Открытый доступ
Доступ предоставлен
Только для подписчиков
Том 214, № 2 (2023)
Об объемах гиперболических прямоугольных многогранников
Аннотация
Получены новые верхние оценки объемов прямоугольных многогранников в пространстве Лобачевского $\mathbb{H}^3$ в следующих трех случаях: для идеальных многогранников, все вершины которых лежат на абсолюте, для компактных многогранников, все вершины которых конечны, и для многогранников конечного объема с вершинами обоих типов.Библиография: 23 названия.
Математический сборник. 2023;214(2):3-22
3-22
Классификация слоений Лиувилля интегрируемых топологических биллиардов в магнитном поле
Аннотация
В работе изучена топология слоений Лиувилля интегрируемых магнитных топологических биллиардов – систем движения шара по кусочно гладким двумерным поверхностям в постоянном магнитном поле. Вычислены инварианты Фоменко–Цишанга лиувиллевой эквивалентности возникающих гамильтоновых систем, а также изучена топология трехмерных инвариантных многообразий – изоинтегральных и изоэнергетических. Также обнаружена лиувиллева эквивалентность таких биллиардов с уже известными гамильтоновыми системами, такими как геодезические потоки на двумерных поверхностях и системы динамики твердого тела. В частности, обнаружены интересные седловые особенности с разным направлением особых окружностей, которые также встречались ранее в механических системах с магнитным полем на поверхностях вращения, гомеоморфных двумерной сфере.Библиография: 13 названий.
Математический сборник. 2023;214(2):23-57
23-57
О единственности рядов Франклина со сходящейся подпоследовательностью частичных сумм
Аннотация
В работе доказано, что если частичные суммы $S_{n_i}(x)=\sum_{k=0}^{n_i}a_kf_k(x)$ ряда Франклина $\sum_{k=0}^{\infty}a_kf_k(x)$ сходятся по мере к ограниченной функции $f$ и $\sup_i|S_{n_i}(x)|<\infty$, когда $x\notin B$, где $B$ – некоторое счетное множество, и $\sup_i{n_i}/(n_{i-1})<\infty$, то этот ряд является рядом Фурье–Франклина функции $f$.Библиография: 24 названия.
Математический сборник. 2023;214(2):58-71
58-71
Комплекс Кузeна на дополнении к дивизору со строго нормальными пересечениями в локальной существенно гладкой схеме над полем
Аннотация
Для всякой $\mathbb{A}^1$-инвариантной теории когомологий, удовлетворяющей вырезанию Нисневича на категории гладких схем над полем $k$, доказана точность комплекса Кузeна на дополнении $U-D$ к дивизору $D$ со строго нормальными пересечениями в локальной существенно гладкой схеме $U$, а также на схемах $(X-D)\times(\mathbb{A}^1_k-Z_0)\times…\times(\mathbb{A}^1_k-Z_l)$ для конечного множества замкнутых подмножеств $Z_0,…,Z_l$ в аффинной прямой над $k$.Библиография: 32 названия.
Математический сборник. 2023;214(2):72-89
72-89
Кратности предельных циклов, рождающихся при разрушении гиперболических полициклов
Аннотация
В статье рассматривается вопрос о кратности предельных циклов, рождающихся при разрушении гиперболического полицикла с типичным набором характеристических чисел. В частности, доказано, что при возмущении внутри гладкого конечно параметрического семейства кратность любого родившегося предельного цикла не превосходит числа сепаратрисных связок, образующих полицикл. Библиография: 10 названий.
Математический сборник. 2023;214(2):90-111
90-111
Геометрические прогрессии в пространствах с расстоянием, приложения к неподвижным точкам и точкам совпадения отображений
Аннотация
Рассматривается вопрос: каким свойством должно обладать пространство $X$ с обобщенным расстоянием $\rho_X$, чтобы для действующих в нем отображений были справедливы утверждения типа теорем Банаха и Надлера о неподвижной точке и утверждения типа теоремы Арутюнова о точках совпадения? Показано, что таким свойством является сходимость любой геометрической прогрессии со знаменателем, меньшим $1$, – последовательности $\{ x_i\}\subset X$, удовлетворяющей при некотором $\gamma < 1$ условию $\rho_X(x_{i+1},x_i)\leq \gamma \rho_X(x_i,x_{i-1})$, $ i=1,2,…$ . Приведены примеры пространств, обладающих и не обладающих данным свойством. В частности, показано, что требуемое свойство имеет место в полном $f$-квазиметрическом пространстве $X$, если в нем расстояние $\rho_X$ при некотором $\eta\in (0,1)$ удовлетворяет неравенству $\rho_X(x,z) \leq \rho_X(x,y)+(\rho_X(y,z))^\eta$, $x,y,z \in X$, т.е. когда функция $f\colon\mathbb{R}_+^{2} \to \mathbb{R}_+$ задана формулой $f(r_1,r_2)=r_1 + r_2^{\eta}$. А если $f(r_1,r_2)=\max\{ r_1^{\eta}, r_2^{\eta} \}$, где $\eta \in (0,2^{-1}]$, то для любого $\gamma > 0$ существует $f$-квазиметрическое пространство, содержащее геометрическую прогрессию со знаменателем $\gamma$, не являющуюся фундаментальной. Обсуждается справедливость в $f$-квазиметрических пространствах “правила $0$ или $1$”, означающего, что либо любая геометрическая прогрессия со знаменателем, меньшим $1$, является фундаментальной, либо для произвольного $\gamma\in (0,1)$ существует геометрическая прогрессия со знаменателем $\gamma$, не являющаяся фундаментальной.Библиография: 29 названий.
Математический сборник. 2023;214(2):112-142
112-142
О деревьях диаметра 5 с максимальным количеством паросочетаний
Аннотация
Паросочетанием в графе называется любое множество его попарно несмежных ребер. Количество паросочетаний, называемое также индексом Хосойи, является важным параметром графов, находящим свое применение в математической химии. Ранее была полностью решена задача максимизации индекса Хосойи в деревьях радиуса $2$ (т.е. диаметра $4$) заданного размера. В настоящей статье рассматривается и полностью решается задача максимизации этого индекса в деревьях диаметра $5$ с заданным количеством вершин $n$. Оказалось, что при любом $n$ экстремальное дерево является единственным.Библиография: 6 названий.
Математический сборник. 2023;214(2):143-154
143-154