Открытый доступ
Доступ предоставлен
Только для подписчиков
Том 215, № 6 (2024)
3-28
Плотность сумм сдвигов одной функции в пространстве $L_2^0$ на компактной абелевой группе
Аннотация
Пусть $G$ – нетривиальная компактная абелева группа. Доказывается следующий результат: действительная функция на $G$, суммы сдвигов которой плотны по норме $L_{2}$ в соответствующем действительном пространстве функций с нулевым средним, существует тогда и только тогда, когда группа $G$ связная и имеет счетную группу характеров.Библиография: 13 названий.
Математический сборник. 2024;215(6):29-40
29-40
О мере КАМ-торов в окрестности сепаратрисы
Аннотация
Рассмотрим интегрируемую по Лиувиллю гамильтонову систему с $n$ степенями свободы. Предположим, что слоение фазового пространства на инвариантные лагранжевы $n$-мерные торы вырождается на $(2n-1)$-мерном особом подмногообразии $\mathbb{W}$, образованном асимптотическими многообразиями $(n-1)$-мерных гиперболических торов. При малом порядка $\varepsilon$ возмущении системы интегрируемость, как правило, исчезает, но согласно КАМ-теории большинство $n$-мерных инвариантных торов выживает. Динамику на дополнении $C$ к указанному торическому множеству принято ассоциировать с хаосом.В статье исследуется мера множества точек, являющегося пересечением окрестности многообразия $\mathbb{W}$ c множеством $C$. При естественных предположениях эта мера имеет порядок $\sqrt \varepsilon$.Этот результат дополняет и обобщает оценки меры множества $C$ вдали от многообразия $\mathbb{W}$, полученные в работах Н. В. Сванидзе, А. И. Нейштадта и Ю. Пёшеля.Библиография: 13 названий.
Математический сборник. 2024;215(6):41-60
41-60
О $p$-невырожденных системах уравнений над разрешимыми группами
Аннотация
Любую группу, обладающую субнормальным рядом, в котором все факторы абелевы и все, за исключением последнего, не имеют $p'$-кручения, можно вложить в группу с субнормальным рядом такой же длины и с такими же свойствами такую, что любая $p$-невырожденная система уравнений над этой группой разрешима в самой этой группе. Это позволяет доказать, что минимальный порядок метабелевой группы, над которой есть унимодулярное уравнение, не разрешимое в метабелевых группах, равен $42$. Библиография: 14 названий.
Математический сборник. 2024;215(6):61-76
61-76
Точные формулы приращения функционала и необходимые условия оптимальности, альтернативные принципу Понтрягина
Аннотация
Представлены элементы теории локального экстремума в задаче оптимального управления со свободным правым концом и, вообще говоря, неопределенной начальной позицией траекторий на основе точных формул приращения (вариаций бесконечного порядка) целевого функционала. Получены необходимые условия оптимальности “позиционного” типа: их формулировки содержат вспомогательные управления с обратной связью, порождающие программные управления спуска (в задаче на минимум). Предложенные условия составляют альтернативу классическому принципу Понтрягина (в некоторых частных случаях – усиливают последний), и открывают возможность построения непрямых методов локального поиска без процедур настройки параметров “глубины спуска”.Библиография: 26 названий.
Математический сборник. 2024;215(6):77-110
77-110
Бирационально жесткие гиперповерхности с квадратичными особенностями малого ранга
Аннотация
Доказано, что гиперповерхности степени $M$ в ${\mathbb P}^M$, $M\geqslant 5$, имеющие, самое большее, квадратичные особенности ранга не меньше $3$ и удовлетворяющие некоторым условиям общности положения, являются бирационально сверхжесткими многообразиями Фано, а дополнение ко множеству таких гиперповерхностей имеет при $M\geqslant 8$ коразмерность не меньше $\binom{M-1}{2} + 1$ относительно естественного пространства параметров. Библиография: 18 названий.
Математический сборник. 2024;215(6):111-130
111-130
О разрешимости краевой задачи для одного класса нелинейных систем дифференциальных уравнений с частными производными высокого порядка
Аннотация
Для одного класса нелинейных систем уравнений в частных производных высокого порядка в цилиндрической области рассматривается краевая задача, когда на нижнем и верхнем основаниях цилиндра заданы условия типа Коши, а на боковой части границы цилиндра задано условие типа Робена. Краевая задача эквивалентным образом редуцируется к нелинейному функциональному уравнению на некотором подпространстве пространства Соболева. При выполнении некоторых условий, накладываемых на нелинейные члены, получена априорная оценка решения поставленной задачи и доказывается существование решения, а при нарушении этих условий – отсутствие решения. Обсуждается также вопрос о единственности решения.Библиография: 18 названий.
Математический сборник. 2024;215(6):131-150
131-150
151-158