Отправить статью по E-mail О граничных значениях решений эллиптического уравнения
- Авторы: Гущин А.К.1
-
Учреждения:
- Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук
- Выпуск: Том 210, № 12 (2019)
- Страницы: 67-97
- Раздел: Статьи
- URL: https://bakhtiniada.ru/0368-8666/article/view/133300
- DOI: https://doi.org/10.4213/sm9274
- ID: 133300
Цитировать
Открытый доступ
Доступ предоставлен
Только для подписчиков
Аннотация
Работа посвящена исследованию граничного поведения решений эллиптического уравнения второго порядка. При тех же условиях на коэффициенты уравнения, при которых доказана однозначная разрешимость задачи Дирихле с граничной функцией из $L_p$, $p>1$, установлены критерии существования граничного значения решения однородного уравнения. В частности, доказан аналог известной теоремы Ф. Рисса (о граничных значениях аналитической функции): если семейство норм в пространстве $L_p$ следов решения на “параллельных” границе поверхностях ограничено, то данное семейство следов сходится в $L_p$. Это означает, что рассматриваемое решение уравнения является решением задачи Дирихле с некоторым граничным значением из $L_p$. Для такого решения справедливы оценки некасательной максимальной функции и аналога интеграла площадей Лузина, которые позволяют утверждать, что граничное значение принимается в существенно более сильном смысле.Библиография: 57 названий.
Ключевые слова
Об авторах
Анатолий Константинович Гущин
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук
Email: akg@mi-ras.ru
доктор физико-математических наук, профессор
Список литературы
- В. П. Михайлов, “О задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка”, Дифференц. уравнения, 12:10 (1976), 1877–1891
- А. К. Гущин, “О задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка”, Матем. сб., 137(179):1(9) (1988), 19–64
- А. К. Гущин, “О задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с граничной функцией из $L_p$”, Матем. сб., 203:1 (2012), 3–30
- А. К. Гущин, В. П. Михайлов, “О существовании граничных значений решений эллиптического уравнения”, Матем. сб., 182:6 (1991), 787–810
- А. К. Гущин, “Труды В. А. Стеклова по уравнениям математической физики и развитие его результатов в этой области”, Избранные вопросы математики и механики, Сборник статей. К 150-летию со дня рождения академика Владимира Андреевича Стеклова, Тр. МИАН, 289, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2015, 145–162
- А. К. Гущин, В. П. Михайлов, “О разрешимости нелокальных задач для эллиптического уравнения второго порядка”, Матем. сб., 185:1 (1994), 121–160
- А. К. Гущин, “Оценки некасательной максимальной функции решений эллиптического уравнения второго порядка”, Докл. РАН, 446:5 (2012), 487–489
- А. К. Гущин, “$L_p$-оценки некасательной максимальной функции для решения эллиптического уравнения второго порядка”, Матем. сб., 207:10 (2016), 28–55
- А. К. Гущин, “Интеграл площадей Лузина и некасательная максимальная функция для решений эллиптического уравнения второго порядка”, Матем. сб., 209:6 (2018), 47–64
- L. Carleson, “An interpolation problem for bounded analytic functions”, Amer. J. Math., 80:4 (1958), 921–930
- L. Carleson, “Interpolations by bounded analytic functions and the corona problem”, Ann. of Math. (2), 76:3 (1962), 547–559
- L. Hörmander, “$L^p$-estimates for (pluri-)subharmonic functions”, Math. Scand., 20 (1967), 65–78
- А. К. Гущин, “$L_p$-оценки решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка”, ТМФ, 174:2 (2013), 243–255
- А. К. Гущин, “О внутренней гладкости решений эллиптических уравнений второго порядка”, Сиб. матем. журн., 46:5 (2005), 1036–1052
- А. К. Гущин, “Некоторое усиление свойства внутренней непрерывности по Гeльдеру решений задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка”, ТМФ, 157:3 (2008), 345–363
- E. De Giorgi, “Sulla differenziabilità e l'analiticità delle estremali degli integrali multipli regolari”, Mem. Accad. Sci. Torino. Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. (3), 3 (1957), 25–43
- J. Nash, “Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations”, Amer. J. Math., 80:4 (1958), 931–954
- В. Ж. Думанян, “О разрешимости задачи Дирихле для общего эллиптического уравнения второго порядка”, Матем. сб., 202:7 (2011), 75–94
- В. Ж. Думанян, “О разрешимости задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка”, ТМФ, 180:2 (2014), 189–205
- В. Ж. Думанян, “О разрешимости задачи Дирихле с граничной функцией из $L_2$ для эллиптического уравнения второго порядка”, Изв. НАН Армении. Матем., 50:4 (2015), 3–22
- Л. М. Кожевникова, “Энтропийные и ренормализованные решения анизотропных эллиптических уравнений с переменными показателями нелинейностей”, Матем. сб., 210:3 (2019), 131–161
- Ф. Х. Мукминов, “Существование ренормализованного решения анизотропной параболической задачи с переменными показателями нелинейности”, Матем. сб., 209:5 (2018), 120–144
- М. О. Катанаев, “Действие Черна–Саймонса и дисклинации”, Комплексный анализ, математическая физика и приложения, Сборник статей, Тр. МИАН, 301, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2018, 124–143
- М. О. Катанаев, “Векторные поля Киллинга и однородная и изотропная вселенная”, УФН, 186:7 (2016), 763–775
- М. О. Катанаев, “Космологические модели с однородными и изотропными пространственными сечениями”, ТМФ, 191:2 (2017), 219–227
- В. В. Жаринов, “Структуры Ли–Пуассона над дифференциальными алгебрами”, ТМФ, 192:3 (2017), 459–472
- В. В. Жаринов, “О преобразовании Беклунда”, ТМФ, 189:3 (2016), 323–334
- В. В. Жаринов, “Законы сохранения, дифференциальные тождества и связи уравнений в частных производных”, ТМФ, 185:2 (2015), 227–251
- А. К. Гущин, В. П. Михайлов, “О граничных значениях в $L_p$, $p>1$, решений эллиптических уравнений”, Матем. сб., 108(150):1 (1979), 3–21
- Ю. А. Михайлов, “О граничных значениях в $L_p$, $p>1$, решений линейного эллиптического уравнения второго порядка”, Дифференц. уравнения, 19:2 (1983), 318–337
- И. М. Петрушко, “О граничных значениях в $mathscr L_p$, $p>1$, решений эллиптических уравнений в областях с ляпуновской границей”, Матем. сб., 120(162):4 (1983), 569–588
- А. К. Гущин, “О разрешимости задачи Дирихле с граничной функцией из $L_p$ для эллиптического уравнения второго порядка”, Докл. РАН, 437:5 (2011), 583–586
- А. К. Гущин, “О разрешимости задачи Дирихле для неоднородного эллиптического уравнения второго порядка”, Матем. сб., 206:10 (2015), 71–102
- Ю. А. Алхутов, В. А. Кондратьев, “Разрешимость задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка в выпуклой области”, Дифференц. уравнения, 28:5 (1992), 806–818
- Ю. А. Алхутов, “$L_p$-оценки решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка”, Матем. сб., 189:1 (1998), 3–20
- P. Fatou, “Series trigonometriques et series de Taylor”, Acta Math., 30:1 (1906), 335–400
- F. Riesz, “Über die Randwerte einer analytischen Funktion”, Math. Z., 18:1 (1923), 87–95
- J. E. Littlewood, R. E. A.Ċ. Paley, “Theorems on Fourier series and power series”, J. London Math. Soc., 6:3 (1931), 230–233
- J. E. Littlewood, R. E. A.Ċ. Paley, “Theorems on Fourier series and power series. II”, Proc. London Math. Soc. (2), 42:1 (1936), 52–89
- J. E. Littlewood, R. E. A.Ċ. Paley, “Theorems on Fourier series and power series. III”, Proc. London Math. Soc. (2), 43:2 (1937), 105–126
- J. Marcinkiewicz, A. Zygmund, “A theorem of Lusin. Part I”, Duke Math. J., 4:3 (1938), 473–485
- А. Зигмунд, Тригонометрические ряды, т. II, Мир, М., 1965, 537 с.
- И. И. Привалов, Граничные свойства аналитических функций, 2-е изд., ГИТТЛ, М.–Л., 1950, 336 с.
- И. Стейн, Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций, Мир, М., 1973, 342 с.
- В. Г. Мазья, “О вырождающейся задаче с косой производной”, Матем. сб., 87(129):3 (1972), 417–454
- В. П. Михайлов, “О граничных свойствах решений эллиптических уравнений”, Докл. АН СССР, 226:6 (1976), 1264–1266
- В. П. Михайлов, “О граничных значениях решений эллиптических уравнений в областях с гладкой границей”, Матем. сб., 101(143):2(10) (1976), 163–188
- В. П. Михайлов, “О граничных свойствах решений эллиптических уравнений”, Матем. заметки, 27:1 (1980), 137–145
- И. М. Петрушко, “О граничных значениях решений эллиптических уравнений в областях с ляпуновской границей”, Матем. сб., 119(161):1(9) (1982), 48–77
- Я. А. Ройтберг, “О предельных значениях по поверхностям, параллельным границе, обобщенных решений эллиптических уравнений”, Докл. АН СССР, 238:6 (1978), 1303–1306
- А. К. Гущин, В. П. Михайлов, “О граничных значениях решений эллиптических уравнений”, Обобщенные функции и их применения в математической физике (Москва, 1980), ВЦ АН СССР, М., 1981, 189–205
- О. И. Богоявленский, В. С. Владимиров, И. В. Волович, А. К. Гущин, Ю. Н. Дрожжинов, В. В. Жаринов, В. П. Михайлов, “Краевые задачи математической физики”, Теоретическая и математическая физика, Сборник обзорных статей 3. К 50-летию института, Тр. МИАН СССР, 175, 1986, 63–102
- В. А. Кондратьев, И. Копачек, О. А. Олейник, “О наилучших показателях Гeльдера для обобщенных решений задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка”, Матем. сб., 131(173):1(9) (1986), 113–125
- А. К. Гущин, “Критерий существования граничных значений в $L_p$ решений эллиптического уравнения”, Комплексный анализ, математическая физика и приложения, Сборник статей, Тр. МИАН, 301, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2018, 53–73
- А. К. Гущин, О существовании граничных значений в $L_2$ решений эллиптического уравнения, Тр. МИАН, 306, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2019 (в печати)
- А. К. Гущин, “$L_p$-оценки некасательной максимальной функции для решений эллиптического уравнения второго порядка”, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 1(30) (2013), 53–69
- Д. Гилбарг, Н. Трудингер, Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка, Наука, М., 1989, 464 с.
Дополнительные файлы
