A functional realization of the Gelfand–Tsetlin base

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

A realization of a finite dimensional irreducible representation of the Lie algebra $\mathfrak{gl}_n$ in the space of functions on the group $\mathrm{GL}_n$ is considered.It is proved that functions corresponding to Gelfand–Tsetlin diagrams are linear combinations of some new functions of hypergeometric type which are closely related to $A$-hypergeometric functions. These new functions are solution of a system of partial differential equations whichfollows from the Gelfand–Kapranov–Zelevinsky by an “antisymmetrization”. The coefficients in the constructed linear combination are hypergeometric constants, that is, they are values of some hypergeometric functions when instead of all arguments ones are substituted.Bibliography: 16 titles.

About the authors

Dmitrii Vyacheslavovich Artamonov

Lomonosov Moscow State University

Author for correspondence.
Email: artamonov.dmitri@gmail.com
Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor

References

  1. И. М. Гельфанд, М. Л. Цетлин, “Конечномерные представления группы унимодулярных матриц”, Докл. АН СССР, 71:5 (1950), 825–828
  2. G. E. Baird, L. C. Biedenharn, “On the representations of semisimple Lie groups. II”, J. Math. Phys., 4:12 (1963), 1449–1466
  3. Д. В. Артамонов, “Коэффициенты Клебша–Гордана для $mathfrak{gl}_3$ и гипергеометрические функции”, Алгебра и анализ, 33:1 (2021), 1–29
  4. П. А. Валиневич, “Построение базиса Гельфанда–Цетлина для представлений основной унитарной серии алгебры $sl_n(mathbb{C})$”, ТМФ, 198:1 (2019), 162–174
  5. V. K. Dobrev, P. Truini, “Polynomial realization of $U_q(mathrm{sl}(3))$ Gel'fand–(Weyl)–Zetlin basis”, J. Math. Phys., 38:7 (1997), 3750–3767
  6. V. K. Dobrev, A. D. Mitov, P. Truini, “Normalized $U_q(mathrm{sl}(3))$ Gel'fand–(Weyl)–Zetlin basis and new summation formulas for $q$-hypergeometric functions”, J. Math. Phys., 41:11 (2000), 7752–7768
  7. Д. В. Артамонов, “Базис типа Гельфанда–Цетлина для алгебры $mathfrak{sp}_4$ и гипергеометрические функции”, ТМФ, 206:3 (2021), 279–294
  8. Д. П. Желобенко, Компактные группы Ли и их представления, Наука, М., 1970, 664 с.
  9. И. М. Гельфанд, М. И. Граев, В. С. Ретах, “Общие гипергеометрические системы уравнений и ряды гипергеометрического типа”, УМН, 47:4(286) (1992), 3–82
  10. D. V. Artamonov, “Formula for the product of Gauss hypergeometric functions and applications”, J. Math. Sci. (N.Y.), 249 (2020), 817–826
  11. И. М. Гельфанд, А. В. Зелевинский, М. М. Капранов, “Гипергеометрические функции и торические многообразия”, Функц. анализ и его прил., 23:2 (1989), 12–26
  12. J. Kamnitzer, “Geometric constructions of the irreducible representations of $GL_n$”, Geometric representation theory and extended affine Lie algebras (Ottawa, 2009), Fields Inst. Commun., 59, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2011, 1–18
  13. V. Guillemin, S. Sternberg, “The Gelfand–Cetlin system and quantization of the complex flag manifolds”, J. Funct. Anal., 52:1 (1983), 106–128
  14. Т. М. Садыков, А. К. Цих, Гипергеометрические и алгебраические функции многих переменных, Наука, М., 2014, 408 с.
  15. E. Miller, B. Sturmfels, Combinatorial commutative algebra, Grad. Texts in Math., 227, Springer-Verlag, New York, 2005, xiv+417 pp.
  16. Р. Л. Грэхем, Д. Э. Кнут, О. Паташник, Конкретная математика. Основание информатики, Мир, М., 1998, 703 с.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML

Copyright (c) 2023 Артамонов Д.V.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».