Rational and $p$-adic analogues of J. H. C. Whitehead's conjecture

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We show that subpresentations of aspherical prounipotent presentations over fields of characteristic zero and subpresentations of aspherical pro-$p$-presentations are aspherical. The results are regarded as affirmative answers to the rational and $p$-adic analogues of J. H. C. Whitehead conjecture. Methods of affine group schemes make it possible to unify the presentation for pro-$p$-groups and pro-unipotent groups in characteristic zero. This approach, in particular, allows us to put a rigour mathematical reason under the philosophy proposed by J.-P. Serre; applications of our results to the classical Whitehead's problem are discussed as well.

About the authors

Andrey Mikhaylovich Mikhovich

Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics, Lomonosov Moscow State University, Moscow

Author for correspondence.
Email: amikhovich@gmail.com
Candidate of physico-mathematical sciences, no status

References

  1. E. Abe, Hopf algebras, Transl. from the Japan., Cambridge Tracts in Math., 74, Cambridge Univ. Press, Cambridge–New York, 1980, xii+284 pp.
  2. D. J. Anick, “A rational homotopy analog of Whitehead's problem”, Algebra, algebraic topology and their interactions (Stockholm, 1983), Lecture Notes in Math., 1183, Springer-Verlag, Berlin, 1986, 28–31
  3. H. Bass, “Traces and Euler characteristics”, Homological group theory (Durham, 1977), London Math. Soc. Lecture Note Ser., 36, Cambridge Univ. Press, Cambridge–New York, 1979, 1–26
  4. G. Baumslag, E. Dyer, A. Heller, “The topology of discrete groups”, J. Pure Appl. Algebra, 16:1 (1980), 1–47
  5. A. J. Berrick, J. A. Hillman, “Whitehead's asphericity question and its relation to other open problems”, Algebraic topology and related topics, Trends Math., Birkhäuser/Springer, Singapore, 2019, 27–49
  6. M. Bestvina, N. Brady, “Morse theory and finiteness properties of groups”, Invent. Math., 129:3 (1997), 445–470
  7. W. A. Bogley, “J. H. C. Whitehead's asphericity question”, Two-dimensional homotopy and combinatorial group theory, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 197, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1993, 309–334
  8. A. K. Bousfield, D. M. Kan, Homotopy limits, completions and localizations, Lecture Notes in Math., 304, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1972, v+348 pp.
  9. R. Brown, J. Huebschmann, “Identities among relations”, Low-dimensional topology (Bangor, 1979), London Math. Soc. Lecture Note Ser., 48, Cambridge Univ. Press, Cambridge–New York, 1982, 153–202
  10. R. Brown, J.-L. Loday, “Van Kampen theorems for diagrams of spaces”, With an appendix by M. Zisman, Topology, 26:3 (1987), 311–335
  11. P. Cartier, “A primer of Hopf algebras”, Frontiers in number theory, physics, and geometry. II, Springer-Verlag, Berlin, 2007, 537–615
  12. A. Deleanu, “On a theorem of Baumslag, Dyer and Heller linking group theory and topology”, Cah. Topol. Geom. Differ. Categ., 23:3 (1982), 231–242
  13. J. Dieudonne, Introduction to the theory of formal groups, Pure Appl. Math., 20, Marcel Dekker, Inc., New York, 1973, xii+265 pp.
  14. B. Eckmann, “Poincare duality groups of dimension two are surface groups”, Combinatorial group theory and topology (Alta, UT, 1984), Ann. of Math. Stud., 111, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1987, 35–51
  15. P. G. Goerss, J. F. Jardine, Simplicial homotopy theory, Progr. Math., 174, Birkhäuser Verlag, Basel, 1999, xvi+510 pp.
  16. A. Grothendieck, “Sur quelques points d'algèbre homologique”, Tohoku Math. J. (2), 9:2 (1957), 119–221
  17. A. Grothendieck, À la poursuite des champs, v. I, Doc. Math. (Paris), 20, Soc. Math. France, Paris, 2022, cxxi+446 pp.
  18. R. Hain, M. Matsumoto, “Weighted completion of Galois groups and Galois actions on the fundamental group of $mathbb{P}^1-{0,1,infty}$”, Compos. Math., 139:2 (2003), 119–167
  19. R. M. Hain, “Algebraic cycles and extensions of variations of mixed Hodge structure”, Complex geometry and Lie theory (Sundance, UT, 1989), Proc. Sympos. Pure Math., 53, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1991, 175–221
  20. А. Хатчер, Алгебраическая топология, МЦНМО, М., 2011, 688 с.
  21. G. Hochschild, J.-P. Serre, “Cohomology of group extensions”, Trans. Amer. Math. Soc., 74 (1953), 110–134
  22. J. Howie, “Bestvina–Brady groups and the plus construction”, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 127:3 (1999), 487–493
  23. Xу Сы-Цзян, Теория гомотопий, Мир, М., 1964, 468 с.
  24. J. C. Jantzen, Representations of algebraic groups, Math. Surveys Monogr., 107, 2nd ed., Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2003, xiv+576 pp.
  25. D. M. Kan, “A relation between $mathrm{CW}$-complexes and free c.s.s. groups”, Amer. J. Math., 81:2 (1959), 512–528
  26. K. P. Knudson, “Relative completions and the cohomology of linear groups over local rings”, J. Lond. Math. Soc. (2), 65:1 (2002), 183–203
  27. Х. Кох, Теория Галуа $p$-расширений, Мир, М., 1973, 199 с.
  28. A. Lubotzky, “Pro-finite presentations”, J. Algebra, 242:2 (2001), 672–690
  29. A. Lubotzky, A. Magid, “Cohomology of unipotent and prounipotent groups”, J. Algebra, 74:1 (1982), 76–95
  30. A. Lubotzky, A. R. Magid, “Cohomology, Poincare series, and group algebras of unipotent groups”, Amer. J. Math., 107:3 (1985), 531–553
  31. A. R. Magid, “Relation modules of prounipotent groups”, J. Algebra, 109:1 (1987), 52–68
  32. J. P. May, Simplicial objects in algebraic topology, Chicago Lectures in Math., Reprint of the 1967 original, Univ. Chicago Press, Chicago, IL, 1992, viii+161 pp.
  33. A. M. Mikhovich, “Quasirationality and prounipotent crossed modules”, J. Knot Theory Ramifications, 28:13 (2019), 1940012, 23 pp.
  34. A. Mikhovich, “Complete group rings as Hecke algebras”, Topology Appl., 275 (2020), 107027, 9 pp.
  35. A. M. Mikhovich, “Identity theorem for pro-$p$-groups”, Knots, low-dimensional topology and applications, Springer Proc. Math. Stat., 284, Springer, Cham, 2019, 363–387
  36. A. M. Mikhovich, Bousfield–Kan completions of subcontractible presentations, 2024, 10 pp.
  37. J. Milnor, “On spaces having the homotopy type of a $mathrm{CW}$-complex”, Trans. Amer. Math. Soc., 90:2 (1959), 272–280
  38. S. Montgomery, Hopf algebras and their actions on rings, CBMS Reg. Conf. Ser. Math., 82, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1993, xiv+238 pp.
  39. A. Mutlu, T. Porter, “Free crossed resolutions from simplicial resolutions with given CW-basis”, Cah. Topol. Geom. Differ. Categ., 40:4 (1999), 261–283
  40. T. Porter, Profinite algebraic homotopy
  41. D. Quillen, “Rational homotopy theory”, Ann. of Math. (2), 90:2 (1969), 205–295
  42. L. Ribes, P. Zalesskii, Profinite groups, Ergeb. Math. Grenzgeb. (3), 40, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin, 2010, xvi+464 pp.
  43. Н. С. Романовский, “О метабелевых про-$p$-группах с одним соотношением”, Алгебра и логика, 59:1 (2020), 116–122
  44. У. Рудин, Функциональный анализ, Мир, М., 1975, 443 с.
  45. Ж.-П. Серр, Алгебры Ли и группы Ли, Мир, М., 1969, 375 с.
  46. Ж. П. Серр, Когомологии Галуа, Мир, М., 1968, 208 с.
  47. И. Р. Шафаревич, “Основные понятия алгебры”, Алгебра – 1, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 11, ВИНИТИ, М., 1986, 5–279
  48. Д. Сулливан, Геометрическая топология. Локализация, периодичность и симметрия Галуа, Мир, М., 1975, 284 с.
  49. В. М. Цветков, “О профгруппах когомологической размерности два”, Докл. АН СССР, 271:6 (1983), 1329–1332
  50. A. Vezzani, The pro-unipotent completion
  51. W. C. Waterhouse, Introduction to affine group schemes, Grad. Texts in Math., 66, Springer-Verlag, New York–Berlin, 1979, xi+164 pp.
  52. J. H. C. Whitehead, “On adding relations to homotopy groups”, Ann. of Math. (2), 42:2 (1941), 409–428

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Mikhovich A.M.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».