Mathematical scattering theory in electromagnetic waveguides
- Authors: Plamenevskii B.A.1, Poretskii A.S.1, Sarafanov O.V.1
-
Affiliations:
- St. Petersburg State University, Faculty of Physics
- Issue: Vol 89, No 1 (2025)
- Pages: 54-114
- Section: Articles
- URL: https://bakhtiniada.ru/1607-0046/article/view/303937
- DOI: https://doi.org/10.4213/im9498
- ID: 303937
Cite item
Open Access
Access granted
Subscription Access
Abstract
A waveguide occupying a 3D domain $G$ with several cylindrical outlets to infinity is described bythe non-stationary Maxwell system with conductive boundary conditions. Dielectric permittivity and magnetic permeability are assumed to be positive definite matrices $\varepsilon(x)$ and $\mu(x)$ depending on a point $x$ in $G$. At infinity, in each cylindrical outlet, thematrix-valued functions converge with exponential rate to matrix-valued functions that do not depend on the axial coordinate of the cylinder.For the corresponding stationary problem with spectral parameter, we define continuous spectrum eigenfunctions and the scattering matrix. The non-stationary Maxwell system is extended up to an equation of the form $i \partial_t \mathcal{U}(x,t)=\mathcal{A}(x,D_x)\mathcal{U}(x,t)$ with elliptic operator $\mathcal{A}(x,D_x)$. We associate with the equation a boundary value problem and, for an appropriate couple of such problems, construct the scattering theory. We calculate the wave operators, define the scattering operator,and describe its relation to the scattering matrix. From the obtained results we extract information about the original Maxwell system.
About the authors
Boris Alekseevich Plamenevskii
St. Petersburg State University, Faculty of Physics
Email: boris.plamen@gmail.com
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor
Aleksandr S. Poretskii
St. Petersburg State University, Faculty of Physics
Email: poras1990@list.ru
Candidate of physico-mathematical sciences
Oleg Vasil'evich Sarafanov
St. Petersburg State University, Faculty of Physics
Author for correspondence.
Email: saraf@math.nw.ru
Doctor of physico-mathematical sciences
References
- Б. А. Пламеневский, А. С. Порецкий, О. В. Сарафанов, “Математическая теория рассеяния в электромагнитных волноводах”, Докл. РАН. Физ., техн. науки, 503:1 (2022), 23–27
- П. Д. Лакс, Р. С. Филлипс, Теория рассеяния, Мир, М., 1971, 312 с.
- М. Рид, Б. Саймон, Методы современной математической физики, т. 3, Мир, М., 1982, 445 с.
- Д. Р. Яфаев, Математическая теория рассеяния. Общая теория, Изд-во С.-Петербург. ун-та, СПб., 1994, 423 с.
- D. R. Yafaev, Mathematical scattering theory. Analytic theory, Math. Surveys Monogr., 158, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2010, xiv+444 pp.
- D. Colton, R. Kress, Inverse acoustic and electromagnetic scattering theory, Appl. Math. Sci., 93, 3rd ed., Springer, New York, 2013, xiv+405 pp.
- P. Monk, Finite element methods for Maxwell's equations, Numer. Math. Sci. Comput., Oxford Univ. Press, New York, 2003, xiv+450 pp.
- М. Ш. Бирман, М. З. Соломяк, “Самосопряженный оператор Максвелла в произвольных областях”, Алгебра и анализ, 1:1 (1989), 96–110
- Л. А. Вайнштейн, Теория дифракции и метод факторизации, Сов. радио, М., 1966, 431 с.
- Е. И. Нефедов, А. Т. Фиалковский, Асимптотическая теория дифракции электромагнитных волн на конечных структурах, Наука, М., 1972, 204 с.
- Р. Миттра, С. Ли, Аналитические методы теории волноводов, Мир, М., 1974, 328 с.
- P. Exner, H. Kovar̆ik, Quantum waveguides, Theoret. Math. Phys., 22, Springer, Cham, 2015, xxii+382 pp.
- С. А. Назаров, Б. А. Пламеневский, Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей, Наука, М., 1991, 336 с.
- А. С. Ильинский, В. В. Кравцов, А. Г. Свешников, Математические модели электродинамики, Уч. пособ. для вузов, Высшая школа, М., 1991, 224 с.
- Т. Н. Галишникова, А. С. Ильинский, Метод интегральных уравнений в задачах дифракции волн, МАКС Пресс, М., 2013, 248 с.
- А. Н. Боголюбов, А. Л. Делицын, А. Г. Свешников, “О задаче возбуждения волновода с неоднородным заполнением”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 39:11 (1999), 1869–1888
- А. Н. Боголюбов, А. Л. Делицын, А. Г. Свешников, “Об условиях разрешимости задачи возбуждения радиоволновода”, Докл. АН СССР, 370:4 (2000), 453–456
- А. Л. Делицын, “О постановке краевых задач для системы уравнений Максвелла в цилиндре и их разрешимости”, Изв. РАН. Сер. матем., 71:3 (2007), 61–112
- П. Е. Краснушкин, Е. И. Моисеев, “О возбуждении вынужденных колебаний в слоистом радиоволноводе”, Докл. АН СССР, 264:5 (1982), 1123–1127
- Б. А. Пламеневский, А. С. Порецкий, “Система Максвелла в волноводах с несколькими цилиндрическими выходами на бесконечность и неоднородным анизотропным заполнением”, Алгебра и анализ, 29:2 (2017), 89–126
- C. I. Goldstein, “Eigenfunction expansions associated with the Laplacian for certain domains with infinite boundaries. I”, Trans. Amer. Math. Soc., 135 (1969), 1–31
- W. C. Lyford, “A two Hilbert space scattering theorem”, Math. Ann., 217:3 (1975), 257–261
- W. C. Lyford, “Spectral analysis of the Laplacian in domains with cylinders”, Math. Ann., 218:3 (1975), 229–251
- W. C. Lyford, “Asymptotic energy propagation and scattering of waves in waveguides with cylinders”, Math. Ann., 219:3 (1976), 193–212
- R. Picard, S. Seidler, “A remark on two Hilbert space scattering theory”, Math. Ann., 269:3 (1984), 411–415
- D. Krejčiřik, R. Tiedra de Aldecoa, “The nature of the essential spectrum in curved quantum waveguides”, J. Phys. A, 37:20 (2004), 5449–5466
- M. Melgaard, “Scattering properties for a pair of Schrödinger type operators on cylindrical domains”, Cent. Eur. J. Math., 5:1 (2007), 134–153
- R. B. Melrose, The Atiyah–Patody–Singer index theorem, Res. Notes Math., 4, A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 1993, xiv+377 pp.
- T. Christiansen, “Scattering theory for manifolds with asymptotically cylindrical ends”, J. Func. Anal., 131:2 (1995), 499–530
- R. Picard, “On the low frequency asymptotics in electromagnetic theory”, J. Reine Angew. Math., 354 (1984), 50–73
- T. Ohmura, “A new formulation on the electromagnetic field”, Progr. Theoret. Phys., 16:6 (1956), 684–685
- И. С. Гудович, С. Г. Крейн, Краевые задачи для переопределенных систем уравнений в частных производных, Дифференциальные уравнения и их применения. Тр. сем., 9, Ин-т физ. и матем. АН Лит.ССР, Вильнюс, 1974, 146 с.
- Б. А. Пламеневский, А. С. Порецкий, О. В. Сарафанов, “Математическая теория рассеяния в квантовых волноводах”, Докл. РАН, 489:2 (2019), 142–146
- Б. А. Пламеневский, А. С. Порецкий, О. В. Сарафанов, “Математическая теория рассеяния в квантовых и акустических волноводах”, Проблемы матем. анализа, 115 (2022), 87–110
- Т. Като, Теория возмущений линейных операторов, Мир, М., 1972, 740 с.
- B. A. Plamenevskii, “On spectral properties of elliptic problems in domains with cylindrical ends”, Nonlinear equations and spectral theory, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 220, Adv. Math. Sci., 59, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2007, 123–139
- М. С. Агранович, М. И. Вишик, “Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида”, УМН, 19:3(117) (1964), 53–161
- Б. А. Пламеневский, А. С. Порецкий, “О поведении волноводных матриц рассеяния в окрестности порогов”, Алгебра и анализ, 30:2 (2018), 188–237
- В. Г. Мазья, Пространства С. Л. Соболева, Изд-во Ленингр. ун-та, Л., 1985, 416 с.
Supplementary files
