Пороговые резонансы и виртуальные уровни в спектре цилиндрических и периодических волноводов

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

Для общих формально самосопряженных эллиптических систем дифференциальных уравнений второго порядка с краевыми условиями Дирихле или Неймана в областях с цилиндрическими и периодическими выходами на бесконечность (в волноводах) даны описание и классификация порогов непрерывного спектра и возникающих на них резонансов. Последние вызваны появлением “почти стоячих” волн, т. е. нетривиальных решений однородной задачи – волн, не переносящих энергии. В качестве примеров рассмотрены квантовые, акустические и упругие волноводы. Основное внимание уделено вырожденным порогам, которые характеризуются наличием полиномиально растущих на бесконечности стоячих волн и порождают эффекты, не свойственные обычным порогам. В частности, описан эффект поднятия собственного числа с вырожденного – нулевого – порога спектра, имеющего векторную природу упругого волновода, который (эффект) заведомо отсутствует в скалярных задачах для цилиндрических акустических и квантовых волноводов. При помощи техники самосопряженных расширений дифференциальных операторов в весовых пространствах представлена интерпретация почти стоячих волн как собственных векторов некоторых операторов, а порога – как соответствующего собственного числа. При этом пороговые собственные числа и соответствующие вектор-функции, не затухающие на бесконечности, получаются предельными переходами на порог (виртуальный уровень) либо снизу, либо сверху, т. е. их свойства существенно отличаются от привычных. Сформулированы открытые вопросы.Библиография: 84 наименования.

Об авторах

Сергей Александрович Назаров

Санкт-Петербургский государственный университет, математико-механический факультет

Email: srgnazarov@yahoo.co.uk
доктор физико-математических наук, профессор

Список литературы

  1. P. Exner, H. Kovar̆ik, Quantum waveguides, Theoret. Math. Phys., 22, Springer, Cham, 2015, xxii+382 pp.
  2. Р. Миттра, С. Ли, Аналитические методы теории волноводов, Мир, М., 1974, 328 с.
  3. S. Molchanov, B. Vainberg, “Scattering solutions in networks of thin fibers: small diameter asymptotics”, Comm. Math. Phys., 273:2 (2007), 533–559
  4. С. А. Назаров, “Разнообразные проявления аномалий Вуда в локально искривленных квантовых волноводах”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 58:11 (2018), 1911–1931
  5. В. П. Маслов, “Асимптотика собственных функций уравнения $Delta u+k^2u=0$ с краевыми условиями на эквидистантных кривых и рассеяние элекромагнитных волн в волноводе”, Докл. АН СССР, 123:4 (1958), 631–633
  6. P. Duclos, P. Exner, “Curvature-induced bound states in quantum waveguides in two and three dimensions”, Rev. Math. Phys., 7:1 (1995), 73–102
  7. В. В. Грушин, “О собственных значениях финитно возмущенного оператора Лапласа в бесконечных цилиндрических областях”, Матем. заметки, 75:3 (2004), 360–371
  8. Р. Р. Гадыльшин, “О локальных возмущениях квантовых волноводов”, ТМФ, 145:3 (2005), 358–371
  9. D. Borisov, P. Exner, R. Gadyl'shin, “Geometric coupling thresholds in a two-dimensional strip”, J. Math. Phys., 43:12 (2002), 6265–6278
  10. Д. И. Борисов, “Дискретный спектр пары несимметричных волноводов, соединенных окном”, Матем. сб., 197:4 (2006), 3–32
  11. С. А. Назаров, “Почти стоячие волны в периодическом волноводе с резонатором и околопороговые собственные числа”, Алгебра и анализ, 28:3 (2016), 111–160
  12. D. V. Evans, M. Levitin, D. Vassiliev, “Existence theorems for trapped modes”, J. Fluid Mech., 261 (1994), 21–31
  13. С. А. Назаров, “Вариационный и асимптотический методы поиска собственных чисел под порогом непрерывного спектра”, Сиб. матем. журн., 51:5 (2010), 1086–1101
  14. С. А. Назаров, “Собственные числа оператора Лапласа с условиями Неймана на регулярно возмущенных стенках волновода”, Проблемы матем. анализа, 53, Тамара Рожковская, Новосибирск, 2011, 104–119
  15. C. А. Назаров, “Лакуны и собственные частоты в спектре периодического акустического волновода”, Акустический журн., 59:3 (2013), 312–321
  16. I. Roitberg, D. Vassiliev, T. Weidl, “Edge resonance in an elastic semi-strip”, Quart. J. Mech. Appl. Math., 51:1 (1998), 1–13
  17. A. Holst, D. Vassiliev, “Edge resonance in an elastic semi-infinite cylinder”, Appl. Anal., 74:3-4 (2000), 479–495
  18. C. А. Назаров, “Локализованные упругие поля в периодических волноводах с дефектами”, Прикладная механика и техническая физика, 52:2 (2011), 183–194
  19. С. А. Назаров, “Упругие волны, захваченные однородным анизотропным полуцилиндром”, Матем. сб., 204:11 (2013), 99–130
  20. С. А. Назаров, “Околопороговые эффекты рассеяния волн в искривленном упругом двумерном волноводе”, ПММ, 79:4 (2015), 530–549
  21. Ф. А. Березин, Л. Д. Фаддеев, “Замечание об уравнении Шредингера с сингулярным потенциалом”, Докл. АН СССР, 137:5 (1961), 1011–1014
  22. Ю. Е. Карпешина, Б. С. Павлов, “Взаимодействие нулевого радиуса для бигармонического и полигармонического уравнений”, Матем. заметки, 40:1 (1986), 49–59
  23. Б. С. Павлов, “Теория расширений и явнорешаемые модели”, УМН, 42:6(258) (1987), 99–131
  24. С. А. Назаров, “Самосопряженные расширения оператора задачи Дирихле в весовых функциональных пространствах”, Матем. сб., 137(179):2(10) (1988), 224–241
  25. S. A. Nazarov, M. Specovius-Neugebauer, “Selfadjoint extensions of the Neumann Laplacian in domains with cylindrical outlets”, Comm. Math. Phys., 185:3 (1997), 689–707
  26. C. А. Назаров, “Асимптотические условия в точках, самосопряженные расширения операторов и метод сращиваемых асимптотических разложений”, Тр. С.-Петербург. матем. о-ва, 5, Изд-во С.-Петербург. ун-та, СПб., 1998, 112–183
  27. И. В. Камоцкий, С. А. Назаров, “Спектральные задачи в сингулярно возмущенных областях и самосопряженные расширения дифференциальных операторов”, Тр. С.-Петербург. матем. о-ва, 6, Научная книга, Новосибирск, 1998, 151–212
  28. М. Д. Ван Дайк, Методы возмущений в механике жидкостей, Мир, М., 1967, 310 с.
  29. А. М. Ильин, Согласование асимптотических разложений решений краевых задач, Наука, М., 1989, 336 с.
  30. J. Nečas, Les methodes directes en theorie des equations elliptiques, Masson et Cie, Paris; Academia, Editeurs, Prague, 1967, 351 pp.
  31. C. А. Назаров, “Полиномиальное свойство самосопряженных эллиптических краевых задач и алгебраическое описание их атрибутов”, УМН, 54:5(329) (1999), 77–142
  32. В. А. Кондратьев, “Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками”, Тр. ММО, 16, Изд-во Моск. ун-та, М., 1967, 209–292
  33. С. А. Назаров, Б. А. Пламеневский, Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей, Наука, М., 1991, 336 с.
  34. И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн, Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов, Наука, М., 1965, 448 с.
  35. М. М. Вайнберг, В. А. Треногин, Теория ветвления решений нелинейных уравнений, Наука, М., 1969, 527 с.
  36. М. Рид, Б. Саймон, Методы современной математической физики, т. 3, Теория рассеяния, Мир, М., 1982, 445 с.
  37. П. А. Кучмент, “Теория Флоке для дифференциальных уравнений в частных производных”, УМН, 37:4(226) (1982), 3–52
  38. М. М. Скриганов, “Геометрические и арифметические методы в спектральной теории многомерных периодических операторов”, Тр. МИАН СССР, 171, Наука, Л., 1985, 3–122
  39. P. Kuchment, Floquet theory for partial differential equations, Oper. Theory Adv. Appl., 60, Birchäuser Verlag, Basel, 1993, xiv+350 pp.
  40. И. М. Гельфанд, “Разложение по собственным функциям уравнения с периодическими коэффициентами”, Докл. АН СССР, 73 (1950), 1117–1120
  41. О. А. Ладыженская, Краевые задачи математической физики, Наука, М., 1973, 407 с.
  42. Ж.-Л. Лионс, Э. Мадженес, Неоднородные граничные задачи и их приложения, Мир, М., 1971, 371 с.
  43. М. Ш. Бирман, М. З. Соломяк, Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, Изд-во Ленингр. ун-та, Л., 1980, 264 с.
  44. A. V. Sobolev, J. Walthoe, “Absolute continuity in periodic waveguides”, Proc. London Math. Soc. (3), 85:3 (2002), 717–741
  45. Т. А. Суслина, Р. Г. Штеренберг, “Абсолютная непрерывность спектра магнитного оператора Шрeдингера с метрикой в двумерном периодическом волноводе”, Алгебра и анализ, 14:2 (2002), 159–206
  46. И. Качковский, Н. Филонов, “Абсолютная непрерывность спектра периодического оператора Шрeдингера в многомерном цилиндре”, Алгебра и анализ, 21:1 (2009), 133–152
  47. K. Miller, “Nonunique continuation for uniformly parabolic and elliptic equations in self-adjoint divergence form with Hölder continuous coefficients”, Arch. Rational Mech. Anal., 54:2 (1974), 105–117
  48. Н. Д. Филонов, “Эллиптическое уравнение второго порядка в дивергентной форме, имеющее решение с компактным носителем”, Проблемы матем. анализа, 22, СПбГУ, СПб., 2001, 246–257
  49. М. Н. Демченко, “О неединственности продолжения решения системы Максвелла”, Математические вопросы теории распространения волн. 41, Зап. науч. сем. ПОМИ, 393, ПОМИ, СПб., 2011, 80–100
  50. С. А. Назаров, “Несамосопряженные эллиптические задачи с полиномиальным свойством в областях, имеющих цилиндрические выходы на бесконечность”, Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 29, Зап. науч. сем. ПОМИ, 249, ПОМИ, СПб., 1997, 212–230
  51. С. А. Назаров, Б. А. Пламеневский, “Об условиях излучения для самосопряженных эллиптических задач”, Докл. АН СССР, 311:3 (1990), 532–536
  52. С. А. Назаров, Б. А. Пламеневский, “Принципы излучения для самосопряженных эллиптических задач”, Дифференциальные уравнения. Спектральная теория. Распространение волн, Проблемы матем. физики, 13, Изд-во Ленингр. ун-та, Л., 1991, 192–244
  53. C. А. Назаров, “Эллиптические краевые задачи с периодическими коэффициентами в цилиндре”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 45:1 (1981), 101–112
  54. М. С. Агранович, М. И. Вишик, “Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида”, УМН, 19:3(117) (1964), 53–161
  55. В. Г. Мазья, Б. А. Пламеневский, “О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач в области с коническими точками”, Math. Nachr., 76 (1977), 29–60
  56. С. А. Назаров, “Асимптотика собственных чисел на непрерывном спектре регулярно возмущенного квантового волновода”, ТМФ, 167:2 (2011), 239–263
  57. C. А. Назаров, “Энергетические условия излучения Мандельштама и вектор Умова–Пойнтинга в упругих волноводах”, Проблемы матем. анализа, № 72, Тамара Рожковская, Новосибирск, 2013, 101–146
  58. C. А. Назаров, “Условия излучения Умова–Мандельштама в упругих периодических волноводах”, Матем. сб., 205:7 (2014), 43–72
  59. Н. А. Умов, Уравнения движения энергии в телах, Тип. Ульриха и Шульце, Одесса, 1874, 58 с.
  60. J. H. Poynting, “On the transfer of energy in the electromagnetic field”, Philos. Trans. R. Soc. Lond., 175 (1884), 343–361
  61. Л. И. Мандельштам, Лекции по оптике теории относительности и квантовой механике, Сб. трудов, т. 2, Изд-во АН СССР, М., 1947, 372 с.
  62. И. И. Ворович, В. А. Бабешко, Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей, Наука, М., 1979, 320 с.
  63. С. А. Назаров, Асимптотическая теория тонких пластин и стержней. Понижение размерности и интегральные оценки, Научная книга, Новосибирск, 2002, 408 с.
  64. C. А. Назаров, “О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач с периодическими коэффициентами”, Вестн. ЛГУ. Сер. 1. Матем., мех., астроном., 1985, № 15(3), 16–22
  65. C. А. Назаров, “Трещина на стыке анизотропных тел. Сингулярности напряжений и инвариантные интегралы”, ПММ, 62:3 (1998), 489–502
  66. S. Nazarov, “Properties of spectra of boundary value problems in cylindrical and quasicylindrical domains”, Sobolev spaces in mathematics, v. II, Int. Math. Ser. (N.Y.), 9, Springer, New York, 2008, 261–309
  67. Т. Като, Теория возмущений линейных операторов, Мир, М., 1972, 740 с.
  68. C. А. Назаров, “Асимптотический анализ произвольно анизотропной пластины переменной толщины (пологой оболочки)”, Матем. сб., 191:7 (2000), 129–159
  69. С. А. Назаров, “Собственные частоты слабоискривленной изотропной полосы, зажатой между абсолютно жесткими профилями”, ПММ, 78:4 (2014), 527–541
  70. С. А. Назаров, “Дискретный спектр коленчатых квантовых и упругих волноводов”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 56:5 (2016), 879–895
  71. С. А. Назаров, “Открытие лакуны в непрерывном спектре периодически возмущенного волновода”, Матем. заметки, 87:5 (2010), 764–786
  72. D. Borisov, K. Pankrashkin, “Quantum waveguides with small periodic perturbations: gaps and edges of Brillouin zones”, J. Phys. A, 46:23 (2013), 235203, 18 pp.
  73. С. А. Назаров, “Асимптотика спектральных лакун в регулярно возмущенном периодическом волноводе”, Вестн. СПбГУ. Сер. 1. Матем., мех., астроном., 2013, № 2, 54–63
  74. С. А. Назаров, “Принудительная устойчивость простого собственного числа на непрерывном спектре волновода”, Функц. анализ и его прил., 47:3 (2013), 37–53
  75. D. Grieser, “Spectra of graph neighborhoods and scattering”, Proc. Lond. Math. Soc. (3), 97:3 (2008), 718–752
  76. P. Exner, O. Post, “Convergence of spectra of graph-like thin manifolds”, J. Geom. Phys., 54:1 (2005), 77–115
  77. Ф. Л. Бахарев, С. А. Назаров, “Критерии отсутствия и наличия ограниченных решений на пороге непрерывного спектра в объединении квантовых волноводов”, Алгебра и анализ (в печати)
  78. С. А. Назаров, “Критерий существования затухающих решений в задаче о резонаторе с цилиндрическим волноводом”, Функц. анализ и его прил., 40:2 (2006), 20–32
  79. С. А. Назаров, А. С. Слуцкий, “Произвольные плоские системы анизотропных балок”, Дифференциальные уравнения и динамические системы, Сборник статей. К 80-летию со дня рождения академика Евгения Фроловича Мищенко, Тр. МИАН, 236, Наука, М., 2002, 234–261
  80. С. А. Назаров, А. С. Слуцкий, “Асимптотический анализ произвольной пространственной системы тонких стержней”, Тр. С.-Петербург. матем. о-ва, 10, Тамара Рожковская, Новосибирск, 2004, 63–115
  81. С. А. Назаров, А. С. Слуцкий, “Асимптотика собственных колебаний сочленений упругих стержней с подвижными фрагментами”, ПММ, 82:3 (2018), 332–347
  82. С. А. Назаров, “Асимптотика матрицы рассеяния вблизи краев спектральной лакуны”, Матем. сб., 208:1 (2017), 111–164
  83. Б. А. Пламеневский, А. С. Порецкий, О. В. Сарафанов, “Метод вычисления волноводной матрицы рассеяния в окрестности порогов”, Алгебра и анализ, 26:1 (2014), 128–164
  84. Б. А. Пламеневский, А. С. Порецкий, О. В. Сарафанов, “О вычислении волноводной матрицы рассеяния для системы Максвелла”, Функц. анализ и его прил., 49:1 (2015), 93–96

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Назаров С.А., 2020

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».