On optimization of coherent and incoherent controls for two-level quantum systems

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

This article considers some control problems for closed and open two-level quantum systems. The closed system's dynamics is governed by the Schrödinger equation with coherent control. The open system's dynamics is governed by the Gorini–Kossakowski–Sudarshan–Lindblad master equation whose Hamiltonian depends on coherent control and superoperator of dissipation depends on incoherent control. For the closed system, we consider the problem for generation of the phase shift gate for some values of phases and final times for which we numerically show that zero coherent control, which is a stationary point of the objective functional, is not optimal; it gives an example of subtle point for practical solving quantum control problems. The two-stage method, which was developed in [A. Pechen, Phys. Rev. A., 84, 042106 (2011)] for generic $N$-level open quantum systems for approximate generation of a given target density matrix, is modified here for the case of two-level systems. We modify the first (“incoherent”) stage by numerically optimizing piecewise constant incoherent control instead of using constant incoherent control analytically computed using eigenvalues of the target density matrix. Exact analytical formulas are derived for the system's state evolution, the objective functions and their gradients for the modified first stage. These formulas are then applied in the two-step gradient projection method. The numerical simulations show that the modified first stage's duration can be significantly less than the unmodified first stage's duration, but at the cost of performing optimization in the class of piecewise constant controls.Bibliography: 72 titles.

Полный текст

Доступ закрыт

Об авторах

Олег Васильевич Моржин

Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук

Email: morzhin.oleg@yandex.ru
кандидат физико-математических наук, без звания

Александр Николаевич Печень

Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук; Национальный исследовательский технологический университет "МИСиС"

Email: apechen@gmail.com
доктор физико-математических наук, без звания

Список литературы

  1. C. P. Koch, U. Boscain, T. Calarco, G. Dirr, S. Filipp, S. J. Glaser, R. Kosloff, S. Montangero, T. Schulte-Herbrüggen, D. Sugny, F. K. Wilhelm, “Quantum optimal control in quantum technologies. Strategic report on current status, visions and goals for research in Europe”, EPJ Quantum Technol., 9 (2022), 19, 60 pp.
  2. S. J. Glaser, U. Boscain, T. Calarco, C. P. Koch, W. Köckenberger, R. Kosloff, I. Kuprov, B. Luy, S. Schirmer, T. Schulte-Herbrüggen, D. Sugny, F. K. Wilhelm, “Training Schrödinger's cat: quantum optimal control. Strategic report on current status, visions and goals for research in Europe”, Eur. Phys. J. D, 69:12 (2015), 279, 24 pp.
  3. А. Г. Бутковский, Ю. И. Самойленко, Управление квантовомеханическими процессами, Наука, М., 1984, 256 с.
  4. D. J. Tannor, Introduction to quantum mechanics: a time dependent perspective, Univ. Sci. Books, Sausalito, CA, 2007, 662 pp.
  5. V. S. Letokhov, Laser control of atoms and molecules, Oxford Univ. Press, Oxford, 2007, 328 pp.
  6. H. M. Wiseman, G. J. Milburn, Quantum measurement and control, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2010, xvi+460 pp.
  7. C. Brif, R. Chakrabarti, H. Rabitz, “Control of quantum phenomena: past, present and future”, New J. Phys., 12:7 (2010), 075008, 68 pp.
  8. K. W. Moore, A. Pechen, Xiao-Jiang Feng, J. Dominy, V. Beltrani, H. Rabitz, “Universal characteristics of chemical synthesis and property optimization”, Chem. Sci., 2:3 (2011), 417–424
  9. J. E. Gough, “Principles and applications of quantum control engineering”, Philos. Trans. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci., 370:1979 (2012), 5241–5258
  10. Xiaojiang Feng, A. Pechen, A. Jha, Rebing Wu, H. Rabitz, “Global optimality of fitness landscapes in evolution”, Chem. Sci., 3:3 (2012), 900–906
  11. C. P. Koch, “Controlling open quantum systems: tools, achievements, and limitations”, J. Phys. Condens. Matter, 28:21 (2016), 213001
  12. D. D'Alessandro, Introduction to quantum control and dynamics, Adv. Appl. Math., 2nd ed., CRC Press, Boca Raton, FL, 2021, xvi+400 pp.
  13. Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко, Математическая теория оптимальных процессов, Физматгиз, М., 1961, 391 с.
  14. U. Boscain, M. Sigalotti, D. Sugny, “Introduction to the Pontryagin maximum principle for quantum optimal control”, PRX Quantum, 2:3 (2021), 030203, 31 pp.
  15. А. А. Аграчев, Ю. Л. Сачков, Геометрическая теория управления, Физматлит, М., 2005, 392 с.
  16. T. Schulte-Herbrüggen, S. J. Glaser, G. Dirr, U. Helmke, “Gradient flows for optimization in quantum information and quantum dynamics: foundations and applications”, Rev. Math. Phys., 22:6 (2010), 597–667
  17. О. В. Моржин, А. Н. Печень, “Метод Кротова в задачах оптимального управления замкнутыми квантовыми системами”, УМН, 74:5(449) (2019), 83–144
  18. C. Altafini, “Controllability of open quantum systems: the two level case”, 2003 IEEE international workshop on workload characterization (St. Petersburg, 2003), v. 3, IEEE, 2003, 710–714
  19. J. Gough, V. P. Belavkin, O. G. Smolyanov, “Hamilton–Jacobi–Bellman equations for quantum optimal feedback control”, J. Opt. B Quantum Semiclass. Opt., 7:10 (2005), S237–S244
  20. B. Bonnard, M. Chyba, D. Sugny, “Time-minimal control of dissipative two-level quantum systems: the generic case”, IEEE Trans. Automat. Control, 54:11 (2009), 2598–2610
  21. D. Stefanatos, “Optimal design of minimum-energy pulses for Bloch equations in the case of dominant transverse relaxation”, Phys. Rev. A, 80:4 (2009), 045401, 3 pp.
  22. T. Caneva, M. Murphy, T. Calarco, R. Fazio, S. Montangero, V. Giovannetti, G. E. Santoro, “Optimal control at the quantum speed limit”, Phys. Rev. Lett., 103:24 (2009), 240501, 4 pp.
  23. G. C. Hegerfeldt, “Driving at the quantum speed limit: optimal control of a two-level system”, Phys. Rev. Lett., 111:26 (2013), 260501, 5 pp.
  24. V. E. Arkhincheev, “Control of quantum particle dynamics by impulses of magnetic field”, Nonlinear Dynam., 87:3 (2017), 1873–1877
  25. В. С. Владимиров, “Об интегро-дифференциальном уравнении переноса частиц”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 21:5 (1957), 681–710
  26. В. С. Владимиров, “Об уравнении переноса частиц”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 22:4 (1958), 475–490
  27. Xiaozhen Ge, Rebing Wu, H. Rabitz, “Optimization landscape of quantum control systems”, Complex System Model. Simulation, 1:2 (2021), 77–90
  28. A. N. Pechen, D. J. Tannor, “Are there traps in quantum control landscapes?”, Phys. Rev. Lett., 106:12 (2011), 120402, 3 pp.
  29. А. Н. Печень, Н. Б. Ильин, “Когерентное управление кубитом свободно от ловушек”, Избранные вопросы математической физики и анализа, Сборник статей. К 90-летию со дня рождения академика Василия Сергеевича Владимирова, Труды МИАН, 285, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2014, 244–252
  30. А. Н. Печень, Н. Б. Ильин, “Об экстремумах целевого функционала в задаче генерации однокубитных квантовых вентилей на малых временах”, Изв. РАН. Сер. матем., 80:6 (2016), 217–229
  31. A. Pechen, N. Il'in, “Control landscape for ultrafast manipulation by a qubit”, J. Phys. A, 50:7 (2017), 075301, 13 pp.
  32. B. O. Volkov, O. V. Morzhin, A. N. Pechen, “Quantum control landscape for ultrafast generation of single-qubit phase shift quantum gates”, J. Phys. A, 54:21 (2021), 215303, 23 pp.
  33. Б. О. Волков, А. Н. Печень, “О детальной структуре ландшафта задачи квантового управления для быстрой генерации однокубитных вентилей сдвига фазы”, Изв. РАН. Сер. матем., 87:5 (2023) (в печати)
  34. P. de Fouquieres, S. G. Schirmer, “A closer look at quantum control landscapes and their implication for control optimization”, Infin. Dimens. Anal. Quantum Probab. Relat. Top., 16:3 (2013), 1350021, 24 pp.
  35. M. Larocca, P. M. Poggi, D. A. Wisniacki, “Quantum control landscape for a two-level system near the quantum speed limit”, J. Phys. A, 51:38 (2018), 385305, 14 pp.
  36. D. V. Zhdanov, “Comment on 'Control landscapes are almost always trap free: a geometric assessment'”, J. Phys. A, 51:50 (2018), 508001, 8 pp.
  37. B. Russell, Rebing Wu, H. Rabitz, “Reply to comment on 'Control landscapes are almost always trap free: a geometric assessment'”, J. Phys. A, 51:50 (2018), 508002, 7 pp.
  38. A. Pechen, C. Brif, Rebing Wu, R. Chakrabarti, H. Rabitz, “General unifying features of controlled quantum phenomena”, Phys. Rev. A, 82:3 (2010), 030101(R), 4 pp.
  39. A. Pechen, H. Rabitz, “Unified analysis of terminal-time control in classical and quantum systems”, Europhys. Lett. EPL, 91:6 (2010), 60005, 6 pp.
  40. M. Dalgaard, F. Motzoi, J. Sherson, “Predicting quantum dynamical cost landscapes with deep learning”, Phys. Rev. A, 105:1 (2022), 012402, 12 pp.
  41. A. Pechen, D. Prokhorenko, Rebing Wu, H. Rabitz, “Control landscapes for two-level open quantum systems”, J. Phys. A, 41:4 (2008), 045205, 18 pp.
  42. A. Oza, A. Pechen, J. Dominy, V. Beltrani, K. Moore, H. Rabitz, “Optimization search effort over the control landscapes for open quantum systems with Kraus-map evolution”, J. Phys. A, 42:20 (2009), 205305, 22 pp.
  43. N. Khaneja, T. Reiss, C. Kehlet, T. Schulte-Herbrüggen, S. J. Glaser, “Optimal control of coupled spin dynamics: design of NMR pulse sequences by gradient ascent algorithms”, J. Magn. Reson., 172:2 (2005), 296–305
  44. R. Storn, K. Price, “Differential evolution – a simple and efficient heuristic for global optimization over continuous spaces”, J. Global Optim., 11:4 (1997), 341–359
  45. C. Tsallis, D. A. Stariolo, “Generalized simulated annealing”, Phys. A, 233:1-2 (1996), 395–406
  46. Y. Xiang, X. G. Gong, “Efficiency of generalized simulated annealing”, Phys. Rev. E, 62:3 (2000), 4473–4476
  47. A. Pechen, H. Rabitz, “Teaching the environment to control quantum systems”, Phys. Rev. A, 73:6 (2006), 062102, 6 pp.
  48. A. Pechen, “Engineering arbitrary pure and mixed quantum states”, Phys. Rev. A, 84:4 (2011), 042106, 6 pp.
  49. L. Accardi, Yun Gang Lu, I. Volovich, Quantum theory and its stochastic limit, Springer-Verlag, Berlin, 2002, xx+473 pp.
  50. R. Dümcke, “The low density limit for an $N$-level system interacting with a free Bose or Fermi gas”, Comm. Math. Phys., 97:3 (1985), 331–359
  51. L. Accardi, A. N. Pechen, I. V. Volovich, “Quantum stochastic equation for the low density limit”, J. Phys. A, 35:23 (2002), 4889–4902
  52. A. N. Pechen, “Quantum stochastic equation for a test particle interacting with a dilute Bose gas”, J. Math. Phys., 45:1 (2004), 400–417
  53. A. N. Pechen, “The multitime correlation functions, free white noise, and the generalized Poisson statistics in the low density limit”, J. Math. Phys., 47:3 (2006), 033507, 12 pp.
  54. A. N. Pechen, I. V. Volovich, “Quantum multipole noise and generalized quantum stochastic equations”, Infin. Dimens. Anal. Quantum Probab. Relat. Top., 5:4 (2002), 441–464
  55. В. В. Козлов, О. Г. Смолянов, “Функция Вигнера и диффузия в бесстолкновительной среде, состоящей из квантовых частиц”, Теория вероятн. и ее примен., 51:1 (2006), 109–125
  56. L. Lokutsievskiy, A. Pechen, “Reachable sets for two-level open quantum systems driven by coherent and incoherent controls”, J. Phys. A, 54:39 (2021), 395304, 20 pp.
  57. O. V. Morzhin, A. N. Pechen, “Minimal time generation of density matrices for a two-level quantum system driven by coherent and incoherent controls”, Internat. J. Theoret. Phys., 60:2 (2021), 576–584
  58. O. V. Morzhin, A. N. Pechen, “Maximization of the overlap between density matrices for a two-level open quantum system driven by coherent and incoherent controls”, Lobachevskii J. Math., 40:10 (2019), 1532–1548
  59. О. В. Моржин, А. Н. Печень, “Максимизация критерия Ульмана–Йожи для открытой двухуровневой квантовой системы с когерентным и некогерентным управлениями”, Физика элементарных частиц и атомного ядра (ЭЧАЯ), 51:4 (2020), 484–493
  60. О. В. Моржин, A. Н. Печень, “О множествах достижимости и управляемости в задаче оптимального быстродействия для открытой двухуровневой квантовой системы”, Труды МИАН, 313, Математика квантовых технологий (2021), 161–177
  61. V. N. Petruhanov, A. N. Pechen, “Optimal control for state preparation in two-qubit open quantum systems driven by coherent and incoherent controls via GRAPE approach”, Internat. J. Modern Phys. A, 37:20-21 (2022), 2243017, 18 pp.
  62. A. N. Pechen, S. Borisenok, A. L. Fradkov, “Energy control in a quantum oscillator using coherent control and engineered environment”, Chaos Solitons Fractals, 164 (2022), 112687, 8 pp.
  63. Md. Qutubuddin, K. E. Dorfman, “Incoherent control of optical signals: quantum-heat-engine approach”, Phys. Rev. Res., 3:2 (2021), 023029, 10 pp.
  64. А. С. Антипин, “Минимизация выпуклых функций на выпуклых множествах с помощью дифференциальных уравнений”, Дифференц. уравнения, 30:9 (1994), 1475–1486
  65. Б. Т. Поляк, “О некоторых способах ускорения сходимости итерационных методов”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 4:5 (1964), 791–803
  66. Б. Т. Поляк, Введение в оптимизацию, Наука, М., 1983, 384 с.
  67. A. Garon, S. J. Glaser, D. Sugny, “Time-optimal control of $operatorname{SU}(2)$ quantum operations”, Phys. Rev. A, 88:4 (2013), 043422, 12 pp.
  68. В. Ф. Демьянов, А. М. Рубинов, Приближенные методы решения экстремальных задач, Изд-во Ленинград. ун-та, Л., 1968, 180 с.
  69. Ф. П. Васильев, Методы оптимизации, Кн. 2, МЦНМО, М., 2011, 434 с.
  70. В. Е. Зобов, В. П. Шауро, “О влиянии фазового множителя на минимальное время реализации квантового вентиля”, ЖЭТФ, 145:1 (2014), 25–34
  71. В. В. Козлов, О. Г. Смолянов, “Математические структуры, связанные с описанием квантовых состояний”, Докл. РАН. Матем., информ., проц. упр., 501 (2021), 57–61
  72. В. К. Романко, Курс разностных уравнений, Физматлит, М., 2012, 200 с.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Моржин О.В., Печень А.Н., 2023

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».