., Perdikaris, P. & Karniadakis, G. Physics-informed neural networks: A deep learning framework for solving forward and inverse problems involving nonlinear partial differential equations. Journal of Computational Physics. J. Comput. Phys. doi: 10.1016/j.jcp.2018.10.045 (2018).
  5. Hornik, K. Approximation capabilities of multilayer feedforward networks. Neural networks 4, 251-257 (1991).
  6. Zubov, K. et al. NeuralPDE: Automating Physics-Informed Neural Networks (PINNs) with Error Approximations. doi: 10.48550/ARXIV.2107.09443 (2021).
  7. SciML Open Source Scientific Machine Learning https://github.com/SciML.
  8. Bararnia, H. & Esmaeilpour, M. On the application of physics informed neural networks (PINN) to solve boundary layer thermal-fluid problems. International Communications in Heat and Mass Transfer 132, 105890. doi: 10.1016/j.icheatmasstransfer.2022.105890 (2022).
  9. SciML Open Source Scientific Machine Learning https://github.com/SciML/NeuralPDE.jl.
  10. Flux The Elegant Machine Learning Stack https://fluxml.ai/.
  11. LuxDL DocsElegant and Performant Deep Learning in JuliaLang https://lux.csail.mit.edu/stable/.
  12. Ma, Y., Gowda, S., Anantharaman, R., Laughman, C., Shah, V. & Rackauckas, C. ModelingToolkit: A Composable Graph Transformation System For Equation-Based Modeling 2021. arXiv: 2103.05244 [cs.MS].
  13. Gowda, S., Ma, Y., Cheli, A., Gwóźzdź, M., Shah, V. B., Edelman, A. & Rackauckas, C. HighPerformance Symbolic-Numerics via Multiple Dispatch. ACM Commun. Comput. Algebra 55, 92-96. doi: 10.1145/3511528.3511535 (Jan. 2022).
  14. Volterra, V. Leçons sur la Théorie mathématique de la lutte pour la vie (Gauthiers-Villars, Paris, 1931).
  15. Demidova, E. A., Belicheva, D. M., Shutenko, V. M., Korolkova, A. V. & Kulyabov, D. S. Symbolicnumeric approach for the investigation of kinetic models. Discrete and Continuous Models and Applied Computational Science 32, 306-318. doi: 10.22363/2658-4670-2024-32-3-306-318 (2024).
  16. Rackauckas, C. & Nie, Q. DifferentialEquations.jl - A Performant and Feature-Rich Ecosystem for Solving Differential Equations in Julia. Journal of Open Research Software 5, 15-25. doi:10. 5334/jors.151 (2017).
  17. Bruns, H. Das Eikonal in Abhandlungen der Königlich-Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften (S. Hirzel, Leipzig, 1895).
  18. Klein, F. C. Über das Brunssche Eikonal. Zeitscrift für Mathematik und Physik 46, 372-375 (1901).
  19. Fedorov, A. V., Stepa, C. A., Korolkova, A. V., Gevorkyan, M. N. & Kulyabov, D. S. Methodological derivation of the eikonal equation. Discrete and Continuous Models and Applied Computational Science 31, 399-418. doi: 10.22363/2658-4670-2023-31-4-399-418 (Dec. 2023).
  20. Stepa, C. A., Fedorov, A. V., Gevorkyan, M. N., Korolkova, A. V. & Kulyabov, D. S. Solving the eikonal equation by the FSM method in Julia language. Discrete and Continuous Models and Applied Computational Science 32, 48-60. doi: 10.22363/2658-4670-2024-32-1-48-60 (2024).
  21. Kulyabov, D. S., Korolkova, A. V., Sevastianov, L. A., Gevorkyan, M. N. & Demidova, A. V. Algorithm for Lens Calculations in the Geometrized Maxwell Theory in Saratov Fall Meeting 2017: Laser Physics and Photonics XVIII; and Computational Biophysics and Analysis of Biomedical Data IV (eds Derbov, V. L. & Postnov, D. E.) 10717 (SPIE, Saratov, Apr. 2018), 107170Y.1-6. doi: 10.1117/12.2315066. arXiv: 1806.01643.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».