Oscillations of a fluid in a circular cylinder with bottom elevation

Full Text

При рассмотрении волновых движений жидкости со свободной поверхностью в сосудах произвольной формы одна из гидродинамических задач состоит в определении собственных частот колебаний. В классических работах [1, 2] рассмотрен случай колебаний жидкости в круговом цилиндрическом сосуде с горизонтальным дном.

В середине прошлого столетия было опубликовано большое количество работ, в которых определены собственные частоты и формы колебаний жидкости в круговом цилиндре с коническим, параболическим и сферическим дном — см., например [3–6]. Указанное направление исследований, проведенных в основном вариационными методами, связано с потребностями космической техники — расчет колебаний топлива в баках. Отметим, что особое значение авторы названных исследований придавали основной моде колебаний, имеющей одну диаметральную узловую линию.

В приближении теории длинных волн в работе [2] рассмотрена задача о стоячих волнах в круговом цилиндре при убывании глубины жидкости от оси сосуда к стенкам по параболическому закону. Указанная геометрия дна сосуда использована в работах [7, 8] для получения изохронных колебаний жидкости, при которых частота волн (аналогично маятнику Гюйгенса) не зависит от амплитуды.

В нашей работе рассмотрено влияние возвышения на дне кругового цилиндра на собственные частоты низших волновых мод на свободной поверхности жидкости. Все количественные оценки получены методом ускоренной сходимости в приближении мелкой воды. Проводится сравнение результатов теоретической модели и лабораторного эксперимента. Отметим, что метод ускоренной сходимости [9] был успешно апробирован авторами в работах [10–12] для стоячих волн в прямоугольных сосудах с переменной глубиной и шириной.

1. ВОЛНЫ В КРУГОВОМ ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ СОСУДЕ

Решение задачи о гравитационных волнах на свободной поверхности идеальной несжимаемой жидкости в жестком круговом цилиндре радиуса R₀ с горизонтальном дном приведено во многих публикациях (напр., [4–6]). Потенциал скоростей $\phi (r,\phi ,z\text{,}t)$ и смещение свободной поверхности $\eta (r,\phi ,\text{t})$ определяются следующими выражениями:

$\phi (r,\phi ,z\text{,}t)=\left[{\alpha }_{nm}\cos n\phi +{\beta }_{nm}\sin n\phi \right]J_n\left(k_{nm}r\right)\frac{\mathrm{ch}\left(k_{nm}\right(z+h\left)\right)}{\mathrm{ch}\left(k_{nm}h\right)},$

$\eta (r,\phi ,t)=\left[A_{nm}\cos n\phi +B_{nm}\sin n\phi \right]J_n\left(k_{nm}r\right)\cos {\omega }_{nm}t\text{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}ïðè\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}(n=\mathrm{0,}\mathrm{1,...};m=\mathrm{1,}2\mathrm{...}),$ (1.1)

где $(r,\phi ,\text{z)}$ — цилиндрические координаты, причем z отсчитывается вертикально вверх от невозмущенной поверхности жидкости; h — глубина жидкости; $J_n\left(k_{nm}r\right)$ — функция Бесселя; ${\alpha }_{nm},{\beta }_{nm}$ — зависящие от времени t коэффициенты, которые могут быть выражены через гармонические функции $\sin {\omega }_{nm}t.$

Выражение для собственной частоты имеет вид

${\omega }_{nm}=\sqrt{g{k}_{nm}\mathrm{th}\left(k_{nm}h\right)}.$ (1.2)

Используя граничное условие на стенках сосуда $\partial \phi /\partial r|{}_{r=R_0}={J^{\text{'}}}_n(k_{nm}{R}_0)=\mathrm{0,}$ для первых двух осесимметричных мод, получаем k₀₁R₀ = 3.832 и k₀₂R₀ = 7.015, а для асимметричных мод — k₁₁R₀ = 1.841 и k₁₂R₀ = 5.335.

Рассчитанные по (1.1) профили волн максимального развития для осесимметричных (0,1), (0,2) и асимметричных мод (1,1) и (1,2) приведены на рис. 1. Расчет проведен для сосуда радиуса R₀ = 9.8 см при глубине жидкости h = 4 см и A_nm = 3 см, B_nm = 0.

 

Рис. 1. Профили волн максимального развития для осесимметричных и асимметричных мод при t = 0, p/w (A_nm = 3 см, B_nm = 0; R₀ = 9.8 см; h = 4 см): (а–г) — (0, 1), (0, 2), (1, 1) и (1, 2).

 

Рассмотрим случай, когда глубина бассейна $H=H_{0}f(r/R_0)$ зависит от расстояния, измеряемого от центра бассейна. Обозначим через $\eta =\eta (x,y,t)$ возвышение свободной поверхности над уровнем покоящейся жидкости.

Согласно работе [2], смещение свободной поверхности отвечает дифференциальному уравнению

$\frac{{\partial }^2\eta }{\partial t^2}=g\left[\frac{\partial }{\partial x}\left(H\frac{\partial \eta }{\partial x}\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(H\frac{\partial \eta }{\partial y}\right)\right],$ (1.3)

где g — ускорение свободного падения.

Поскольку стоячие волны представляют собой периодические во времени движения свободной поверхности, будем искать решение уравнения (1.3) в виде

$\eta =u(x,y)e^{i\omega t}.$ (1.4)

После подстановки (1.4) в уравнение (1.3) получим

$\frac{\partial }{\partial x}\left(H\frac{\partial u}{\partial x}\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(H\frac{\partial u}{\partial y}\right)+\frac{{\omega }^2}{g}u=0.$ (1.5)

Так как предполагается, что глубина жидкости зависит только от $r=\sqrt{x^2+y^2}$, то, переходя к полярным координатам (r, j), получаем для (1.5)

$\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(Hr\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}H\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\phi }^2}+\frac{{\omega }^2}{g}u=0.$

В дальнейшем полагаем, что $u=U_m\left(r\right)\left\{\begin{array}{c}\cos n\phi \\ \sin n\phi \end{array}\right.$, где n — целое число. Функция U(r) подчиняется следующим краевым условиям:

$\left|U_m\left(0\right)\right|\le M;{\left.\frac{d{U}_m}{dr}\right|}_{r=R_0}\text{}=0.$

Вводя безразмерную переменную z = r/R₀, приходим к следующей задаче Штурма–Лиувилля:

$\frac{d}{dz}\left[zf\left(z\right)\frac{d{U}_m}{dz}\right]+\left[\lambda z-\frac{n^2}{z}f\left(z\right)\right]U_m=\mathrm{0,}$ (1.6)

где $n=\mathrm{0,}\mathrm{1,}\mathrm{2,}\mathrm{...,}{\lambda }_{n,m}=\frac{{\omega }^2{R_0}^2}{g{H}_0}.$

Требуется найти такие значения l_n,m, при которых существуют нетривиальные решения уравнения (1.6), удовлетворяющие краевым условиям

$\left|U_m\left(0\right)\right|\le M;{U^{\text{'}}}_m\left(1\right)=0.$ (1.7)

Искомые значения l_n,m принято называть собственными числами, а соответствующие решения краевой задачи (1.6), (1.7) — собственными функциями, или формами (модами) колебаний.

Введем следующим образом регуляризирующий параметр a задачи:

$\left.\begin{array}{l}\frac{d}{dz}\left[(z+a)f\left(z\right)\frac{d{U}_m}{dz}\right]+(\lambda z-\frac{n^2}{z+a}f(z\left)\right)U_m=\mathrm{0,}\\ \left|U_m\left(0\right)\right|\le M;{U^{\text{'}}}_m=0.\end{array}\right\}$ (1.8)

Для нахождения собственных чисел применяется метод ускоренной сходимости, подробно описанный в работе [9]. Отметим, что с помощью этого метода при a = 10^-7 удается получить собственные числа с точностью до 10^-6.

Если найдены собственные числа l_n,m, то размерные собственные частоты колебаний определяются формулой

${\omega }_{n,m}=\frac{\sqrt{{\lambda }_{n,m}}}{R_0}\sqrt{g{H}_0}.$

Все вычисления проводятся в предположении, что глубина бассейна задается формулами

$f\left(z\right)=\left\{\begin{array}{c}1+b{z}^2;\\ 1+bz.\end{array}\right.$

Указанные формы дна бассейна (параболоид или конус) достаточно просто реализовать в экспериментальных условиях. Описание проведенных опытов и сравнение измеренных и рассчитанных значений частоты приводятся далее.

На рис. 2а приведены зависимости безразмерной собственной частоты $\sqrt{{\lambda }_{\mathrm{0,1}}}$ и $\sqrt{{\lambda }_{\mathrm{0,2}}}$ от параметра b. Соответствующие формы свободной поверхности в случае волновых мод (0,1) и (0,2) при b = 0 (горизонтальное дно бассейна) представлены на рис. 1а и 1б.

 

Рис. 2. Зависимости безразмерных собственных частот от параметра b: (а) — осесимметричные волновые моды $\sqrt{{\lambda }_{\mathrm{0,1}}}$ (1) и $\sqrt{{\lambda }_{\mathrm{0,2}}}$ (2); (б) — асимметричные волновые моды $\sqrt{{\lambda }_{\mathrm{1,1}}}$ (1) и $\sqrt{{\lambda }_{\mathrm{1,2}}}$ (2).

 

На рис. 2б приведены зависимости безразмерной собственной частоты $\sqrt{{\lambda }_{\mathrm{1,1}}}$ и $\sqrt{{\lambda }_{\mathrm{1,2}}}$ от параметра b. Соответствующие формы свободной поверхности в случае волновых мод (1, 1) и (2, 2) при b = 0 (горизонтальное дно бассейна) представлены на рис. 1в, г.

Из рис. 2 следует, что с увеличением параметра b, характеризующего возвышение на дне сосуда, безразмерные собственные частоты $\sqrt{{\lambda }_{n,m}}$ симметричных и асимметричных волновых мод монотонно растут. Далее полученные результаты сравниваются с данными лабораторного эксперимента.

Отметим, что приведенные на рис. 2 численные значения $\sqrt{{\lambda }_{n,m}}$ проверялись с помощью метода Рэлея–Ритца для решения краевой задачи (1.6), (1.7). В качестве тестовых функций использовались функции Бесселя. Собственные частоты, полученные методом Рэлея–Ритца, несколько превышали приведенные на рис. 2 — совпадали первые три знака после запятой. Кроме того, вычисления по методу Рэлея–Ритца потребовали бо́льших временны́х затрат по сравнению с методом ускоренной сходимости.

2. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ВЕРИФИКАЦИЯ ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

Для верификации численно-аналитической модели проведена серия экспериментов на электромеханическом вибростенде Динамики и структуры осциллирующих течений [13], входящем в состав Уникальных исследовательских установок ГФК ИПМех РАН.

Волновые движения жидкости исследовались в режиме основного и гармонического резонансов Фарадея [14, 15]. В первом случае для моды (1.1) частота вертикальных колебаний сосуда в два раза превышала частоту возбуждаемых волн (W ~ 2w); при гармоническом резонансе для моды (0.1) эти частоты совпадали (W ~ w). При фиксированной амплитуде сосуда s = 0.7 см вариации W обеспечивали возбуждение соответствующей волновой моды  В качестве рабочей жидкости использовали воду.

Волновая картина регистрировалась цифровой камерой Canon PowerShot SX50HS (скорость видеосъемки 30 и 120 кадров в секунду). Разрешение видеоизображения составляло 0,15 мм/пиксель. Последующая обработка видеокадров производили при использовании программы ImageJ. Все эксперименты проводили при комнатной температуре 21–22 °C.

В опытах собственная частота гравитационных волн определялась следующим образом. На одной из резонансных частот W колебаний сосуда возбуждалась волновая мода . Затем вибростенд выключали и после полной остановки сосуда (время порядка периода волны) проводили видеосъемку затухания волновых движений воды. Поскольку частота волн существенно превосходит коэффициент затухания, предполагалось, что затухание волн проходит с собственной частотой. Это позволило по материалам видеосъемки затухающих волн оценить собственную частоту.

В экспериментах использовали два сосуда с радиусами R₀ = 7 и 9.8 см при глубине воды h = 3.7 и 4 см соответственно. Оценивалась собственная частота волновых мод (0, 1) и (1, 1) в сосудах с горизонтальным и профилированным дном.

Профилированное дно представляло собой симметричное относительно оси сосуда возвышение, изготовленное из технического пластилина. На рис. 3а и 3б приведены фотографии дна сосудов с R₀ = 7 и 9.8 см соответственно.

Для получения описывающих форму дна функций с помощью программы ImageJ проведена оцифровка профиля, данные которой позволили получить следующие аппроксимирующие зависимости:

$y=2.66-0.05r^2$ при R₀ = 7 см;

$y=1.45-0.15r$ при R₀ = 9.8 см,

графики которых приведены на рис. 3в и 3г. Таким образом, если для цилиндра с R₀ = 7 см форма возвышения описывалась квадратичной функцией, то в случае R₀ = 9.8 см имеем линейную зависимость от радиальной координаты r.

 

Рис. 3. Форма возвышения на дне сосуда (а, б) и графики аппроксимирующих профиль дна функций (в, г): (а, в), (б, г) — R₀ = 7 и 9.8 см; точки — данные оцифровки фотографий (а, б).

 

Экспериментально проведены оценки собственных частот волновых мод (0,1) и (1,1) в сосудах с горизонтальным дном. Фотографии волновых профилей в случае сосуда радиуса R₀ = 9.8 см представлены на рис. 4. Видно полное их соответствие формам рис. 1а и 1в.

 

Рис. 4. Профили волн максимального развития в круговом цилиндре радиуса R₀ = 9.8 см с горизонтальным дном при глубине жидкости h = 4 см: (а, б) — осесимметричная (0, 1) и асимметричная (1, 1) волновые моды.

 

Измеренные по описанной методике собственные частоты волн в сосудах с горизонтальным дном приведены в табл. 1. Средняя частота и соответствующая погрешность оценивались по 15–20 экспериментальным значениям. В таблице также приведены частоты, рассчитанные по формуле (1.2) и полученные при решении краевой задачи (1.8).

 

Таблица 1. Собственные частоты волновых мод в сосудах с горизонтальным и профилированным дном

Горизонтальное дно				Профилированное дно
R0 = 7 см, h = 3.7 см
Мода (n, m)	wnm (с–1), эксперимент	wnm (с–1), расчет		Мода (n, m)	wnm (с–1), эксперимент	wnm (с–1), расчет, краевая задача (1.8)
		Формула (1.2)	Краевая задача (1.8)
(0, 1)	22.60 ± 0.99	22.72	22.76	(0, 1)	20.92 ± 1.85	22.75
(1, 1)	13.84 ± 0.23	13.96	13.90	(1, 1)	11.73 ± 0.72	11.43
R0 = 9.8 см, h = 4 см
Мода (n, m)	wnm (с–1), эксперимент	wnm (с–1), расчет		Мода (n, m)	wnm (с–1) эксперимент	wnm (с–1), расчет, краевая задача (1.8)
		Формула (1.2)	Краевая задача (1.8)
(0, 1)	19.22 ± 0.65	18.82	18.74	(0, 1)	18.20 ± 0.35	22.21
(1, 1)	11.03 ± 0.54	10.82	10.82	(1, 1)	10.20 ± 0.50	10.75

 

Видно, что классическая теория и метод ускоренной сходимости в случае сосудов указанных размеров с горизонтальным дном дают практически совпадающие значения собственных частот волновых мод на свободной поверхности воды малой глубины. Данные эксперимента с учетом погрешности измерений частоты неплохо соответствуют численно-аналитическим оценкам.

Перейдем к рассмотрению волновых движений жидкости в круговых цилиндрах с профилированным дном. Фотографии волновых мод (0, 1) и (1, 1) в случае сосуда радиуса R₀ = 9.8 см представлены на рис. 5.

 

Рис. 5. Профили волн максимального развития в круговом цилиндре радиуса R₀ = 9.8 см с коническим возвышением на дне при максимальной глубине жидкости h = 4 см: (а, б) — осесимметричная (0, 1) и асимметричная (1, 1) волновые моды.

 

Визуально эти профили не отличаются от показанных на рис. 4. Однако собственные частоты, как следует из табл. 1, существенно ниже значений, отвечающих сосуду с горизонтальным дном — уменьшение частоты порядка 10–15%.

Дадим интерпретацию экспериментальных результатов об уменьшении собственных частот волновой моды (1, 1) в сосудах с возвышением на дне в рамках модели мелкой воды — краевая задача (1.8).

Сосуд радиуса R₀ = 7 см имел профиль дна y = 2.66 - 0.05r ², которому соответствовала глубина жидкости  Здесь $z=r/R_0$, $H_0=1.0122$ см.

Вычисленная безразмерная частота волновой моды (1, 1) $\sqrt{{\lambda }_{\mathrm{1,1}}}$= 2.54037. Соответствующая размерная частота

 ${\omega }_{\mathrm{1,1}}=\frac{\sqrt{{\lambda }_{\mathrm{1,1}}}}{R_0}\sqrt{g{H}_0}$= 11.43 с^–1.

Измеренная в эксперименте (см. табл. 1) собственная частота волновой моды (1, 1) w_1.1 = 11.73 с^–1.

Таким образом, различие между данными эксперимента и численными оценками составляет 2.6%.

Сосуд радиуса R₀ = 9.8 см имел профиль дна y = 1.45 - 0.15r что соответствовало глубине жидкости H = 2.5488(1 + 0.4694z), H₀ = 2.5488. Отметим, что глубина жидкости в этом эксперименте изменяется линейно, в отличие от первого сосуда.

Вычисленная безразмерная частота волновой моды (1, 1) $\sqrt{{\lambda }_{\mathrm{1,1}}}$= 2.1078. Соответствующая размерная частота ${\omega }_{\mathrm{1,1}}$= 10.75 с^–1. Измеренная в эксперименте (см. табл. 1) собственная частота волновой моды (1, 1) ${\omega }_{\mathrm{1,1}}$= 10.20 с^–1. Таким образом, различие между данными эксперимента и численными оценками составляет 5.3%.

Таким образом, представленная в разд. 1 численно-аналитическая модель неплохо описывает экспериментальные результаты по измерению собственных частот стоячих поверхностных гравитационных волн в том случае, когда возбуждается волна с одной узловой линией, проходящей через центр сосуда, — волновая мода (1, 1) — рис. 1в и 5б. Эта волна соответствует безразмерной собственной частоте $\sqrt{{\lambda }_{\mathrm{1,1}}}.$ Кроме того, для волновой моды (1, 1) достаточно хорошо выполняется требование теории длинных волн.

Отметим, что в проведенных экспериментах волны с частотами $\sqrt{{\lambda }_{\mathrm{0,1}}}, \sqrt{{\lambda }_{\mathrm{0,2}}}, \sqrt{{\lambda }_{\mathrm{1,2}}}$   и т. п. уже не удовлетворяют длинноволновому приближению (k_nmh < 1). Поэтому измеренные и рассчитанные собственные частоты волн (0, 1) совпадают гораздо хуже по сравнению со случаем моды (1, 1) — см. табл. 1.

При формулировке краевой задачи (1.8) был введен безразмерный регуляризирующий параметр а, который в расчетах собственной частоты волновой моды (1, 1) для сосудов с R₀ = 7 и 9.8 см принимал значения порядка 10^–7. Физически это соответствует колебаниям жидкости в зазоре между двумя концентрическими цилидрами с внешним радиусом R₀ и бесконечно малым внутренним R ^*. Значение R ^*= aR₀ для использованных в эксперименте сосудов составляли величину порядка 10^–6 см.

В эксперименте для оценки эффекта внутреннего цилиндра на частоту волновых мод в цилиндре с R₀ = 9.8 см в центр донного возвышения помещалась стальная проволочка диаметром 2R ^* = 0.1 см, что соответствовало безразмерному параметру a = 0.005. Измеренные собственные частоты равны w_0,1 = 18.30 ± 0.41 с^–1 и w_1,1 = 10.42 ± 0.63 с^–1 и с учетом погрешности измерений совпали с частотой для кругового цилиндра радиуса R₀ = 9.8 см (см. табл. 1). Этот экспериментальный факт подтверждает правомерность введения в краевую задачу (1.8) безразмерного регуляризирующего параметра а.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В приближении длинных волн сформулирована и численно решена задача о стоячих волнах в круговом цилиндрическом сосуде переменной глубины при использовании алгоритма ускоренной сходимости. В результате проведенных расчетов с высокой точностью определена собственная частота основной волновой моды.

Для сравнения теоретических результатов представлены новые экспериментальные данные по возбуждению стоячих поверхностных гравитационных волн в круговом цилиндрическом сосуде с параболическим и коническим возвышениями на дне. Показано совпадение рассчитанных и измеренных значений собственной частоты основной волновой моды в сосудах с профилированным дном.

Получено экспериментальное подтверждение эффекта влияния донного возвышения на частоту основной моды в круговом цилиндре.

ФИНАНСИРОВАНИЕ

Работа выполнена по темам государственных заданий № 123021700050-1 и 123021700044-1. Эксперименты проводились на стенде ДСО (уникальная научная установка Института проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН).

КОНФЛИКТ ИНТЕРЕСОВ

Авторы работы заявляют, что у них нет конфликта интересов.

About the authors

S. V. Nesterov

Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics, Russian Academy of Sciences

Email: kalin@ipmnet.ru
Russian Federation, Moscow

V. А. Kalinichenko

Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics, Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: kalin@ipmnet.ru
Russian Federation, Moscow

References

Supplementary files