Functional and analytic properties of a class of mappings in quasi-conformal analysis

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We define a two-index scale $\mathcal Q_{q,p}$, $n-1< q\leq p<\infty$, of homeomorphisms of spatial domains in $\mathbb R^n$, the geometric description of which is determined by the control of the behaviour of the $q$-capacity of condensers in the target space in terms of the weighted $p$-capacity of condensers in the source space. We obtain an equivalent functional and analytic description of $\mathcal Q_{q,p}$ based on the properties of the composition operator (from weighted Sobolev spaces to non-weighted ones) induced by the inverses of the mappings in $\mathcal Q_{q,p}$.
When $q=p=n$, the class of mappings $\mathcal Q_{n,n}$ coincides with the set of so-called $Q$-homeomorphisms which have been studied extensively in the last 25 years.

About the authors

Sergei Konstantinovich Vodopyanov

Sobolev Institute of Mathematics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: vodopis@math.nsc.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Aleksei Olegovich Tomilov

Sobolev Institute of Mathematics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences

Email: atomilov115@mail.ru

References

  1. С. Л. Соболев, Некоторые применения функционального анализа в математической физике, 3-е изд., перераб. и доп., Наука, М., 1988, 334 с.
  2. В. Г. Мазья, Классы множеств и теоремы вложения функциональных классов. Некоторые проблемы теории эллиптических операторов, Автореферат дисс. … канд. физ.-матем. наук, Изд-во Ленингр. ун-та, Л., 1961
  3. Ю. Г. Решетняк, Пространственные отображения с ограниченным искажением, Наука, Новосибирск, 1982, 286 с.
  4. G. D. Mostow, “Quasi-conformal mappings in $n$-space and the rigidity of hyperbolic space forms”, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math., 34:1 (1968), 53–104
  5. J. Väisälä, Lectures on $n$-dimensional quasiconformal mappings, Lecture Notes in Math., 229, Springer–Verlag, Berlin, 1971, xiv+144 pp.
  6. F. W. Gehring, “Lipschitz mappings and $p$-capacity of rings in $n$-space”, Advances in the theory of Riemann surfaces (Stony Brook, NY, 1969), Ann. of Math. Studies, 66, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1971, 175–193
  7. С. К. Водопьянов, В. М. Гольдштейн, “Структурные изоморфизмы пространств $W_n^1$ и квазиконформные отображения”, Сиб. матем. журн., 16:2 (1975), 224–246
  8. H. M. Reimann, “Über harmonische Kapazität und quasikonforme Abbildungen in Raum”, Comment. Math. Helv., 44 (1969), 284–307
  9. J. Lelong-Ferrand, “Etude d'une classe d'applications liees à des homomorphismes d'algebres de fonctions, et generalisant les quasi conformes”, Duke Math. J., 40 (1973), 163–186
  10. С. П. Пономарев, “$N^{-1}$-свойство отображений и условие $(N)$ Лузина”, Матем. заметки, 58:3 (1995), 411–418
  11. С. К. Водопьянов, Формула Тейлора и функциональные пространства, Учебное пособие, НГУ, Новосибирск, 1988, 96 с.
  12. С. К. Водопьянов, “Отображения однородных групп и вложения функциональных пространств”, Сиб. матем. журн., 30:5 (1989), 25–41
  13. С. К. Водопьянов, “Весовые пространства Соболева и теория отображений”, Всесоюзная математическая школа “Теория потенциала”, Тез. докл. (Кацивели, 1991), Ин-т матем. АН УСCP, Киев, 1991, 7
  14. С. К. Водопьянов, Геометрические аспекты пространств обобщенно-дифференцируемых функций, Автореферат дисс. … докт. физ.-матем. наук, Изд-во Ин-та матем. им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, 1992, 38 с.
  15. P. Koskela, P. Pankka, Yi Ru-Ya Zhang, Ahlfors reflection theorem for $p$-morphisms
  16. С. Сакс, Теория интеграла, ИЛ, М., 1949, 496 с.
  17. П. Халмош, Теория меры, ИЛ, М., 1953, 291 с.
  18. T. Rado, P. V. Reichelderfer, Continuous transformations in analysis. With an introduction to algebraic topology, Grundlehren Math. Wiss., LXXV, Springer-Verlag, Berlin–Göttingen–Heidelberg, 1955, vii+442 pp.
  19. Г. Федерер, Геометрическая теория меры, Наука, М., 1987, 760 с.
  20. V. Gol'dshtein, L. Gurov, A. Romanov, “Homeomorphisms that induce monomorphisms of Sobolev spaces”, Israel J. Math., 91:1-3 (1995), 31–60
  21. M. Troyanov, S. Vodop'yanov, “Liouville type theorems for mappings with bounded (co)-distortion”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 52:6 (2002), 1753–1784
  22. В. Г. Мазья, Пространства С. Л. Соболева, Изд-во Ленингр. ун-та, Л., 1985, 416 с.
  23. J. Heinonen, T. Kilpeläinen, O. Martio, Nonlinear potential theory of degenerate elliptic equations, Oxford Math. Monogr., The Clarendon Press, Oxford Univ. Press, New York, 1993, vi+363 pp.
  24. А. Д. Ухлов, “Отображения, порождающие вложения пространств Соболева”, Сиб. матем. журн., 34:1 (1993), 185–192
  25. С. К. Водопьянов, А. Д. Ухлов, “Пространства Соболева и $(P,Q)$-квазиконформные отображения групп Карно”, Сиб. матем. журн., 39:4 (1998), 776–795
  26. С. К. Водопьянов, А. Д. Ухлов, “Операторы суперпозиции в пространствах Соболева”, Изв. вузов. Матем., 2002, № 10, 11–33
  27. С. K. Водопьянов, “О регулярности отображений, обратных к соболевским”, Матем. сб., 203:10 (2012), 3–32
  28. A. Molchanova, S. Vodopyanov, “Injectivity almost everywhere and mappings with finite distortion in nonlinear elasticity”, Calc. Var. Partial Differential Equations, 59:1 (2020), 17, 25 pp.
  29. O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, Moduli in modern mapping theory, Springer Monogr. Math., Springer, New York, 2009, xii+367 pp.
  30. С. К. Водопьянов, “Операторы композиции весовых пространства Соболева и теория $mathscr Q_p$-гомеоморфизмов”, Докл. РАН, 494:5 (2020), 21–25
  31. С. К. Водопьянов, А. Д. Ухлов, “Операторы суперпозиции в пространствах Лебега и дифференцируемость квазиаддитивных функций множества”, Владикавк. матем. журн., 4:1 (2002), 11–33
  32. С. К. Водопьянов, “О регулярности отображений, обратных к соболевским, и теория $mathcal Q_{q,p}$-гомеоморфизмов”, Сиб. матем. журн., 61:6 (2020), 1257–1299
  33. Ю. Г Решетняк, “Некоторые геометрические свойства функций и отображений с обобщенными производными”, Сиб. матем. журн., 7:4 (1966), 886–919
  34. B. Bojarski, T. Iwaniec, “Analytical foundations of the theory of quasiconformal mappings in ${R}^{n}$”, Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I Math., 8:2 (1983), 257–324
  35. J. Maly, O. Martio, “Lusin's condition $(N)$ and mappings of the class $W^{1, n}$”, J. Reine Angew. Math., 1995:458 (1995), 19–36
  36. С. К. Водопьянов, “О дифференцируемости отображений классов Соболева на группе Карно”, Матем. сб., 194:6 (2003), 67–86
  37. Л. К. Эванс, Р. Ф. Гариепи, Теория меры и тонкие свойства функций, Научная книга, Новосибирск, 2002, 206 с.
  38. P. Hajlasz, “Change of variables formula under minimal assumptions”, Colloq. Math., 64:1 (1993), 93–101
  39. С. К. Водопьянов, “О дифференцируемости отображений класса Соболева $W^1_{n-1}$ с условиями на функцию искажения”, Сиб. матем. журн., 59:6 (2018), 1240–1267
  40. G. B. Folland, E. M. Stein, Hardy spaces on homogeneous groups, Math. Notes, 28, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ; Univ. of Tokyo Press, Tokyo, 1982, xii+285 pp.
  41. И. Стейн, Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций, Мир, М., 1973, 342 с.
  42. Ю. А. Брудный, Б. Д. Котляр, “Одна задача комбинаторной геометрии”, Сиб. матем. журн., 11:5 (1970), 1171–1173
  43. С. К. Водопьянов, “Об аналитических и геометрических свойствах отображений в теории $mathscr Q_{q,p}$-гомеоморфизмов”, Матем. заметки, 108:6 (2020), 925–929
  44. С. К. Водопьянов, “Основы квазиконформного анализа двухиндексной шкалы пространственных отображений”, Сиб. матем. журн., 59:5 (2018), 1020–1056
  45. A. Н. Байкин, С. К. Водопьянов, “Емкостные оценки, теоремы типа Лиувилля и об устранении особенностей для отображений с ограниченным $(p,q)$-искажением”, Сиб. матем. журн., 56:2 (2015), 290–321
  46. A. Ukhlov, S. K. Vodopyanov, “Mappings associated with weighted Sobolev spaces”, Complex analysis and dynamical systems III, Contemp. Math., 455, Israel Math. Conf. Proc., Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2008, 369–382
  47. С. К. Водопьянов, “Пространства дифференциальных форм и отображения с контролируемым искажением”, Изв. РАН. Сер. матем., 74:4 (2010), 5–32
  48. В. И. Кругликов, “Емкости конденсаторов и пространственные отображения, квазиконформные в среднем”, Матем. сб., 130(172):2(6) (1986), 185–206
  49. С. К. Водопьянов, “Об эквивалентности двух подходов к задачам квазиконформного анализа”, Сиб. матем. журн., 62:5 (2021) (в печати)
  50. R. R. Salimov, E. A. Sevost'yanov, “$ACL$ and differentiability of open discrete ring $(p, Q)$-mappings”, Mat. Stud., 35:1 (2011), 28–36
  51. В. И. Рязанов, Е. А. Севостьянов, “Равностепенная непрерывность квазиконформных в среднем отображений”, Сиб. матем. журн., 52:3 (2011), 665–679
  52. Р. Р. Салимов, “Абсолютная непрерывность на линиях и дифференцируемость одного обобщения квазиконформных отображений”, Изв. РАН. Сер. матем, 72:5 (2008), 141–148
  53. R. Salimov, “$ACL$ and differentiability of $Q$-homeomorphisms”, Ann. Acad. Sci. Fenn. Math., 33:1 (2008), 295–301
  54. Р. Р. Салимов, Е. А. Севостьянов, “Теория кольцевых $Q$-отображений в геометрической теории функций”, Матем. сб., 201:6 (2010), 131–158
  55. E. A. Sevost'yanov, S. A. Skvortsov, On behavior of homeomorphisms with inverse modulus conditions
  56. Р. Р. Салимов, Е. А. Севостьянов, “О некоторых локальных свойствах пространственных обобщенных квазиизометрий”, Матем. заметки, 101:4 (2017), 594–610
  57. R. Salimov, “On $Q$-homeomorphisms with respect to $p$-modulus”, Ann. Univ. Buchar. Math. Ser., 2(LX):2 (2011), 207–213
  58. С. К. Водопьянов, “Монотонные функции и квазиконформные отображения на группах Карно”, Сиб. матем. журн., 37:6 (1996), 1269–1295

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2021 Водопьянов С.K., Томилов А.O.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».