The boundary behavior of $\mathcal Q_{p,q}$-homeomorphisms

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

This article studies systematically the boundary correspondence problem for $\mathcal Q_{p,q}$-homeomorphisms. The presented example demonstrates a deformation of the Euclidean boundary with the weight function degenerating on the boundary.

About the authors

Sergei Konstantinovich Vodopyanov

Sobolev Institute of Mathematics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences

Email: vodopis@math.nsc.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Anastasia Olegovna Molchanova

University of Vienna

Email: a.molchanova@math.nsc.ru
Candidate of physico-mathematical sciences, no status

References

  1. C. Caratheodory, “Über die Begrenzung einfach zusammenhängender Gebiete”, Math. Ann., 73:3 (1913), 323–370
  2. W. F. Osgood, E. H. Taylor, “Conformal transformations on the boundaries of their regions of definition”, Trans. Amer. Math. Soc., 14:2 (1913), 277–298
  3. Г. Д. Суворов, “Простые концы последовательности плоских областей, сходящейся к ядру”, Матем. сб., 33(75):1 (1953), 73–100
  4. D. B. A. Epstein, “Prime ends”, Proc. London Math. Soc. (3), 42:3 (1981), 385–414
  5. В. А. Зорич, “Соответствие границ при $Q$-квазиконформных отображениях шара”, Докл. АН СССР, 145:6 (1962), 1209–1212
  6. В. Зорич, “Определение граничных элементов посредством сечений”, Докл. АН СССР, 164:4 (1965), 736–739
  7. A. Björn, J. Björn, N. Shanmugalingam, “The {D}irichlet problem for $p$-harmonic functions with respect to the Mazurkiewicz boundary, and new capacities”, J. Differential Equations, 259:7 (2015), 3078–3114
  8. J. Milnor, Dynamics in one complex variable, Ann. of Math. Stud., 160, 3rd ed., Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 2006, viii+304 pp.
  9. L. Rempe, “On prime ends and local connectivity”, Bull. Lond. Math. Soc., 40:5 (2008), 817–826
  10. Г. Д. Суворов, Простые концы и последовательности плоских отображений, Наукова думка, Киев, 1986, 160 с.
  11. T. Adamowicz, A. Björn, J. Björn, N. Shanmugalingam, “Prime ends for domains in metric spaces”, Adv. Math., 238 (2013), 459–505
  12. T. Adamowicz, “Prime ends in metric spaces and quasiconformal-type mappings”, Anal. Math. Phys., 9:4 (2019), 1941–1975
  13. Д. А. Ковтонюк, В. И. Рязанов, “Простые концы и классы Орлича–Соболева”, Алгебра и анализ, 27:5 (2015), 81–116
  14. T. Kuusalo, “Quasiconformal mappings without boundary extensions”, Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I Math., 10 (1985), 331–338
  15. E. C. Schlesinger, “Conformal invariants and prime ends”, Amer. J. Math., 80 (1958), 83–102
  16. R. Näkki, Boundary behavior of quasiconformal mappings in $n$-space, Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I, 484, Suomalainen Tiedeakademia, Helsinki, 1970, 50 pp.
  17. R. Näkki, “Prime ends and quasiconformal mappings”, J. Anal. Math., 35 (1979), 13–40
  18. J. Väisälä, Lectures on $n$-dimensional quasiconformal mappings, Lecture Notes in Math., 229, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1971, xiv+144 pp.
  19. M. Vuorinen, Exceptional sets and boundary behavior of quasiregular mappings in $n$-space, Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I Math. Dissertationes, 11, Suomalainen Tiedeakatemia, Helsinki, 1976, 44 pp.
  20. M. Vuorinen, “On the boundary behavior of locally $K$-quasiconformal mappings in space”, Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I Math., 5:1 (1980), 79–95
  21. O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, Moduli in modern mapping theory, Springer Monogr. Math., Springer, New York, 2009, xii+367 pp.
  22. Е. А. Севостьянов, “О граничном продолжении и равностепенной непрерывности семейств отображений в терминах простых концов”, Алгебра и анализ, 30:6 (2018), 97–146
  23. M. Cristea, “Boundary behaviour of the mappings satisfying generalized inverse modular inequalities”, Complex Var. Elliptic Equ., 60:4 (2015), 437–469
  24. С. К. Водопьянов, “О граничном соответствии при квазиконформных отображениях пространственных областей”, Сиб. матем. журн., 16:3 (1975), 630–633
  25. В. М. Гольдштейн, С. К. Водопьянов, “Метрическое пополнение области при помощи конформной емкости, инвариантное при квазиконформных отображениях”, Докл. АН СССР, 238:5 (1978), 1040–1042
  26. С. К. Водопьянов, В. М. Гольдштейн, Ю. Г. Решетняк, “О геометрических свойствах функций с первыми обощенными производными”, УМН, 34:1(205) (1979), 17–65
  27. В. И. Кругликов, “Простые концы пространственных областей с переменными границами”, Докл. АН СССР, 297:5 (1987), 1047–1050
  28. С. K. Водопьянов, “О регулярности отображений, обратных к соболевским”, Матем. сб., 203:10 (2012), 3–32
  29. С. К. Водопьянов, “Операторы композиции весовых пространства Соболева и теория $mathscr Q_p$-гомеоморфизмов”, Докл. РАН. Матем., информ., проц. упр., 494 (2020), 21–25
  30. С. К. Водопьянов, “Об аналитических и геометрических свойствах отображений в теории $mathscr Q_{q,p}$-гомеоморфизмов”, Матем. заметки, 108:6 (2020), 925–929
  31. С. К. Водопьянов, “О регулярности отображений, обратных к соболевским, и теория $mathscr Q_{q,p}$-гомеоморфизмов”, Сиб. матем. журн., 61:6 (2020), 1257–1299
  32. С. К. Водопьянов, А. О. Томилов, “Функциональные и аналитические свойства одного класса отображений квазиконформного анализа”, Изв. РАН. Сер. матем., 85:5 (2021), 58–109
  33. С. К. Водопьянов, “Об эквивалентности двух подходов к задачам квазиконформного анализа”, Сиб. матем. журн., 62:6 (2021), 1252–1270
  34. С. К. Водопьянов, “О совпадении функций множества в квазиконформном анализе”, Матем. сб., 213:9 (2022), 3–33
  35. С. К. Водопьянов, “Основы квазиконформного анализа двухиндексной шкалы пространственных отображений”, Сиб. матем. журн., 59:5 (2018), 1020–1056
  36. С. К. Водопьянов, “О дифференцируемости отображений класса Соболева $W^1_{n-1}$ с условиями на функцию искажения”, Сиб. матем. журн., 59:6 (2018), 1240–1267
  37. А. Д. Ухлов, “Отображения, порождающие вложения пространств Соболева”, Сиб. матем. журн., 34:1 (1993), 185–192
  38. С. К. Водопьянов, А. Д. Ухлов, “Пространства Соболева и $(P,Q)$-квазиконформные отображения групп Карно”, Сиб. матем. журн., 39:4 (1998), 776–795
  39. С. К. Водопьянов, А. Д. Ухлов, “Операторы суперпозиции в пространствах Соболева”, Изв. вузов. Матем., 2002, № 10, 11–33
  40. С. Л. Соболев, Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Изд-во Ленингр. ун-та, Л., 1950, 255 с.
  41. В. Г. Мазья, Пространства С. Л. Соболева, Изд-во Ленингр. ун-та, Л., 1985, 416 с.
  42. Г. Д. Мостов, “Квазиконформные отображения в $n$-мерном пространстве и жесткость гиперболических пространственных форм”, Математика, 16:5 (1972), 105–157
  43. F. W. Gehring, “Lipschitz mappings and $p$-capacity of rings in $n$-space”, Advances in the theory of Riemann surfaces (Stony Brook, NY, 1969), Ann. of Math. Stud., 66, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1971, 175–193
  44. Ю. Г. Решетняк, Пространственные отображения с ограниченным искажением, Наука, Новосибирск, 1982, 286 с.
  45. F. W. Gehring, J. Väisälä, “The coefficients of quasiconformality of domains in space”, Acta Math., 114 (1965), 1–70
  46. H. M. Reimann, “Über harmonische Kapazität und quasikonforme Abbildungen im Raum”, Comment. Math. Helv., 44 (1969), 284–307
  47. J. Lelong-Ferrand, “Etude d'une classe d'applications liees à des homomorphismes d'algebres de fonctions, et generalisant les quasi-conformes”, Duke Math. J., 40 (1973), 163–186
  48. C. К. Водопьянов, “Допустимые замены переменных для функций классов Соболева на (суб)римановых многообразиях”, Матем. сб., 210:1 (2019), 63–112
  49. A. Molchanova, S. Vodopyanov, “Injectivity almost everywhere and mappings with finite distortion in nonlinear elasticity”, Calc. Var. Partial Differential Equations, 59:1 (2020), 17, 25 pp.
  50. J. Heinonen, T. Kilpeläinen, O. Martio, Nonlinear potential theory of degenerate elliptic equations, Oxford Math. Monogr., The Clarendon Press, Oxford Univ. Press, New York, 1993, vi+363 pp.
  51. T. Rado, P. V. Reichelderfer, Continuous transformations in analysis. With an introduction to algebraic topology, Grundlehren Math. Wiss., LXXV, Springer-Verlag, Berlin–Göttingen–Heidelberg, 1955, vii+442 pp.
  52. M. Гусман, Дифференцирование интегралов в $mathbb{R}^n$, Математика: новое в зарубежной науке, 9, Мир, М., 1978, 200 с.
  53. С. К. Водопьянов, А. Д. Ухлов, “Функции множества и их приложения в теории пространств Лебега и Соболева. I”, Матем. тр., 6:2 (2003), 14–65
  54. S. K. Vodopyanov, “On Poletsky-type modulus inequalities for some classes of mappings”, Владикавк. матем. журн., 24:4 (2022), 58–69
  55. D. V. Isangulova, S. K. Vodopyanov, “Coercive estimates and integral representation formulas on Carnot groups”, Eurasian Math. J., 1:3 (2010), 58–96
  56. Ю. Г. Решетняк, “О понятии емкости в теории функций с обобщенными производными”, Сиб. матем. журн., 10:5 (1969), 1109–1138
  57. Г. Е. Шилов, Математический анализ. Специальный курс, Физматгиз, М., 1961, 436 с.
  58. F. Hausdorff, Set theory, Transl. from the German, 2nd ed., Chelsea Publishing Co., New York, 1962, 352 pp.
  59. R. R. Salimov, E. A. Sevost'yanov, “$ACL$ and differentiability of open discrete ring $(p, Q)$-mappings”, Mat. Stud., 35:1 (2011), 28–36
  60. В. И. Рязанов, Е. А. Севостьянов, “Равностепенная непрерывность квазиконформных в среднем отображений”, Сиб. матем. журн., 52:3 (2011), 665–679
  61. Р. Р. Салимов, “Абсолютная непрерывность на линиях и дифференцируемость одного обобщения квазиконформных отображений”, Изв. РАН. Сер. матем., 72:5 (2008), 141–148
  62. R. Salimov, “$ACL$ and differentiability of $Q$-homeomorphisms”, Ann. Acad. Sci. Fenn. Math., 33:1 (2008), 295–301
  63. Р. Р. Салимов, Е. А. Севостьянов, “Теория кольцевых $Q$-отображений в геометрической теории функций”, Матем. сб., 201:6 (2010), 131–158
  64. E. Sevost'yanov, S. Skvortsov, On behavior of homeomorphisms with inverse modulus conditions, 2018
  65. Р. Р. Салимов, Е. А. Севостьянов, “О некоторых локальных свойствах пространственных обобщенных квазиизометрий”, Матем. заметки, 101:4 (2017), 594–610
  66. R. Salimov, “On $Q$-homeomorphisms with respect to $p$-modulus”, Ann. Univ. Buchar. Math. Ser., 2(LX):2 (2011), 207–213
  67. М. В. Трямкин, “Граничное соответствие для гомеоморфизмов с весовым ограниченным $(p,q)$-искажением”, Матем. заметки, 102:4 (2017), 632–636
  68. J. Hesse, “A $p$-extremal length and $p$-capacity equality”, Ark. Mat., 13:1-2 (1975), 131–144
  69. В. А. Шлык, “О равенстве $p$-емкости и $p$-модуля”, Сиб. матем. журн., 34:6 (1993), 216–221
  70. H. Aikawa, M. Ohtsuka, “Extremal length of vector measures”, Ann. Acad. Sci. Fenn. Math., 24:1 (1999), 61–88
  71. V. Gol'dshtein, A. Ukhlov, Boundary values of functions of Dirichlet spases $L^1_2$ on capacitary boundaries, 2014
  72. E. Afanas'eva, V. Ryazanov, R. Salimov, E. Sevost'yanov, “On boundary extension of Sobolev classes with critical exponent by prime ends”, Lobachevskii J. Math., 41:11 (2020), 2091–2102

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 Vodopyanov S.K., Molchanova A.O.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».