Strong asymptotics of the best rational approximation to the exponential function on a bounded interval

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We apply recent findings of complex approximation theory to best rational approximation of degree $n$ to the function $\exp(-(n+\nu)x)$ on a finite interval $[0,c]$. We show that the error norm behaves like the $n$th power of the main approximation rate times the $\nu$th power of a secondary approximation rate. The computation of the first rate is a consequence of works of Gonchar, Rakhmanov and Stahl done in the 1980s; the complete asymptotic description was achieved by Aptekarev in the first years of the 21st century. The solution is given in terms of elliptic integrals of the third kind. Bibliography: 92 titles.

About the authors

Alphonse Philippe Magnus

Institut de Mathématique Pure et Appliquée, Université Catholique de Louvain, Louvain-la-Neuve, Belgium

Email: alphonse.magnus@uclouvain.be

Jean Meinguet

Institut de Mathématique Pure et Appliquée, Université Catholique de Louvain, Louvain-la-Neuve, Belgium

References

  1. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами, ред. М. Абрамовиц, И. Стиган, Наука, М., 1979, 831 с.
  2. В. М. Адамян, Д. З. Аров, М. Г. Крейн, “Аналитические свойства пар Шмидта ганкелева оператора и обощенная задача Шура–Такаги”, Матем. сб., 86(128):1(9) (1971), 34–75
  3. N. Achyeser, “Verallgemeinerung einer Korkine–Zolotareffschen Minimum-Aufgabe”, Зап. Харьк. матем. о-ва, 13 (1936), 3–14
  4. Н. И. Ахиезер, Лекции по теории аппроксимации, 2-е изд., Наука, М., 1965, 407 с.
  5. Н. И. Ахиезер, Элементы теории эллиптических функций, 2-е изд., Наука, М., 1970, 304 с.
  6. А. И. Аптекарев, “Точные константы рациональных аппроксимаций аналитических функций”, Матем. сб., 193:1 (2002), 3–72
  7. Th. Bagby, “The modulus of a plane condenser”, J. Math. Mech., 17 (1967), 315–329
  8. Th. Bagby, “On interpolation by rational functions”, Duke Math. J., 36 (1969), 95–104
  9. G. A. Baker, Jr., Essentials of Pade approximants, Academic Press, New York–London, 1975, xi+306 pp.
  10. L. Baratchart, H. Stahl, M. Yattselev, “Weighted extremal domains and best rational approximation”, Adv. Math., 229:1 (2012), 357–407
  11. C. M. Bender, S. A. Orszag, Advanced mathematical methods for scientists and engineers, Internat. Ser. Pure Appl. Math., McGraw-Hill Book Co., New York, 1978, xiv+593 pp.
  12. А. Б. Богатырев, Экстремальные многочлены и римановы поверхности, МЦНМО, М., 2005, 173 с.
  13. C. de Boor, A practical guide to splines, Appl. Math. Sci., 27, Rev. ed., Springer-Verlag, New York, 2001, xviii+346 pp.
  14. C. de Boor, “B(asic)-spline basics”, Fundamental developments of computer-aided geometric modeling, Academic Press, London, 1993, 27–49
  15. J. M. Borwein, P. B. Borwein, Pi and the AGM. A study in analytic number theory and computational complexity, Canad. Math. Soc. Ser. Monogr. Adv. Texts, Wiley-Intersci. Publ., John Wiley & Sons, Inc., New York, 1987, xvi+414 pp.
  16. D. Braess, “On the conjecture of Meinardus on rational approximation of $e^x$”, J. Approx. Theory, 36:4 (1982), 317–320
  17. R. Bulirsch, “Numerical calculation of elliptic integrals and elliptic functions”, Numer. Math., 7 (1965), 78–90
  18. H. Burkhardt, W. F. Meyer, “Potentialtheorie (Theorie der Laplace–Poissonschen Differentialgleichung)”, Encyclopädie der mathematischen Wissenschaften, v. 2 A (Analysis), § 7.b, B. G. Teubner, Leipzig, 1899–1916, 464–503
  19. V. I. Buslaev, S. P. Suetin, “On the existence of compacta of minimal capacity in the theory of rational approximation of multi-valued analytic functions”, J. Approx. Theory, 206 (2016), 48–67
  20. P. F. Byrd, M. D. Friedman, Handbook of elliptic integrals for engineers and scientists, Grundlehren Math. Wiss., 67, 2nd rev. ed., Springer-Verlag, New York–Heidelberg, 1971, xvi+358 pp.
  21. A. J. Carpenter, A. Ruttan, R. S. Varga, “Extended numerical computations on the “1/9” conjecture in rational approximation theory”, Rational approximation and interpolation (Tampa, FL, 1983), Lecture Notes in Math., 1105, Springer-Verlag, Berlin, 1984, 383–411
  22. W. J. Cody, G. Meinardus, R. S. Varga, “Chebyshev rational approximations to $e^{-x}$ on $[0,+infty)$ and applications to heat-conduction problems”, J. Approx. Theory, 2 (1969), 50–65
  23. P. D. Dragnev, B. Fuglede, D. P. Hardin, E. B. Saff, N. Zorii, “Minimum Riesz energy problems for a condenser with touching plates”, Potential Anal., 44:3 (2016), 543–577
  24. K. A. Driver, N. M. Temme, “Zero and pole distribution of diagonal Pade approximants to the exponential function”, Quaest. Math., 22:1 (1999), 7–17
  25. V. Druskin, S. Güttel, L. Knizhnerman, “Near-optimal perfectly matched layers for indefinite Helmholtz problems”, SIAM Rev., 58:1 (2016), 90–116
  26. А. Эрдейи, Асимптотические разложения, Физматгиз, М., 1962, 128 с.
  27. L. Fox, I. B. Parker, Chebyshev polynomials in numerical analysis, Oxford Univ. Press, London–New York–Toronto, 1968, ix+205 pp.
  28. Д. Гайер, Лекции по теории аппроксимации в комплексной области, Мир, М., 1986, 216 с.
  29. T. Ganelius, “Degree of rational approximation”, Lectures on approximation and value distribution, Sem. Math. Sup., 79, Presses Univ. Montreal, Montreal, QC, 1982, 9–78
  30. А. А. Гончар, “О задачах Е. И. Золотарева, связанных с рациональными функциями”, Матем. сб., 78(120):4 (1969), 640–654
  31. А. А. Гончар, “Скорость рациональной аппроксимации и свойство однозначности аналитической функции в окрестности изолированной особой точки”, Матем. сб., 94(136):2(6) (1974), 265–282
  32. А. А. Гончар, “О скорости рациональной аппроксимации некоторых аналитических функций”, Матем. сб., 105(147):2 (1978), 147–163
  33. А. А. Гончар, “5.6. Рациональная аппроксимация аналитических функций”, Исследования по линейным операторам и теории функций, 99 нерешенных задач линейного и комплексного анализа, Зап. науч. сем. ЛОМИ, 81, Изд-во «Наука», Ленинград. отд., Л., 1978, 182–185
  34. A. A. Gonchar, “Rational approximation of analytic functions”, Problem 12.17 (Ch. 12. Approximations and capacities), Linear and complex analysis problem. Problem book 3. Part II, Lecture Notes in Math., 1574, Springer-Verlag, Berlin–Heidelberg, 1994, 73–176
  35. А. А. Гончар, Г. Лопес Лагомасино, “О теореме Маркова для многоточечных аппроксимаций Паде”, Матем. сб., 105(147):4 (1978), 512–524
  36. А. А. Гончар, Е. А. Рахманов, “Равновесные распределения и скорость рациональной аппроксимации аналитических функций”, Матем. сб., 134(176):3(11) (1987), 306–352
  37. A. A. Gončar, E. A. Rakhmanov, “On the rate of rational approximation of analytic functions”, Approximation and optimization (Havana, 1987), Lecture Notes in Math., 1354, Springer-Verlag, Berlin, 1988, 25–42
  38. L. Haine, “Geodesic flow on $operatorname{SO}(4)$ and Abelian surfaces”, Math. Ann., 263:4 (1983), 435–472
  39. P. Henrici, Applied and computational complex analysis, v. 3, Pure Appl. Math. (N. Y.), Discrete Fourier analysis–Cauchy integrals–construction of conformal maps–univalent functions, Wiley-Intersci. Publ., John Wiley & Sons, Inc., New York, 1986, xvi+637 pp.
  40. E. Hille, Analytic function theory, v. I, Ginn and Co., Boston, MA, 1959, xi+308 pp.
  41. Z. G. Ignatov, V. K. Kaishev, B-splines and linear combinations of uniform order statistics, MRC tech. summary rep. # 2817, Math. Res. Center Univ. Wisconsin–Madison, 1985, 23 pp.
  42. E. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш, Специальные функции, 3-е стер. изд., Наука, М., 1977, 342 с.
  43. M. Joye, J.-J. Quisquater, “Hessian elliptic curves and side-channel attacks”, Cryptographic hardware and embedded systems – CHES 2001 (Paris, 2001), Lecture Notes in Comput. Sci., 2162, Springer-Verlag, Berlin, 2001, 402–410
  44. M. Kac, P. van Moerbeke, “A complete solution of the periodic Toda problem”, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 72:8 (1975), 2879–2880
  45. O. D. Kellogg, Foundations of potential theory, Grundlehren Math. Wiss., 31, J. Springer, Berlin, 1929, ix+334 pp.
  46. L. V. King, On the direct numerical calculation of elliptic functions and integrals, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1924, viii+42 pp.
  47. M. A. Komarov, “A note on rational approximations to $e^x$, constructed by Nemeth and Newman”, J. Approx. Theory, 240 (2019), 126–128
  48. G. Lemaître, “Calcul des integrales elliptiques”, Acad. Roy. Belgique. Bull. Cl. Sci. (5), 33 (1947), 200–211
  49. G. Lopez Lagomasino, “Survey of multipoint Pade approximation to Markov type meromorphic functions and asymptotic properties of the orthogonal polynomials generated by them”, Polynômes orthogonaux et applications (Bar-le-Duc, 1984), Lecture Notes in Math., 1171, Springer-Verlag, Berlin, 1985, 309–316
  50. Г. Л. Лопес, “Об асимптотике отношения ортогональных многочленов и сходимости многоточечных аппроксимаций Паде”, Матем. сб., 128(170):2(10) (1985), 216–229
  51. G. Lopez, E. A. Rakhmanov, “Rational approximations, orthogonal polynomials and equilibrium distributions”, Orthogonal polynomials and their applications (Segovia, 1986), Lecture Notes in Math., 1329, Springer-Verlag, Berlin, 1988, 125–157
  52. A. P. Magnus, “On the use of Caratheodory–Fejer method for investigating ‘1/9’ and similar constants”, Nonlinear numerical methods and rational approximation (Wilrijk, 1987), Math. Appl., 43, D. Reidel Publ. Co., Dordrecht, 1988, 105–132
  53. A. P. Magnus, “Asymptotics and super asymptotics for best rational approximation error norms to the exponential function (the ‘1/9’ problem) by the Caratheodory–Fejer's method”, Nonlinear methods and rational approximation, II (Wilrijk, 1993), Math. Appl., 296, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1994, 173–185
  54. A. P. Magnus, J. Meinguet, “The elliptic functions and integrals of the “1/9” problem”, Numer. Algorithms, 24:1-2 (2000), 117–139
  55. F. Marcellan, A. Martinez-Finkelshtein, “Guillermo Lopez Lagomasino: mathematical life”, Recent trends in orthogonal polynomials and approximation theory, Contemp. Math., 507, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2010, 1–24
  56. A. Martinez-Finkelshtein, “Trajectories of quadratic differentials and approximations of exponents on the semiaxis”, Complex methods in approximation theory (Almeria, 1995), Monogr. Cienc. Tecnol., 2, Univ. Almeria, Serv. Publ., Almeria, 1997, 69–84
  57. A. Martinez-Finkelshtein, “Equilibrium problems of potential theory in the complex plane”, Orthogonal polynomials and special functions, Lecture Notes in Math., 1883, Springer-Verlag, Berlin, 2006, 79–117
  58. A. Martinez-Finkelshtein, E. A. Rakhmanov, “Do orthogonal polynomials dream of symmetric curves?”, Found. Comput. Math., 16:6 (2016), 1697–1736
  59. G. Meinardus, Approximation of functions: theory and numerical methods, Exp. transl. of the German ed., Springer Tracts Nat. Philos., 13, Springer-Verlag New York, Inc., New York, 1967, viii+198 pp.
  60. J. Meinguet, “A simplified presentation of the Adamjan–Arov–Krein approximation theory”, Computational aspects of complex analysis (Braunlage, 1982), NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C: Math. Phys. Sci., 102, D. Reidel Publ. Co., Dordrecht, 1983, 217–248
  61. J. Meinguet, “Once again: the Adamjan–Arov–Krein approximation theory”, Nonlinear numerical methods and rational approximation (Wilrijk, 1987), Math. Appl., 43, D. Reidel Publ. Co., Dordrecht, 1988, 77–91
  62. J. Meinguet, “An electrostatics approach to the determination of extremal measures”, Math. Phys. Anal. Geom., 3:4 (2000), 323–337
  63. J. Meinguet, V. Belevitch, “On the realizability of ladder filters”, IRE Trans. Circuit Theory, 5:4 (1958), 253–255
  64. L. M. Milne-Thomson, The calculus of finite differences, Macmillan & Co., Ltd., London, 1933, xxiii+558 pp.
  65. Z. Nehari, Conformal mapping, McGraw-Hill Book Co., Inc., New York–Toronto–London, 1952, viii+396 pp.
  66. J. Nuttall, “Location of poles of Pade approximants to entire functions”, Rational approximation and interpolation (Tampa, FL, 1983), Lecture Notes in Math., 1105, Springer-Verlag, Berlin, 1984, 354–363
  67. NIST handbook of mathematical functions, eds. F. W. J. Olver, D. W. Lozier, R. F. Boisvert, C. W. Clark, U.S. Department of Commerce, National Institute of Standards and Technology, Washington, DC; Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2010, xvi+951 pp.
  68. С. Пашковский, Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева, Наука, М., 1983, 384 с.
  69. O. Perron, Die Lehre von den Kettenbrüchen, B. G. Teubner, Leipzig–Berlin, 1913, xiii+520 pp.
  70. E. A. Rakhmanov, “Orthogonal polynomials and $S$-curves”, Recent advances in orthogonal polynomials, special functions, and their applications, Contemp. Math., 578, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2012, 195–239
  71. Е. А. Рахманов, “Теорема Гончара–Шталя o $rho^2$ и связанные с ней направления исследований по рациональным аппроксимациям аналитических функций”, Матем. сб., 207:9 (2016), 57–90
  72. Е. А. Рахманов, “Распределение нулей полиномов Эрмита–Паде в случае Анжелеско”, УМН, 73:3(441) (2018), 89–156
  73. E. B. Saff, “Logarithmic potential theory with applications to approximation theory”, Surv. Approx. Theory, 5 (2010), 165–200
  74. E. B. Saff, V. Totik, Logarithmic potentials with external fields, Grundlehren Math. Wiss., 316, Springer-Verlag, Berlin, 1997, xvi+505 pp.
  75. M. A. Snyder, Chebyshev methods in numerical approximation, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, NJ, 1966, x+114 pp.
  76. H. Stahl, “Orthogonal polynomials with complex-valued weight function. I”, Constr. Approx., 2:3 (1986), 225–240
  77. H. Stahl, “Orthogonal polynomials with complex-valued weight function. II”, Constr. Approx., 2:3 (1986), 241–251
  78. H. Stahl, “A note on three conjectures by Gonchar on rational approximation”, J. Approx. Theory, 50:1 (1987), 3–7
  79. H. Stahl, “Convergence of rational interpolants”, Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin, 1996, Suppl., 11–32
  80. H. Stahl, Calculating rational best approximants on $(-infty,0]$, 3ièmes journees approximation 15–16 mai 2008, Lille, unpubl. manuscript
  81. H. Stahl, Th. Schmelzer, “An extension of the '1/9'-problem”, J. Comput. Appl. Math., 233:3 (2009), 821–834
  82. H. Stahl, L. Baratchart, M. Yattselev, AAK approximants to functions with branch points, Workshop ‘Approximation days 2012’ (Leuven, 2012)
  83. J.-P. Thiran, C. Detaille, “Chebyshev polynomials on circular arcs in the complex plane”, Progress in approximation theory, Academic Press, Inc., Boston, MA, 1991, 771–786
  84. J. Todd, “Applications of transformation theory: a legacy from Zolotarev (1847–1878)”, Approximation theory and spline functions (St. John's, NL, 1983), NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C: Math. Phys. Sci., 136, D. Reidel Publishing Co., Dordrecht, 1984, 207–245
  85. L. N. Trefethen, M. H. Gutknecht, “The Caratheodory–Fejer method for real rational approximation”, SIAM J. Numer. Anal., 20:2 (1983), 420–436
  86. L. N. Trefethen, “MATLAB programs for CF approximation”, Approximation theory V, Academic Press, Inc., Boston, MA, 1986, 599–602
  87. L. N. Trefethen, M. Javed, Central limit theorem, 2012
  88. M. Unser, A. Aldroubi, M. Eden, “On the asymptotic convergence of $B$-spline wavelets to Gabor functions”, IEEE Trans. Inform. Theory, 38:2 (1992), 864–872
  89. R. S. Varga, Scientific computation on mathematical problems and conjectures, CBMS-NSF Regional Conf. Ser. in Appl. Math., 60, SIAM, Philadelphia, PA, 1990, vi+122 pp.
  90. Дж. Л. Уолш, Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области, ИЛ, М., 1961, 508 с.
  91. J. L. Walsh, The location of critical points of analytic and harmonic functions, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., 34, Amer. Math. Soc., New York, 1950, viii+384 pp.
  92. R. Wong, J.-M. Zhang, “Asymptotic expansions of the generalized Bessel polynomials”, J. Comput. Appl. Math., 85:1 (1997), 87–112

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 Magnus A.P., Meinguet J.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».