Functions of class $C^\infty$ in non-commuting variablesin the context of triangular Lie algebras

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We construct a certain completion $C^\infty_\mathfrak{g}$ of the universalenveloping algebra of a triangular real Lie algebra $\mathfrak{g}$.It is a Frechet–Arens–Michael algebra that consists of elementsof polynomial growth and satisfies to the following universal property:every Lie algebra homomorphism from $\mathfrak{g}$ to a real Banach algebraall of whose elements are of polynomial growth has an extensionto a continuous homomorphism with domain $C^\infty_\mathfrak{g}$.Elements of this algebracan be calledfunctions of class $C^\infty$ in non-commuting variables.The proof is based on representation theory and employsan ordered $C^\infty$-functional calculus. Beyond the general case,we analyze two simple examples. As an auxiliary material, the basicsof the general theory of algebras of polynomial growthare developed. We also consider local variants of the completion and obtaina sheaf of non-commutative functions on the Gelfand spectrumof $C^\infty_\mathfrak{g}$ in the case when $\mathfrak{g}$ is nilpotent.In addition, we discuss the theory of holomorphic functions in non-commutingvariables introduced by Dosi andapply our methods to prove theorems strengthening some his results.

About the authors

Oleg Yurevich Aristov

Email: aristovoyu@inbox.ru
Candidate of physico-mathematical sciences, no status

References

  1. C. E. Rickart, General theory of Banach algebras, Univ. Ser. Higher Math., D. Van Nostrand Co., Inc., Princeton, NJ–Toronto–London–New York, 1960, xi+394 pp.
  2. A. Dosi, “Formally-radical functions in elements of a nilpotent Lie algebra and noncommutative localizations”, Algebra Colloq., 17:Special issue 1 (2010), 749–788
  3. М. В. Карасев, В. П. Маслов, Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантование, Наука, М., 1991, 368 с.
  4. C. Foiaş, “Une application des distributions vectorielles à la theorie spectrale”, Bull. Sci. Math. (2), 84 (1960), 147–158
  5. О. Ю. Аристов, Оболочки в классе банаховых алгебр полиномиального роста и $C^infty$-функции от конечного числа свободных переменных, 2022 (в печати)
  6. А. Я. Хелемский, Банаховы и полинормированные алгебры. Общая теория. Представления. Гомологии, Наука, М., 1989, 465 с.
  7. A. Dosi, “Taylor functional calculus for supernilpotent Lie algebra of operators”, J. Operator Theory, 63:1 (2010), 191–216
  8. B. Blackadar, J. Cuntz, “Differential Banach algebra norms and smooth subalgebras of $C^*$-algebras”, J. Operator Theory, 26:2 (1991), 255–282
  9. A. Rennie, “Smoothness and locality for nonunital spectral triples”, K-Theory, 28:2 (2003), 127–165
  10. A. Rennie, J. C. Varilly, Reconstruction of manifolds in noncommutative geometry
  11. Bingren Li, Real operator algebras, World Sci. Publ., River Edge, NJ, 2003, xiv+241 pp.
  12. P. Aiena, Fredholm and local spectral theory, with applications to multipliers, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2004, xiv+444 pp.
  13. M. Baillet, “Analyse spectrale des operateurs hermitiens d'un espace de Banach”, J. London Math. Soc. (2), 19:3 (1979), 497–508
  14. М. В. Карасев, “О вейлевском и упорядоченном исчислении некоммутирующих операторов”, Матем. заметки, 26:6 (1979), 885–907
  15. M. Arsenovic, D. Kečkic, “Elementary operators on Banach algebras and Fourier transform”, Studia Math., 173:2 (2006), 149–166
  16. V. Shulman, L. Turowska, “Beurling–Pollard type theorems”, J. Lond. Math. Soc. (2), 75:2 (2007), 330–342
  17. K. B. Laursen, M. M. Neumann, An introduction to local spectral theory, London Math. Soc. Monogr. (N.S.), 20, The Clarendon Press, Oxford Univ. Press, New York, 2000, xii+591 pp.
  18. I. Colojoară, C. Foiaş, Theory of generalized spectral operators, Math. Appl., 9, Gordon and Breach, Science Publishers, New York–London–Paris, 1968, xvi+232 pp.
  19. Ж.-П. Кахан, Абсолютно сходящиеся ряды Фурье, Мир, М., 1976, 203 с.
  20. I. Kaplansky, “Normed algebras”, Duke Math. J., 16:3 (1949), 399–418
  21. S. Grabiner, “The nilpotency of Banach nil algebras”, Proc. Amer. Math. Soc., 21:2 (1969), 510
  22. A. Mallios, Topological algebras. Selected topics, North-Holland Math. Stud., 124, Notas Mat., 109, North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1986, xx+535 pp.
  23. W. G. Bade, H. G. Dales, Z. A. Lykova, Algebraic and strong splittings of extensions of Banach algebras, Mem. Amer. Math. Soc., 137, no. 656, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, viii+113 pp.
  24. A. McIntosh, A. Pryde, “A functional calculus for several commuting operators”, Indiana Univ. Math. J., 36:2 (1987), 421–439
  25. Л. Хeрмандер, Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными, т. 1, Теория распределений и анализ Фурье, Мир, М., 1986, 464 с.
  26. E. Albrecht, “Funktionalkalküle in mehreren Veränderlichen für stetige lineare Operatoren auf Banachräumen”, Manuscripta Math., 14 (1974), 1–40
  27. I. Moerdijk, G. E. Reyes, Models for smooth infinitesimal analysis, Springer-Verlag, New York, 1991, x+399 pp.
  28. J. Eschmeier, M. Putinar, Spectral decompositions and analytic sheaves, London Math. Soc. Monogr. (N.S.), 10, The Clarendon Press, Oxford Univ. Press, New York, 1996, x+362 pp.
  29. D. Beltiţă, M. Şabac, Lie algebras of bounded operators, Oper. Theory Adv. Appl., 120, Birkhäuser Verlag, Basel, 2001, viii+219 pp.
  30. W. Rudin, Real and complex analysis, 3rd ed., McGraw-Hill Book Co., New York, 1987, xiv+416 pp.
  31. Э. Б. Винберг, В. В. Горбацевич, А. Л. Онищик, “Строение групп и алгебр Ли”, Группы Ли и алгебры Ли – 3, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 41, ВИНИТИ, М., 1990, 5–253
  32. F. Trèves, Topological vector spaces, distributions and kernels, Academic Press, New York–London, 1967, xvi+624 pp.
  33. А. Я. Хелемский, Лекции по функциональному анализу, МЦНМО, М., 2004, 552 с.
  34. J. Hilgert, K.-H. Neeb, Structure and geometry of Lie groups, Springer Monogr. Math., Springer, New York, 2012, x+744 pp.
  35. Ю. В. Туровский, “Коммутативность по модулю радикала Джекобсона ассоциативных оболочек некоторых алгебр Ли”, Спектральная теория операторов и ее приложения, 8, Элм, Баку, 1987, 199–211
  36. Р. Нарасимхан, Анализ на действительных и комплексных многообразиях, Мир, М., 1971, 232 с.
  37. L. Bungart, “Holomorphic functions with values in locally convex spaces and applications to integral formulas”, Trans. Amer. Math. Soc., 111:2 (1964), 317–344
  38. J. A. Navarro Gonzalez, J. B. Sancho de Salas, $C^infty$-differentiable spaces, Lecture Notes in Math., 1824, Springer-Verlag, Berlin, 2003, xiv+188 pp.
  39. The Stacks project
  40. О. Ю. Аристов, “Пучки некоммутативных гладких и голоморфных функций, ассоциированные с неабелевой двумерной алгеброй Ли”, Матем. заметки, 112:1 (2022), 20–30
  41. M. Kapranov, “Noncommutative geometry based on commutator expansions”, J. Reine Angew. Math., 1998:505 (1998), 73–118
  42. O. Yu. Aristov, “Arens–Michael envelopes of nilpotent Lie algebras, holomorphic functions of exponential type and homological epimorphisms”, Тр. ММО, 81, no. 1, МЦНМО, М., 2020, 117–136
  43. O. Yu. Aristov, Holomorphically finitely generated Hopf algebras and quantum Lie groups
  44. Б. В. Шабат, Введение в комплексный анализ, т. II, Функции нескольких переменных, 2-е изд., Наука, М., 1976, 402 с.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2022 Aristov O.Y.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».