Открытый доступ
Доступ предоставлен
Только для подписчиков
Том 84, № 3 (2020)
- Год: 2020
- Статей: 6
- URL: https://bakhtiniada.ru/1607-0046/issue/view/7544
Статьи
О скорости аппроксимации в единичном круге функций класса $H^1$ логарифмическими производными полиномов с корнями на границе круга
Аннотация
Исследуется равномерная аппроксимация в открытом единичном круге $D=ż\colon |z|<1\}$ логарифмическими производными $C$-полиномов, т. е. полиномов, все нули которых лежат на единичной окружности $C=ż\colon |z|=1\}$. Получены оценки скорости такой аппроксимации для функций из класса Харди $H^1(D)$ и определенных его подклассов. Найдены некоторые оценки скорости равномерной аппроксимации (как внутри $D$, так и в замыкании $D$) посредством $h$-сумм $\sum_k \lambda_k h(\lambda_k z)$ с параметрами $\lambda_k\in C$.Библиография: 20 наименований.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2020;84(3):3-14
3-14
Взрывная неустойчивость в нелинейных волновых моделях с распределенными параметрами
Аннотация
В работе рассматриваются два модельных нелинейных уравнения. Эти уравнения описывают электрические колебания в системах с распределенными параметрами на основе диодов с нелинейными характеристиками. Для этих уравнений получены эквивалентные интегральные уравнения для классических решенийзадач Коши, первой и второй начально-краевых задач в полупространстве $x>0$. Методом сжимающих отображений доказана локальная во времени разрешимость рассматриваемых задач. Для одного из уравнений методом нелинейной емкости С. И. Похожаева выведены априорные оценки, из которых вытекают результаты о разрушении решений за конечное время, и получены оценки сверху на это время. Для другого уравнения модифицированным методом Х. А. Левина получены достаточные условия blow-up для достаточно больших начальных данных и получена оценка снизу на характер разрушения для некоторого функционала, имеющего смысл энергии. Кроме того, получена оценка сверху на время разрушения.Библиография: 31 наименование.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2020;84(3):15-70
15-70
Вещественные кубики Сегре, квартики Игузы и квартики Куммера
Аннотация
В работе доказываются свойства вещественных кубик Сегре. В частности, находятся топологические типы вещественных частей кубик Сегре, а также вещественных частей дополнений к плоскостям Сегре. Доказываются дифференциально-геометрические свойства вещественных частей вещественных кубик Сегре и квартик Куммера. Изучаются группы автоморфизмов вещественных кубик Сегре, в частности, их действие на вещественных частях этих кубик.Библиография: 16 наименований.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2020;84(3):71-118
71-118
Об арифметике модифицированных групп классов иделей
Аннотация
Пусть $k$ – числовое поле и $S$, $T$ – множества точек поля $k$. Для любого простого $p$ мы определяем инвариант $\mathscr{G}=\mathscr{G}_p(k_\infty/k,S,T)$, связанный с группой Галуа максимального абелева расширения поля $k$, которое не разветвлено вне $S$ и вполне распадается в $T$. В основной теореме мы интерпретируем $\mathscr{G}$ в терминах другого арифметического объекта $\mathscr{U}$, затрагивающего различные группы единиц и использующего теорию родов, примененную к некоторым модулям, которые получены некоторыми техническими модификациями из групп иделей. Мы показываем, что эта интерпретация функториальна относительно $S$ и $T$ и, вследствие этого, приводит к интересным взаимосвязям арифметических объектов $\mathscr{G}$ и $\mathscr{U}$ при меняющихся $S$ и $T$. Наш подход и методы новы и отличны от классических методов теории родов для групп иделей. Преимущество новых методов на конечном уровне не только обобщает, но также усиливает некоторые известные результаты, затрагивающие максимальную $p$-абелеву проконечную группу Галуа поля $k$, не разветвленную вне $S$ и распадающуюся в $T$, в терминах арифметики некоторых единиц поля $k$. На бесконечном уровне наши методы связывают глубокую арифметику специальных единиц с арифметикой проконечных групп Галуа. Например, для специального выбора $S$ и $T$ инварианты $\mathscr{G}$ связаны с гипотезами Гросса (или Кузьмина–Гросса) и Леопольдта. Соответственно, функториальная интерпретация $\mathscr{G}$ при вариации $S$ и $T$ в специальных случаях включает интересные связи между гипотезами Гросса и Леопольдта, полученные более простым и конкретным образом. Как результат, мы высказываем предположение, что $\mathscr{G}$ конечен для всех конечных непересекающихся множеств $S$, $T$ над круговой $\mathbb{Z}_p$-башней поля $k$, что включает гипотезы Гросса и Леопольдта как специальные случаи.Библиография: 23 наименования.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2020;84(3):119-167
119-167
Об одном классе эллиптических краевых задач с параметром и разрывной нелинейностью
Аннотация
В ограниченной области изучается эллиптическая краевая задача с неоднородным граничным условием Дирихле, разрывной нелинейностью и положительным параметром, входящим в нелинейность мультипликативно. Нелинейность находится в правой части уравнения, равна нулю при неотрицательных значениях фазовой переменной и неположительна при отрицательных. Пусть $\widetilde{u}(x)$ – решение краевой задачи с нулевой правой частью уравнения (граничная функция предполагается положительной). Заменой $v(x)=u(x)-\widetilde{u}(x)$ исходная задача преобразуется к задаче с однородным краевым условием. Для нее $v(x)=0$ является решением при любом значении параметра. Значения параметра, при которых преобразованная задача имеет ненулевое решение, образуют спектр этой задачи. При некоторых дополнительных ограничениях строится итерационный процесс, который при определенном выборе начального приближения, сходится к минимальному полуправильному решению преобразованной задачи. Доказывается, что непустой спектр краевой задачи совпадает с лучом $[\lambda^*,+\infty)$, где $\lambda^*>0$. В качестве приложения рассматривается математическая модель Гольдштика об отрывных течениях несжимаемой жидкости. Для нее проверяется выполнение условий доказанной теоремы и устанавливается непустота спектра.Библиография: 37 наименований.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2020;84(3):168-184
168-184
Асимптотика приближения непрерывных периодических функций линейными средними их рядов Фурье
Аннотация
В статье получена асимптотическая формула для приближения индивидуальных периодических функций линейными средними рядов Фурье с погрешностью $\omega_{2m}(f;{1}/{n})$, $m\in\mathbb{N}$. Эта формула применима к средним Рисса, Гаусса–Вейерштрасса, Пикара и др. Результат является новым даже для средних арифметических частных сумм Фурье. Затем эта формула применена для определения асимптотики приближения одного класса функций. Случай положительных интегральных сверточных операторов рассмотрен отдельно.Библиография: 24 наименования.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2020;84(3):185-202
185-202