Открытый доступ
Доступ предоставлен
Только для подписчиков
Том 213, № 7 (2022)
- Год: 2022
- Статей: 4
- URL: https://bakhtiniada.ru/0368-8666/issue/view/7491
О поведении сумм Биркгофа, порожденных поворотами окружности
Аннотация
В работе рассмотрены суммы Биркгофа $f(n,x,h)$ для непрерывных функций $f$ с нулевым средним на окружности, порожденные поворотами на углы $2\pi h$, где число $h$ иррациональное. Основной результат утверждает, что единственным ограничением на скорость роста последовательности $\max_x f(n,x,h) $ при $n \to \infty$ является равномерное стремление к нулю средних Биркгофа $\frac{1}{n}f(n,x,h)$. А именно показано, что для любой последовательности $\sigma_k \to 0$ и для любого иррационального $h$ существует такая функция $f$, что последовательность $\max_x f(n,x,h) $ растет быстрее, чем $n\sigma_n$, а также что для любой функции $f$, не являющейся тригонометрическим многочленом, существуют иррациональные $h$, при которых некоторая подпоследовательность $\max_x f(n_k,x,h)$ растет быстрее, чем соответствующая подпоследовательность $n_k\sigma_{n_k}$.Даны приложения к исследованию операторов взвешенного сдвига, порожденных иррациональными поворотами, и их резольвент; показано, что резольвента такого оператора может возрастать сколь угодно быстро при приближении к спектру.Библиография: 46 названий.
Математический сборник. 2022;213(7):3-38
3-38
Энтропия унитарного оператора на $L^2(\mathbb T^n)$
Аннотация
В работе изучается понятие $\mu$-нормы оператора, введенное Д. В. Трещёвым. Мы концентрируемся на случае операторов на пространстве $L^2(\mathbb{T}^n)$, где $\mathbb{T}^n$ – $n$-мерный тор (случай $n=1$ рассмотрен ранее Трещёвым). Основной мотивировкой для нас является использование $\mu$-нормы в качестве ключевого ингредиента для построения квантового аналога метрической энтропии – энтропии унитарного оператора на $L^2(\mathcal X,\mu)$, где $(\mathcal X,\mu)$ – вероятностное пространство. Приведены свойства $\mu$-нормы и способы ее вычисления для различных классов операторов на $L^2(\mathbb{T}^n)$. Конструкция энтропии, предложенная Трещёвым, подправлена так, чтобы выполнялись свойства субаддитивности и монотонности относительно разбиений пространства $\mathcal X$. Даны примеры вычисления энтропии для некоторых классов операторов на $L^2(\mathbb{T}^n)$.Библиография: 29 названий.
Математический сборник. 2022;213(7):39-96
39-96
Предикатный вариант совместной логики задач и высказываний
Аннотация
Рассматривается совместная логика задач и высказываний $\mathrm{QHC}$, введенная С. А. Мелиховым. Строятся модели Крипке с отмеченными мирами этой логики, показывается корректность и полнота логики $\mathrm{QHC}$ относительно этого типа моделей. Показана консервативность логики $\mathrm{QHC}$ относительно интуиционистской модальной логики $\mathrm{QH4}$, совпадающей с “lax logic” $\mathrm{QLL}^+$. Построены модели Крипке с отмеченными мирами логики $\mathrm{QH4}$, доказана теорема о корректности и полноте. Также доказаны дизъюнктивное и экзистенциальное свойства логик $\mathrm{QHC}$ и $\mathrm{QH4}$.Библиография: 33 названия.
Математический сборник. 2022;213(7):97-120
97-120
Полуправильные решения эллиптических краевых задач с разрывными нелинейностями экспоненциального роста
Аннотация
Изучается эллиптическая краевая задача с разрывной нелинейностью экспоненциального роста на бесконечности. Вариационным методом получена теорема существования слабого полуправильного решения исследуемой задачи. Полуправильность решения означает, что его значения почти всюду в области, в которой рассматривается краевая задача, являются точками непрерывности нелинейности по фазовой переменной. Вариационный подход в настоящей работе базируется на понятии квазипотенциального оператора, в отличие от традиционного, где используется обобщенная производная Кларка.Библиография: 29 названий.
Математический сборник. 2022;213(7):121-138
121-138