Функции класса $C^\infty$ от некоммутирующих переменных в контексте треугольных алгебр Ли
- Авторы: Аристов О.Ю.
- Выпуск: Том 86, № 6 (2022)
- Страницы: 5-46
- Раздел: Статьи
- URL: https://bakhtiniada.ru/1607-0046/article/view/133884
- DOI: https://doi.org/10.4213/im9236
- ID: 133884
Цитировать
Открытый доступ
Доступ предоставлен
Только для подписчиков
Аннотация
Для каждой треугольной действительной алгебры Ли $\mathfrak{g}$ построено пополнение $C^\infty_\mathfrak{g}$ ее универсальной обертывающей алгебры. Оно является действительной алгеброй Фреше–Аренса–Майкла, состоящей из элементов полиномиального роста и удовлетворяющей следующему универсальному свойству: любой гомоморфизм алгебр Ли из $\mathfrak{g}$ в действительную банахову алгебру, все элементы которой имеют полиномиальный рост, может быть продолжен до непрерывного гомоморфизма из $C^\infty_\mathfrak{g}$. Элементы $C^\infty_\mathfrak{g}$ могут быть названы функциями класса $C^\infty$ от некоммутирующих переменных. Доказательство опирается на теорию представлений и использует упорядоченное $C^\infty$-функциональное исчисление. Помимо общего случая мы разбираем два простых примера. В качестве вспомогательного материала развиты начала общей теории алгебр полиномиального роста. Кроме того, рассмотрены локальные варианты пополнения и показано, что в нильпотентном случае возможно построить пучок некоммутативных функций на спектре Гельфанда алгебры $C^\infty_\mathfrak{g}$. Мы также обсуждаем теорию голоморфных функций некоммутирующих переменных, предложенную Доси, и используем наши методы для доказательства теорем, усиливающих некоторые его утверждения.Библиография: 44 наименования.
Об авторах
Олег Юрьевич Аристов
Email: aristovoyu@inbox.ru
кандидат физико-математических наук, без звания
Список литературы
- C. E. Rickart, General theory of Banach algebras, Univ. Ser. Higher Math., D. Van Nostrand Co., Inc., Princeton, NJ–Toronto–London–New York, 1960, xi+394 pp.
- A. Dosi, “Formally-radical functions in elements of a nilpotent Lie algebra and noncommutative localizations”, Algebra Colloq., 17:Special issue 1 (2010), 749–788
- М. В. Карасев, В. П. Маслов, Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантование, Наука, М., 1991, 368 с.
- C. Foiaş, “Une application des distributions vectorielles à la theorie spectrale”, Bull. Sci. Math. (2), 84 (1960), 147–158
- О. Ю. Аристов, Оболочки в классе банаховых алгебр полиномиального роста и $C^infty$-функции от конечного числа свободных переменных, 2022 (в печати)
- А. Я. Хелемский, Банаховы и полинормированные алгебры. Общая теория. Представления. Гомологии, Наука, М., 1989, 465 с.
- A. Dosi, “Taylor functional calculus for supernilpotent Lie algebra of operators”, J. Operator Theory, 63:1 (2010), 191–216
- B. Blackadar, J. Cuntz, “Differential Banach algebra norms and smooth subalgebras of $C^*$-algebras”, J. Operator Theory, 26:2 (1991), 255–282
- A. Rennie, “Smoothness and locality for nonunital spectral triples”, K-Theory, 28:2 (2003), 127–165
- A. Rennie, J. C. Varilly, Reconstruction of manifolds in noncommutative geometry
- Bingren Li, Real operator algebras, World Sci. Publ., River Edge, NJ, 2003, xiv+241 pp.
- P. Aiena, Fredholm and local spectral theory, with applications to multipliers, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2004, xiv+444 pp.
- M. Baillet, “Analyse spectrale des operateurs hermitiens d'un espace de Banach”, J. London Math. Soc. (2), 19:3 (1979), 497–508
- М. В. Карасев, “О вейлевском и упорядоченном исчислении некоммутирующих операторов”, Матем. заметки, 26:6 (1979), 885–907
- M. Arsenovic, D. Kečkic, “Elementary operators on Banach algebras and Fourier transform”, Studia Math., 173:2 (2006), 149–166
- V. Shulman, L. Turowska, “Beurling–Pollard type theorems”, J. Lond. Math. Soc. (2), 75:2 (2007), 330–342
- K. B. Laursen, M. M. Neumann, An introduction to local spectral theory, London Math. Soc. Monogr. (N.S.), 20, The Clarendon Press, Oxford Univ. Press, New York, 2000, xii+591 pp.
- I. Colojoară, C. Foiaş, Theory of generalized spectral operators, Math. Appl., 9, Gordon and Breach, Science Publishers, New York–London–Paris, 1968, xvi+232 pp.
- Ж.-П. Кахан, Абсолютно сходящиеся ряды Фурье, Мир, М., 1976, 203 с.
- I. Kaplansky, “Normed algebras”, Duke Math. J., 16:3 (1949), 399–418
- S. Grabiner, “The nilpotency of Banach nil algebras”, Proc. Amer. Math. Soc., 21:2 (1969), 510
- A. Mallios, Topological algebras. Selected topics, North-Holland Math. Stud., 124, Notas Mat., 109, North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1986, xx+535 pp.
- W. G. Bade, H. G. Dales, Z. A. Lykova, Algebraic and strong splittings of extensions of Banach algebras, Mem. Amer. Math. Soc., 137, no. 656, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, viii+113 pp.
- A. McIntosh, A. Pryde, “A functional calculus for several commuting operators”, Indiana Univ. Math. J., 36:2 (1987), 421–439
- Л. Хeрмандер, Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными, т. 1, Теория распределений и анализ Фурье, Мир, М., 1986, 464 с.
- E. Albrecht, “Funktionalkalküle in mehreren Veränderlichen für stetige lineare Operatoren auf Banachräumen”, Manuscripta Math., 14 (1974), 1–40
- I. Moerdijk, G. E. Reyes, Models for smooth infinitesimal analysis, Springer-Verlag, New York, 1991, x+399 pp.
- J. Eschmeier, M. Putinar, Spectral decompositions and analytic sheaves, London Math. Soc. Monogr. (N.S.), 10, The Clarendon Press, Oxford Univ. Press, New York, 1996, x+362 pp.
- D. Beltiţă, M. Şabac, Lie algebras of bounded operators, Oper. Theory Adv. Appl., 120, Birkhäuser Verlag, Basel, 2001, viii+219 pp.
- W. Rudin, Real and complex analysis, 3rd ed., McGraw-Hill Book Co., New York, 1987, xiv+416 pp.
- Э. Б. Винберг, В. В. Горбацевич, А. Л. Онищик, “Строение групп и алгебр Ли”, Группы Ли и алгебры Ли – 3, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 41, ВИНИТИ, М., 1990, 5–253
- F. Trèves, Topological vector spaces, distributions and kernels, Academic Press, New York–London, 1967, xvi+624 pp.
- А. Я. Хелемский, Лекции по функциональному анализу, МЦНМО, М., 2004, 552 с.
- J. Hilgert, K.-H. Neeb, Structure and geometry of Lie groups, Springer Monogr. Math., Springer, New York, 2012, x+744 pp.
- Ю. В. Туровский, “Коммутативность по модулю радикала Джекобсона ассоциативных оболочек некоторых алгебр Ли”, Спектральная теория операторов и ее приложения, 8, Элм, Баку, 1987, 199–211
- Р. Нарасимхан, Анализ на действительных и комплексных многообразиях, Мир, М., 1971, 232 с.
- L. Bungart, “Holomorphic functions with values in locally convex spaces and applications to integral formulas”, Trans. Amer. Math. Soc., 111:2 (1964), 317–344
- J. A. Navarro Gonzalez, J. B. Sancho de Salas, $C^infty$-differentiable spaces, Lecture Notes in Math., 1824, Springer-Verlag, Berlin, 2003, xiv+188 pp.
- The Stacks project
- О. Ю. Аристов, “Пучки некоммутативных гладких и голоморфных функций, ассоциированные с неабелевой двумерной алгеброй Ли”, Матем. заметки, 112:1 (2022), 20–30
- M. Kapranov, “Noncommutative geometry based on commutator expansions”, J. Reine Angew. Math., 1998:505 (1998), 73–118
- O. Yu. Aristov, “Arens–Michael envelopes of nilpotent Lie algebras, holomorphic functions of exponential type and homological epimorphisms”, Тр. ММО, 81, no. 1, МЦНМО, М., 2020, 117–136
- O. Yu. Aristov, Holomorphically finitely generated Hopf algebras and quantum Lie groups
- Б. В. Шабат, Введение в комплексный анализ, т. II, Функции нескольких переменных, 2-е изд., Наука, М., 1976, 402 с.
Дополнительные файлы
