Blow-up and global solubility in the classical sense of the Cauchy problem for a formally hyperbolic equation with a non-coercive source
- Authors: Korpusov M.O.1,2
-
Affiliations:
- Lomonosov Moscow State University
- Peoples' Friendship University of Russia
- Issue: Vol 84, No 5 (2020)
- Pages: 119-150
- Section: Articles
- URL: https://bakhtiniada.ru/1607-0046/article/view/133822
- DOI: https://doi.org/10.4213/im8880
- ID: 133822
Cite item
Open Access
Access granted
Subscription Access
Abstract
We consider an abstract Cauchy problem with non-linear operator coefficients and prove the existence of a uniquenon-extendable classical solution. Under certain sufficient close-to-necessary conditions, we obtainfinite-time blow-up conditions and upper and lower bounds for the blow-up time. Moreover, under certain sufficientclose-to-necessary conditions, we obtain a result on the existence of a global-in-time solutionindependently of the size of the initial functions.
About the authors
Maxim Olegovich Korpusov
Lomonosov Moscow State University; Peoples' Friendship University of Russia
Email: korpusov@gmail.com
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor
References
- H. A. Levine, “Some nonexistence and instability theorems for solutions of formally parabolic equations of the form $Pu_t=-Au+mathscr F(u)$”, Arch. Rational. Mech. Anal., 51 (1973), 371–386
- H. A. Levine, “Instability and nonexistence of global solutions to nonlinear wave equations of the form $Pu_{tt}=-Au+mathscr F(u)$”, Trans. Amer. Math. Soc., 192 (1974), 1–21
- B. Straughan, “Further global nonexistence theorems for abstract nonlinear wave equations”, Proc. Amer. Math. Soc., 48:2 (1975), 381–390
- В. К. Калантаров, О. А. Ладыженская, “О возникновении коллапсов для квазилинейных уравнений параболического и гиперболического типов”, Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 10, Зап. науч. сем. ЛОМИ, 69, Изд-во «Наука», Ленинград. отд., Л., 1977, 77–102
- H. A. Levine, J. Serrin, “Global nonexistence theorems for quasilinear evolution equations with dissipation”, Arch. Rational Mech. Anal., 137:4 (1997), 341–361
- H. A. Levine, Sang Ro Park, J. Serrin, “Global existence and nonexistence theorems for quasilinear evolution equations of formally parabolic type”, J. Differential Equations, 142:1 (1998), 212–229
- P. Pucci, J. Serrin, “Some new results on global nonexistence for abstract evolution with positive initial energy”, Topol. Methods Nonlinear Anal., 10:2 (1997), 241–247
- P. Pucci, J. Serrin, “Global nonexistence for abstract evolution equations with positive initial energy”, J. Differential Equations, 150:1 (1998), 203–214
- H. A. Levine, G. Todorova, “Blow up of solutions of the Cauchy problem for a wave equation with nonlinear damping and source terms and positive initial energy”, Proc. Amer. Math. Soc., 129:3 (2001), 793–805
- М. О. Корпусов, “Разрушение решений обобщенного уравнения Клейна–Гордона с сильной диссипацией”, Изв. РАН. Сер. матем., 77:2 (2013), 109–138
- М. О. Корпусов, “О разрушении решения одной нелинейной системы уравнений с положительной энергией в теории поля”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 58:3 (2018), 447–458
- B. A. Bilgin, V. K. Kalantarov, “Non-existence of global solutions to nonlinear wave equations with positive initial energy”, Commun. Pure Appl. Anal., 17:3 (2018), 987–999
- V. Georgiev, G. Todorova, “Existence of a solution of the wave equation with nonlinear damping and source terms”, J. Differential Equations, 109:2 (1994), 295–308
- S. A. Messaoudi, “Blow up and global existence in a nonlinear viscoelastic wave equation”, Math. Nachr., 260 (2003), 58–66
- S. A. Messaoudi, “Blow-up of positive-initial-energy solutions of a nonlinear viscoelastic hyperbolic equation”, J. Math. Anal. Appl., 320:2 (2006), 902–915
- М. О. Корпусов, “О разрушении решений класса сильно нелинейных уравнений типа Соболева”, Изв. РАН. Сер. матем., 68:4 (2004), 151–204
- М. О. Корпусов, А. Г. Свешников, “О разрушении решений класса сильно нелинейных волновых диссипативных уравнений типа Соболева с источниками”, Изв. РАН. Сер. матем., 69:4 (2004), 89–128
- М. О. Корпусов, А. А. Панин, “О разрушении решения абстрактной задачи Коши для формально гиперболического уравнения с двойной нелинейностью”, Изв. РАН. Сер. матем., 78:5 (2014), 91–142
- A. B. Al'shin, M. O. Korpusov, A. G. Sveshnikov, Blow-up in nonlinear Sobolev type equations, De Gruyter Ser. Nonlinear Anal. Appl., 15, Walter de Gruyter & Co., Berlin, 2011, xii+648 pp.
- М. И. Рабинович, “Автоколебания распределенных систем”, Изв. вузов. Радиофизика, 17:4 (1974), 477–510
- Д. Ч. Ким, “Видеосолитоны в дисперсной линии передачи с нелинейной емкостью $p-n$-перехода”, ЖТФ, 83:3 (2013), 31–40
- В. М. Журавлев, “Автоволны в двухпроводных линиях с нелинейным активным элементом экспоненциального типа”, Письма в ЖЭТФ, 75:1 (2002), 11–16
- М. О. Корпусов, “О разрушении решений волновых уравнений в системах с распределенными параметрами”, ТМФ, 167:2 (2011), 206–213
- М. О. Корпусов, “О разрушении решений нелинейных уравнений типа уравнения Хохлова–Заболотской”, ТМФ, 194:3 (2018), 403–417
- M. O. Korpusov, D. V. Lukyanenko, A. A. Panin, G. I. Shlyapugin, “On the blow-up phenomena for a 1-dimensional equation of ion-sound waves in a plasma: analytical and numerical investigation”, Math. Methods Appl. Sci., 41:8 (2018), 2906–2929
- M. O. Korpusov, D. V. Lukyanenko, “Instantaneous blow-up versus local solvability for one problem of propagation of nonlinear waves in semiconductors”, J. Math. Anal. Appl., 459:1 (2018), 159–181
- М. О. Корпусов, Д. В. Лукьяненко, А. А. Панин, Е. В. Юшков, “О разрушении решений одного полного нелинейного уравнения ионно-звуковых волн в плазме с некоэрцитивными нелинейностями”, Изв. РАН. Сер. матем., 82:2 (2018), 43–78
- А. А. Панин, Г. И. Шляпугин, “О локальной разрешимости и разрушении решений одномерных уравнений типа Ядзимы–Ойкавы–Сацумы”, ТМФ, 193:2 (2017), 179–192
- М. О. Корпусов, А. А. Панин, “О непродолжаемом решении и разрушении решения одномерного уравнения ионно-звуковых волн в плазме”, Матем. заметки, 102:3 (2017), 383–395
- М. О. Корпусов, Д. В. Лукьяненко, Е. А. Овсянников, А. А. Панин, “Локальная разрешимость и разрушение решения одного уравнения с квадратичной некоэрцитивной нелинейностью”, Вестн. ЮУрГУ. Сер. Матем. моделирование и программирование, 10:2 (2017), 107–123
- M. O. Korpusov, D. V. Lukyanenko, A. A. Panin, E. V. Yushkov, “Blow-up phenomena in the model of a space charge stratification in semiconductors: analytical and numerical analysis”, Math. Methods Appl. Sci., 40:7 (2017), 2336–2346
- Д. В. Лукьяненко, А. А. Панин, “Разрушение решения уравнения стратификации объемного заряда в полупроводниках: численный анализ при сведении исходного уравнения к дифференциально-алгебраической системе”, Выч. мет. программирование, 17:4 (2016), 437–446
- А. А. Панин, “Локальная разрешимость и разрушение решения для уравнения Розенау–Бюргерса с различными граничными условиями”, ТМФ, 177:1 (2013), 93–110
- М. О. Корпусов, А. А. Панин, “Локальная разрешимость и разрушение решения для уравнения Бенджамена–Бона–Махони–Бюргерса с нелокальным граничным условием”, ТМФ, 175:2 (2013), 159–172
- M. O. Korpusov, D. V. Lukyanenko, A. A. Panin, E. V. Yushkov, “Blow-up for one Sobolev problem: theoretical approach and numerical analysis”, J. Math. Anal. Appl., 442:2 (2016), 451–468
- Э. Митидиери, С. И. Похожаев, “Априорные оценки и отсутствие решений нелинейных уравнений и неравенств в частных производных”, Тр. МИАН, 234, Наука, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2001, 3–383
- Х. Гаевский, К. Грегер, К. Захариас, Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения, Мир, М., 1978, 336 с.
- А. А. Панин, “О локальной разрешимости и разрушении решения абстрактного нелинейного интегрального уравнения Вольтерра”, Матем. заметки, 97:6 (2015), 884–903
- В. И. Богачeв, О. Г. Смолянов, Действительный и функциональный анализ, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, М.–Ижевск, 2009, 724 с.
- А. Картан, Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы, Мир, М., 1971, 392 с.
- Б. П. Демидович, Лекции по математической теории устойчивости, Наука, М., 1967, 472 с.
Supplementary files
