Solution of 3D heat conduction equations using the discontinuous Galerkin method on unstructured grids


Cite item

Full Text

Abstract

The discontinuous Galerkin method with discontinuous basic functions which is characterized by a high order of accuracy of the obtained solution is now widely used. In this paper a new way of approximation of diffusion terms for discontinuous Galerkin method for solving diffusion-type equations is proposed. The method uses piecewise polynomials that are continuous on a macroelement surrounding the nodes in the unstructured mesh but discontinuous between the macroelements. In the proposed numerical scheme the spaced grid is used. On one grid an approximation of the unknown quantity is considered, on the other is the approximation of additional variables. Additional variables are components of the heat flux. For the numerical experiment the initial-boundary problem for three-dimensional heat conduction equation is chosen. Calculations of three-dimensional modeling problems including explosive factors show a good accuracy of offered method.

About the authors

Ruslan V Zhalnin

Ogarev Mordovia State University

Email: zhrv@hpc.mrsu.ru
(Cand. Phys. & Math. Sci.; zhrv@hpc.mrsu.ru; Corresponding Author), Head of Dept., Dept. of Applied Mathematics, Differential Equations & Theoretical Mechanics 68, Bol'shevistskaya st., Saransk, 430005, Russian Federation

Marina E Ladonkina

Keldysh Institute of Applied Mathematics of Russian Academy of Sciences

Email: ladonkina@imamod.ru
(Cand. Phys. & Math. Sci.; ladonkina@imamod.ru), Senior Researcher 4, Miusskaya pl., Moscow, 125047, Russian Federation

Victor F Masyagin

Ogarev Mordovia State University

Email: vmasyagin@gmail.com
Asistant Lecturer, Dept. of Applied Mathematics, Differential Equations & Theoretical Mechanics 68, Bol'shevistskaya st., Saransk, 430005, Russian Federation

Vladimir F Tishkin

Keldysh Institute of Applied Mathematics of Russian Academy of Sciences

Email: v.f.tishkin@mail.ru
(Dr. Phys. & Math. Sci.; v.f.tishkin@mail.ru), Deputy Director 4, Miusskaya pl., Moscow, 125047, Russian Federation

References

  1. Bassi F., Rebay S. A High-Order Accurate Discontinuous Finite Element Method for the Numerical Solution of the Compressible Navier-Stokes Equations // J. Comput. Phys., 1997. vol. 131, no. 2. pp. 267-279. doi: 10.1006/jcph.1996.5572.
  2. Cockburn B., Shu C.-W. Runge-Kutta Discontinuous Galerkin Methods for ConvectionDominated Problems // J. Sci. Comput., 2001. vol. 16, no. 3. pp. 173-261. doi: 10.1023/A:1012873910884.
  3. Волков А. В., Ляпунов С. В. Применение конечно-элементного метода Галёркина с разрывными базисными функциями к решению уравнений Рейнольдса на неструктурированных адаптивных сетках // Ученые записки ЦАГИ, 2007. Т. 38, № 3-4. С. 22-31.
  4. Pany A. K., Yadav S. An hp-Local Discontinuous Galerkin method for Parabolic IntegroDifferential Equations // J. Sci. Comput., 2010. vol. 46, no. 1. pp. 71-99. doi: 10.1007/s10915-010-9384-z.
  5. Вабищевич П. Н., Павлов А. Н., Чурбанов А. Г. Численные методы решения нестационарных уравнений Навье-Стокса в естественных переменных на частично разнесенных сетках // Матем. моделирование, 1997. Т. 9, № 4. С. 85-114.
  6. В. И. Лебедев Разностные аналоги ортогональных разложений, основных дифференциальных операторов и некоторых краевых задач математической физики. I // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1964. Т. 4, № 3. С. 449-465.
  7. Ayuso B., Marini L. D. Discontinuous Galerkin Methods for Advection-Diffusion-Reaction Problems // SIAM J. Numer. Anal., 2009. vol. 47, no. 2. pp. 1391-1420. doi: 10.1137/080719583.
  8. Brdar F., Dedner A., Klöfkorn R. Compact and Stable Discontinuous Galerkin Methods for Convection-Diffusion Problems // SIAM J. Sci. Comput., 2012. vol. 34, no. 1. pp. A263-A282. doi: 10.1137/100817528.
  9. Токарева С. А. RKDG-метод и его применение для численного решения задач газовой динамики / Необратимые процессы в природе и технике: Труды пятой Всероссийской конференции, Ч. 2. Москва, 2009. С. 93-96.
  10. Жалнин Р. В., Масягин В. Ф., Панюшкина Е. Н. О применении разрывного метода Галёркина для численного решения двумерных уравнений диффузионного типа на неструктурированных разнесенных сетках // Современные проблемы науки и образования, 2013. № 6, 113-10929, www.science-education.ru/113-10929.
  11. Масягин В. Ф., Жалнин Р. В., Тишкин В. Ф. Об одном способе аппроксимации трехмерных уравнений теплопроводности с помощью разрывного метода Галёркина на неструктурированных сетках / Аналитические и численные методы моделирования естественно-научных и социальных проблем: сб. ст. IX Междунар. науч.-техн. Конф. (Россия, г. Пенза, 28-31 октября 2014 г.); ред. И. В. Бойков. Пенза: ПГУ, 2014. С. 104-107.
  12. Cockburn B. Discontinuous Galerkin methods for convection-dominated problems / HighOrder Methods for Computational Physics / Lecture Notes in Computational Science and Engineering, 9; eds. T. Barth, H. Deconik. Berlin: Springer Verlag, 1999. pp. 69-224. doi: 10.1007/978-3-662-03882-6_2.
  13. Li B. Q. Discontinuous finite elements in fluid dynamics and heat transfer / Computational Fluid and Solid Mechanics. Berlin: Springer, 2006, xvii+578 pp. doi: 10.1007/1-84628-205-5.
  14. Ладонкина М. Е., Тишкин В. Ф. О связи разрывного метода Галеркина и методов типа Годунова высокого порядка точности // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша, 2014, 049. 10 с., http://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2014-49.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2015 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».