Chebyshev sets composed of a union of subspaces in asymmetric normed spaces

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

By definition, a Chebyshev set is a set of existence and uniqueness, that is, any point has a unique best approximant from this set. We study properties of Chebyshev sets composed of finitely or countably many planes (closed affine subspaces, possibly degenerated to points). We show that a finite union of planes is a Chebyshev set if and only if is a Chebyshev plane. Under some conditions on a space or a set, we show that a countable union of planes is never a Chebyshev set (unless this union is a Chebyshev plane itself). As a corollary, we give the following partial answer to the Efimov–Stechkin–Klee problem on convexity of Chebyshev sets in Hilbert spaces: in such spaces (and, more generally, in reflexive CLUR-spaces), an at most countable union of planes is a Chebyshev set if and only if this set is a Chebyshev plane. Results of this kind are obtained both in usual normed linear spaces and in spaces with asymmetric norm.

About the authors

Alexey Rostislavovich Alimov

Lomonosov Moscow State University; Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences; Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics

Email: alexey.alimov@gmail.com
ORCID iD: 0000-0001-8806-1593
Scopus Author ID: 7007117638
ResearcherId: M-3902-2015
Doctor of physico-mathematical sciences, Head Scientist Researcher

Igor' Germanovich Tsar'kov

Lomonosov Moscow State University

Email: tsar@mech.math.msu.su
ORCID iD: 0000-0002-5943-3711
Scopus Author ID: 6602443197
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. A. R. Alimov, I. G. Tsar'kov, “Chebyshev unions of planes, and their approximative and geometric properties”, J. Approx. Theory, 298 (2024), 106009, 12 pp.
  2. И. Г. Царьков, “Чебышевские множества с кусочно-непрерывной метрической проекцией”, Матем. заметки, 113:6 (2023), 905–917
  3. Kiryung Lee, Y. Bresler, “Efficient and guaranteed rank minimization by atomic decomposition”, 2009 IEEE international symposium on information theory (Seoul, 2009), IEEE, 2009, 314–318
  4. C. Hegde, P. Indyk, L. Schmidt, “Approximation algorithms for model-based compressive sensing”, IEEE Trans. Inform. Theory, 61:9 (2015), 5129–5147
  5. V. E. Ismailov, Ridge functions and applications in neural networks, Math. Surveys Monogr., 263, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2021, ix+186 pp.
  6. R. A. DeVore, “Nonlinear approximation”, Acta Numer., 7, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1998, 51–150
  7. A. R. Alimov, H. Berens, “Examples of Chebyshev sets in matrix spaces”, J. Approx. Theory, 99:1 (1999), 44–53
  8. A. G. Robertson, “Strongly Chebyshev subspaces of matrices”, J. Approx. Theory, 55:3 (1988), 264–269
  9. А. Р. Алимов, И. Г. Царьков, “Связность и солнечность в задачах наилучшего и почти наилучшего приближения”, УМН, 71:1(427) (2016), 3–84
  10. A. R. Alimov, I. G. Tsar'kov, Geometric approximation theory, Springer Monogr. Math., Springer, Cham, 2021, xxi+508 pp.
  11. М. Г. Крейн, “$L$-проблема в абстрактном линейном нормированном пространстве”, О некоторых вопросах теории моментов, ГОНТИ, Харьков, 1938, 171–199
  12. V. Donjuan, N. Jonard-Perez, “Separation axioms and covering dimension of asymmetric normed spaces”, Quaest. Math., 43:4 (2020), 467–491
  13. Ş. Cobzaş, Functional analysis in asymmetric normed spaces, Front. Math., Birkhäuser/Springer Basel AG, Basel, 2013, x+219 pp.
  14. А. Р. Алимов, К. С. Рютин, И. Г. Царьков, “Вопросы существования, единственности и устойчивости наилучших и почти наилучших приближений”, УМН, 78:3(471) (2023), 3–52
  15. A. R. Alimov, I. G. Tsar'kov, “Connectedness and approximative properties of sets in asymmetric spaces”, Filomat, 38:9 (2024), 3243–3259
  16. A. R. Alimov, I. G. Tsar'kov, “Smoothness of subspace sections of the unit balls of $C(Q)$ and $L^1$”, J. Approx. Theory, 265 (2021), 105552, 8 pp.
  17. A. R. Alimov, I. G. Tsar'kov, “Suns, moons, and $mathring{B}$-complete sets in asymmetric spaces”, Set-Valued Var. Anal., 30:3 (2022), 1233–1245
  18. Th. Jahn, Ch. Richter, “Coproximinality of linear subspaces in generalized Minkowski spaces”, J. Math. Anal. Appl., 504:1 (2021), 125351, 10 pp.
  19. И. Г. Царьков, “Равномерная выпуклость в несимметричных пространствах”, Матем. заметки, 110:5 (2021), 773–785
  20. И. Г. Царьков, “Непрерывные выборки из многозначных отображений и аппроксимация в несимметричных и полулинейных пространствах”, Изв. РАН. Сер. матем., 87:4 (2023), 205–224
  21. I. G. Tsarkov, “Uniformly and locally convex asymmetric spaces”, Russ. J. Math. Phys., 29:1 (2022), 141–148
  22. A. R. Alimov, I. G. Tsar'kov, “Ball-complete sets and solar properties of sets in asymmetric spaces”, Results Math., 77:2 (2022), 86, 15 pp.
  23. A. R. Alimov, I. G. Tsar'kov, “Solarity and proximinality in generalized rational approximation in spaces $C(Q)$ and $L^p$”, Russ. J. Math. Phys., 29:3 (2022), 291–305
  24. А. Р. Алимов, И. Г. Царьков, “$B$-полные множества и их аппроксимативные и структурные свойства”, Сиб. матем. журн., 63:3 (2022), 500–509
  25. С. В. Конягин, И. Г. Царьков, “Пространства Ефимова–Стечкина”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 1986, № 5, 20–27
  26. И. Г. Царьков, “О связности некоторых классов множеств в банаховых пространствах”, Матем. заметки, 40:2 (1986), 174–196
  27. М. Г. Крейн, А. А. Нудельман, Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи, Идеи и проблемы П. Л. Чебышева и А. А. Маркова и их дальнейшее развитие, Наука, М., 1973, 551 с.
  28. R. J. Duffin, L. A. Karlovitz, “Formulation of linear programs in analysis. I. Approximation theory”, SIAM J. Appl. Math., 16:4 (1968), 662–675
  29. Е. А. Севастьянов, “О проблеме Хаара для знакочувствительных аппроксимаций”, Матем. сб., 188:2 (1997), 95–128
  30. Е. П. Долженко, Е. А. Севастьянов, “Аппроксимации со знакочувствительным весом (теоремы существования и единственности)”, Изв. РАН. Сер. матем., 62:6 (1998), 59–102
  31. А. В. Покровский, “О наилучшем несимметричном приближении в пространствах непрерывных функций”, Изв. РАН. Сер. матем., 70:4 (2006), 175–208
  32. A. R. Alimov, “Strict protosuns in asymmetric spaces of continuous functions”, Results Math., 78:3 (2023), 95, 15 pp.
  33. I. G. Tsar'kov, “Properties of suns in the spaces $L^1$ and $C(Q)$”, Russ. J. Math. Phys., 28:3 (2021), 398–405

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 Алимов А.R., Царьков И.G.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».