On $T$-maps and ideals of antiderivatives of hypersurface singularities

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

Mather–Yau's theorem leads to an extensive study about moduli algebras of isolated hypersurface singularities. In this paper, the Tjurina ideal is generalized as $T$-principal ideals of certain $T$-maps for Noetherian algebras. Moreover, we introduce the ideal of antiderivatives of a $T$-map, which creates many new invariants. Firstly, we compute two new invariants associated with ideals of antiderivatives for ADE singularities and conjecture a general pattern of polynomial growth of these invariants.Secondly, the language of $T$-maps is applied to generalize the well-known theorem that the Milnor number of a semi quasi-homogeneous singularity is equal to that of its principal part. Finally, we use the $T$- fullness and $T$-dependence conditions to determine whether an ideal is a $T$-principal ideal and provide a constructive way of giving a generator of a $T$-principal ideal. As a result, the problem about reconstruction of a hypersurface singularitiy from its generalized moduli algebras is solved. It generalizes the results of Rodrigues in the cases of the $0$th and $1$st moduli algebra, which inspired our solution.Bibliography: 24 titles.

About the authors

Quan Shi

Department of Mathematical Sciences, School of Sciences, Tsinghua University; Tsinghua University

Author for correspondence.
Email: shiq20@mails.tsinghua.edu.cn

Stephen S.-T. Yau

Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications; Department of Mathematical Sciences, School of Sciences, Tsinghua University

Email: yau@uic.edu

PhD, Professor

Huaiqing Tsin Zuo

Department of Mathematical Sciences, School of Sciences, Tsinghua University

Email: hqzuo@mail.tsinghua.edu.cn

References

  1. В. И. Арнольд, “Критические точки гладких функций и их нормальные формы”, УМН, 30:5(185) (1975), 3–65
  2. М. Атья, И. Макдональд, Введение в коммутативную алгебру, Мир, М., 1972, 160 с.
  3. J. Àlvarez Montaner, J. Jeffries, L. Nuñez-Betancourt, “Bernstein–Sato polynomials in commutative algebra”, Commutative algebra, Springer, Cham, 2021, 1–76
  4. Y. Boubakri, G.-M. Greuel, T. Markwig, “Normal forms of hypersurface singularities in positive characteristic”, Mosc. Math. J., 11:4 (2011), 657–683
  5. Bingyi Chen, N. Hussain, S. S.-T. Yau, Huaiqing Zuo, “Variation of complex structures and variation of Lie algebras II: new Lie algebras arising from singularities”, J. Differential Geom., 115:3 (2020), 437–473
  6. A. Dimca, R. Gondim, G. Ilardi, “Higher order Jacobians, Hessians and Milnor algebras”, Collect. Math., 71:3 (2020), 407–425
  7. D. Eisenbud, Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry, Graduate Texts in Math., 150, Springer-Verlag, New York, 1995, xvi+785 pp.
  8. R. Epure, M. Schulze, “Hypersurface singularities with monomial Jacobian ideal”, Bull. Lond. Math. Soc., 54:3 (2022), 1067–1081
  9. G.-M. Greuel, C. Lossen, E. Shustin, Introduction to singularities and deformations, Springer Monogr. Math., Springer, Berlin, 2007, xii+471 pp.
  10. G.-M. Greuel, C. Lossen, E. Shustin, Corrections and additions to the book “Introduction to singularities and deformations”, preprint, 2023
  11. Р. Хартсхорн, Алгебраическая геометрия, Мир, М., 1981, 600 с.
  12. N. Hussain, Zhiwen Liu, S. S.-T. Yau, Huaiqing Zuo, “$k$th Milnor numbers and $k$th Tjurina numbers of weighted homogeneous singularities”, Geom. Dedicata, 217:2 (2023), 34, 35 pp.
  13. N. Hussain, Guorui Ma, S. S.-T. Yau, Huaiqing Zuo, “Higher Nash blow-up local algebras of singularities and its derivation Lie algebras”, J. Algebra, 618 (2023), 165–194
  14. N. Hussain, S. S.-T. Yau, Huaiqing Zuo, “Inequality conjectures on derivations of local $k$th Hessain algebras associated to isolated hypersurface singularities”, Math. Z., 298:3-4 (2021), 1813–1829
  15. J. Igusa, An introduction to the theory of local zeta functions, AMS/IP Stud. Adv. Math., 14, Amer. Math. Soc., Providence, RI; Int. Press, Cambridge, MA, 2000, xii+232 pp.
  16. H. Matsumura, Commutative algebra, Math. Lecture Note Ser., 56, 2nd ed., Benjamin/Cummings Publishing Co., Inc., Reading, MA, 1980, xv+313 pp.
  17. J. N. Mather, S. S.-T. Yau, “Classification of isolated hypersurface singularities by their moduli algebras”, Invent. Math., 69:2 (1982), 243–251
  18. Guorui Ma, S. S.-T. Yau, Huaiqing Zuo, “$k$-th singular locus moduli algebras of singularities and their derivation Lie algebras”, J. Math. Phys., 64:3 (2023), 031701, 13 pp.
  19. J. H. Olmedo Rodrigues, “On Tjurina ideals of hypersurface singularities”, J. Commut. Algebra, 15:2 (2023), 261–274
  20. J. H. Olmedo Rodrigues, “Reconstruction of a hypersurface singularity from its moduli algebra”, Res. Math. Sci., 11:1 (2024), 12, 15 pp.
  21. J. J. Rotman, Advanced modern algebra, Grad. Stud. Math., 114, 2nd ed., Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2010, xvi+1008 pp.
  22. D. van Straten, The spectrum of hypersurface singularities, 2020
  23. S. S.-T. Yau, “A necessary and sufficient condition for a local commutative algebra to be a moduli algebra: weighted homogeneous case”, Complex analytic singularities, Adv. Stud. Pure Math., 8, North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1987, 687–697

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 Ши Ц., Yau S.S., Цзо Х.T.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».